第二章參數(shù)估計

1、第二章 參數(shù)估計1、 參數(shù)估計的一般問題 2、 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計3、 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計4、 樣本容量的確定統(tǒng)計推斷的過程總體均值、比總體均值、比例、方差等例、方差等第一節(jié) 參數(shù)估計的一般問題1、估計量與估計值2、點估計與區(qū)間估計3、評價估計量的標準估計量與估計值 估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量 參數(shù)用 表示，估計量用 表示 估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值估計量與估計值 (estimator & estimated value)點估計與區(qū)間估計

2、參數(shù)估計的方法估估 計計 方方 法法點點 估估 計計區(qū)間估計區(qū)間估計點估計 (point estimate) 用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標準誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量 評價估計量的標準無偏性(unbiasedness)無偏性：無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學期望等于被

3、 估計的總體參數(shù)有效性(efficiency)1有效性：有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計 量，有更小標準差的估計量更有效 2一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù)較小的樣本容量較小的樣本容量較大的樣本容量較大的樣本容量區(qū)間估計 (interval estimate)在點估計的基礎上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠對樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95% 區(qū)間估計的圖示xxzx2 將構造置信區(qū)間的步

4、驟重復很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應的相應的 為0.01，0.05，0.10置信水平(confidence level) 由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計學家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以

5、一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的置信區(qū)間 (confidence interval)置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間)置信區(qū)間與置信水平 xxx影響區(qū)間寬度的因素總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度樣本容量n，置信水平 (1 - )，影響 z 的大小nx第二節(jié) 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計1、總體均值的區(qū)間估計2、總體比例的區(qū)間估計3、總體方差的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值均值比例比例方差方差xp22s總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計(大樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知如果不是正態(tài)分

6、布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為)1 , 0( Nnxz)(22未知或nszxnzx數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法數(shù)據(jù)正態(tài)性的評估方法 對數(shù)據(jù)畫出頻數(shù)分布的直方圖或莖葉圖若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則圖形的形狀與上面給出的正態(tài)曲線應該相似 求出樣本數(shù)據(jù)的四分位差Qd和標準差s，然后計算比值Qd/s 。若數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，則有 Qd/s 1.3 繪制正態(tài)概率圖正態(tài)概率圖的繪制(normal probability plots) 正態(tài)概率圖可以在概率紙上繪制，也可以在普通紙上繪制。在普通紙上繪制正態(tài)概率圖的步驟第1步：將樣本觀察值從小到

7、大排列第2步：求出樣本觀察值的標準正態(tài)分數(shù)zi 。標準正態(tài)分數(shù)滿足第3步：將zi作為縱軸，xi作為橫軸，繪制圖形，即為 標準正態(tài)概率圖)()(5 . 0iizzZPnj正態(tài)概率圖的繪制 (例題分析)【例例】一家電腦公司連續(xù)10天的銷售額(單位：萬元)分別為176，191，214,，220，205，192，201，190，183，185。繪制正態(tài)概率圖，判斷該組數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布正態(tài)概率圖的繪制 (例題分析) 2302202102001901801709995908070605040302010511 1百百分分比比均值201.3標準差6.919N10AD0.358P 值0.3761 1 的的

8、概概率率圖圖正態(tài) - 95% 置信區(qū)間正態(tài)概率圖的判斷正態(tài)概率圖的判斷短尾分布：如果尾部比正常的短，則點所形成的圖形左邊朝直線上方彎曲，右邊朝直線下方彎曲如果傾斜向右看，圖形呈S型。表明數(shù)據(jù)比標準正態(tài)分布時候更加集中靠近均值。長尾分布：如果尾部比正常的長，則點所形成的圖形左邊朝直線下方彎曲，右邊朝直線上方彎曲如果傾斜向右看，圖形呈倒S型。表明數(shù)據(jù)比標準正態(tài)分布時候有更多偏離的數(shù)據(jù)。一個雙峰分布也可能是這個形狀。右偏態(tài)分布：右偏態(tài)分布左邊尾部短，右邊尾部長。因此，點所形成的圖形與直線相比向上彎曲，或者說呈U型。把正態(tài)分布左邊截去，也會是這種形狀。左偏態(tài)分布：左偏態(tài)分布左邊尾部長，右邊尾部短。因此

