高等數(shù)學(xué)第八章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第八章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）第一節(jié) 向量代數(shù)中的若干運算一、向量的概念1定義：既有大小又有方向的量稱為向量。2坐標(biāo)形式： 3模與方向余弦：記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則 ， 且方向余弦間滿足關(guān)系。 描述了向量的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪牵ㄔ谂c之間）。的?？梢员硎緸?。向量同方向上的單位向量常記為。二、向量的運算 設(shè)三個向量，常數(shù)。1和差：加法 減法 2數(shù)乘：3數(shù)量積（i）定義：數(shù)，稱為為數(shù)量積也稱點積，記為。其中為向量間夾角（在與之間）。（ii）性質(zhì)：；表示向量在向量上的投影，；。（iii）計算：；。例題 設(shè)和為非零向量，且，求。解 練習(xí) 設(shè)為兩兩垂直

2、的單位向量，求。 4向量積（i）定義：滿足條件；的方向按右手法則垂直于所在平面的向量稱為的向量積也稱叉乘，記為。（ii）性質(zhì)：；等于以為鄰邊的平行四邊形的面積；為向量，且同時垂直于。例題 設(shè)，其中， 試問：（1）為何值時，（2）為何值時，以向量、為鄰邊的平行四邊形面積為12。解（1）由， 。（2） 或。 （iii）計算：。例題 設(shè)，（1）求出所有滿足的向量的坐標(biāo)表達式；（2）求出模為最小的向量。解（1）設(shè)，由，即，得，其中可取任意實數(shù)。（2），故當(dāng)即時，最小，此時。練習(xí) 已知的頂點為、和，求上的高。5混合積（i）定義：數(shù)稱為向量的混合積，記為。（ii）性質(zhì)：等于以為棱邊的平行六面體的體積。（i

3、ii）計算：。例題 求證：。解 練習(xí) 設(shè)三個，共面，求。三、向量間的關(guān)系1夾角：或。2垂直：或。3平行（共線）：或或。4共面：。例題（1）已知，則解 由得，即，得，即，于是，則，故。（2）設(shè)，問為何值時，最小。解 ，令，由，可得，故。（3）設(shè)，向量滿足,，求。解 由向量滿足,，可令，又，求得，故。（4）已知三個非零向量，其中任意兩個向量都不平行，但與平行，與平行，求證：。證 由與平行，與平行，存在兩個數(shù)使得，兩式相減得，又三個非零向量中任意兩個向量都不平行，故，從而。練習(xí) （1）設(shè)，若，則；若，則； 。（2）設(shè)且，則 第二節(jié) 平面與直線一、平面及其方程1三種形式（i）點法線：已知平面過點，其法

4、向量，則平面的方程為。（ii）一般式：，其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，是的法向量。 （iii）截距式：，其中全不為零。表示平面分別在軸上的截距。例題 平行于平面，且與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成的四面體體積為個單位的平面方程為解 設(shè)所求方程為，則，由，得，故平面方程為。2平面間的位置關(guān)系 設(shè)兩平面為，（i）夾角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：（iv）重合：例題 設(shè)平面過點且與平面成角，求的方程。解 設(shè)平面方程為，則由題意得，求解得，所求平面方程為或。3點到平面的距離：設(shè)平面的方程為，而點為平面外的一點，則到平面的距離。真題 點到平面的距離為解 直接利用公式，例題 已知平面方程：，：，求平

5、分與夾角的平面方程。解 設(shè)為所求平面上的任一點，依題意它到的距離應(yīng)等于它到的距離，即，整理所求平面方程為或。二、直線及其方程1三種形式（i）點向式（標(biāo)準(zhǔn)式、對稱式） ，其中為直線上的點，為直線的方向數(shù)。（ii）參數(shù)式：，為參變量。（iii）一般式：（兩平面的交線） ，方向向量。例題（1）過點，垂直于直線且平行于平面的直線方程為解 取故所求直線為。（2）求點在平面上的投影。解 平面的法向量，于是過點的垂線方程為，將它化為參數(shù)式，得，代入平面方程，得，所以 ，故所求投影為。2直線間的位置關(guān)系 設(shè)兩直線為 。（i）夾角（）：。（ii）垂直：。（iii）平行：。真題 設(shè)有直線：與：，則與的夾角為 解

6、，利用公式，即與的夾角為。3直線、平面間的位置關(guān)系設(shè)平面的方程為：，直線的方程為：。（i）夾角（）：。（ii）垂直：（iii）平行：（iv）重合：且上有一點在上。真題（1）設(shè)有直線：及平面：，則直線（ C ）（A）平行于 （B）在上 （C）垂直于 （D）與斜交解 ，故，選