9、，點所形成的圖形與直線相比向下彎曲。把正態(tài)分布右邊截去，也會是這種形狀。總體均值的區(qū)間估計(例題分析)【 例例 】一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，為對產量質量進行監(jiān)測，企業(yè)質檢部門經常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量（單位：g）如下表所示。已知產品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標準差為10g。試估計該批產品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

10、 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3總體均值的區(qū)間估計(例題分析正態(tài)性評估)食品重量的正態(tài)概率圖Normal Probability Plot食品重量Expected Normal Value-2.5-1.5-0.50.51.52.590100110120130140解：解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。 由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx該食品平均重量的置信區(qū)間為10

11、1.44g109.28g36.105x【例例】一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間 36個投保人年齡的數(shù)據(jù)個投保人年齡的數(shù)據(jù) 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲4

12、1.63歲5 .39x77. 7s總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計 (小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2. 使用 t 分布統(tǒng)計量 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為)1(ntnsxtnstx2t 分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 t 分布(用Excel生成t分布的臨界值表)t 分布(用Excel繪制t分布圖)第第1步：步：在工作表的第1列A2：A62輸入一個等差數(shù)列，初始 值為“-3”，步長為“0

13、.1”，終值為“3”第第2步：步：在單元格C1輸入t分布的自由度(如“20”) 第第3步：步：在單元格B2輸入公式“=TDIST(-A2,$C$1,1)”，并將其 復制到B3：B32區(qū)域，在B33輸入公式 “=TDIST(A33,$C$1,1)”并將其復制到B34：B62區(qū)域第第4步：步：在單元格C3輸入公“=(B3-B2)*10”，并將其復制到C4 ：C31區(qū)域，在單元格C32輸入公式“=(B32-B33)*10” 并將其復制到C33：C61區(qū)域第第5步：步：將A2：A62作為橫坐標，C2：C62作為縱坐標，根據(jù) “圖表向導”繪制折線圖t 分布(用Excel繪制t分布圖)總體均值的區(qū)間估計(

14、例題分析)16只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(例題分析正態(tài)性評估)Normal Probability Plot燈泡壽命Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0144014601480150015201540總體均值的區(qū)間估計(例題分析)2.1503, 8.14762.1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s總體比例的區(qū)間估計總體比例的區(qū)

15、間估計1.假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z) 1 , 0()1 (Nnpznppzp)-1 (2總體比例的區(qū)間估計(例題分析)【例例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65n)p1 (pzp2該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35% 總體方差的區(qū)間估計總體方差的區(qū)間估計1. 估計一個總體的方差或標準差2. 假設總體服從正態(tài)分布3. 總體方差 2

16、 的點估計量為s2,且11222nsn111122122222nsnnsn總體方差的區(qū)間估計(圖示)總體方差1- 的置信區(qū)間總體方差的區(qū)間估計(例題分析)【例例】一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 2525袋食品的重量袋食品的重量 單位：單位：g g112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.61

17、00.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.3總體方差的區(qū)間估計(例題分析)4011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n39.18083.564011.1221.931253641.3921.9312522一個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結)均值均值比例比例方差方差大樣本大樣本小樣本小樣本大樣本

18、大樣本 2 2分布分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布未來觀察值的預測區(qū)間估計未來觀察值的預測區(qū)間估計預測隨機變量未來的觀察值，并希望求出各某個未來觀察值的取值范圍，這個范圍就是對某個未來觀察值的預測區(qū)間估計預測誤差的期望為， ，預測誤差的方差為未來觀察值經標準化后服從標準正態(tài)分布，當用樣本方差s2代替總體方差2后，則服從t分布新觀察值95%的預測區(qū)間為0)(1xxEnnnxxDn112221nstx112第三節(jié) 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計1、 兩個總體均值之差的區(qū)間估計2、 兩個總體比例之差的區(qū)

19、間估計3、 兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值差比例差方差比2121xx 2121pp 22212221ss兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本)兩個總體均值之差的估計(大樣本)1. 假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，1 ， 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z) 1 , 0()()(2221212121Nnnxxz兩個總體均值之差的估計 (大樣本)1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為222121221)(nn

20、zxx222121221)(nsnszxx兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學的學生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，有關數(shù)據(jù)如右表所示。建立兩所中學高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間 兩個樣本的有關數(shù)據(jù)兩個樣本的有關數(shù)據(jù) 中學中學1 1中學中學2 2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x兩個總體均值之差的估計(例題分析)兩所中學高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5.03分10.97分)97.10,03. 5(97. 28332 . 7468 . 596. 1)7886()(22222121221nsns

21、zxx兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本)兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2. 總體方差的合并估計量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 ) 兩個樣本均值之差的標準化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp例題分析【例例】為估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產品所需

22、的時間(單位：min) 如下表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產品所需的時間兩個方法組裝產品所需的時間 方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.137.237.222.222.226.026.029.029.038.538.531.031.032.032.037.637.634.434.433.833.831.231.232.132.128.028.020.020.033.433.428.828.830.030.030.230.2

23、26.526.52 21 1兩個總體均值之差的估計(例題分析正態(tài)性評估)Normal Probability Plot方法1組裝時間Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02628303234363840Normal Probability Plot方法2組裝時間Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.018202224262830323436兩個總體均值之差的估計(例題分析)5 .321x996.1521s8 .282x358.1922s677.1721212358.

24、19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2)8 .285 .32(兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：12兩個獨立的小樣本(n130和n230)2. 使用統(tǒng)計量)()()(2221212121vtnsnsxxt兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 )兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv例題分析【例例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，

25、第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產品所需平均時間差值的置信區(qū)間 兩個方法組裝產品所需的時間兩個方法組裝產品所需的時間 方法方法1 1方法方法2 228.328.336.036.027.627.631.731.730.130.137.237.222.222.226.526.529.029.038.538.531.031.037.637.634.434.433.833.832.132.128.028.020.020.028.828.830.030.030.230.2兩個

26、總體均值之差的估計(例題分析)5 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(兩個總體均值之差的區(qū)間估計(匹配樣本)兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本) 假定條件兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為nzdd2兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本) 假定條件兩個匹配的小樣本(n1 30和n2 3

27、0)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為nsntdd) 1(2兩個總體均值之差的估計(例題分析)【例例】由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結果如右表 。試建立兩種試卷分數(shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間 1010名學生兩套試卷的得分名學生兩套試卷的得分 學生編號學生編號試卷試卷A A試卷試卷B B差值差值d d1 1787871717 72 26363444419193 37272616111114 4898984845 56 69191747417175 549495151-2-27 76868555

28、513138 87676606016169 9858577778 81010555539391616兩個總體均值之差的估計(例題分析正態(tài)性評估)Normal Probability Plot分數(shù)之差Expected Normal Value-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0-404812162024兩個總體均值之差的估計(例題分析)11101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntdd兩個總體比例之差區(qū)間的估計1. 假定條件兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨立的2.

29、兩個總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體比例之差的區(qū)間估計222111221)1 ()1 (nppnppzpp例題分析【例例】在某個電視節(jié)目的收視率調查中，農村隨機調查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計城市與農村收視率差別的置信區(qū)間 兩個總體比例之差的估計 (例題分析)解解: : 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%32.19,%68. 6

30、%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%45兩個總體方差比的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計1.比較兩個總體的方差比 用兩個樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個總體方差很接近如果S12/ S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異2.總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為212221222122221FssFss),(1),(1222121nnFnnF兩個總體方差比的區(qū)間估計(圖示)兩個總體方差比的區(qū)間估計(例題分析)【例例】為了研究男女學生在生活費支出(單位：元)上的差異，在某大學各隨機抽取25名男學生和25名女學生，得到下

31、面的結果 男學生： 女學生： 試以90%置信水平估計男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間 5201x26021s4802x28022s兩個總體方差比的區(qū)間估計 (例題分析)解解: :根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為男女學生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84 505.028026098.12802602221兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計(小結)均值差均值差比例差比例差方差比方差比獨立大樣本獨立大樣本獨立小樣本獨立小樣本匹配樣本匹配樣本獨立大樣本獨立大樣

32、本 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z分布分布 1 12 2= = 2 22 2 1 12 2 2 22 2正態(tài)總體正態(tài)總體F F分布分布Z Z分布分布t t分布分布t t分布分布t t分布分布第四節(jié) 樣本容量的確定1、 估計總體均值時樣本容量的確定2、 估計總體比例時樣本容量的確定3、 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定4、 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定 估計總體均值時樣本容量n為樣本容量n與總體方差 2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關系為與總體方差成正比與邊際誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比樣本容量的圓整法則：當計算出的樣本容量不是整數(shù)時，將小數(shù)點后面的數(shù)值一律進位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等估計總體均值時樣本容量的確定 2222)(EznnzE2例題分析【例例】擁有工商管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應抽取多大的樣本容量？例題分析解解: : 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 應抽取的樣本容量為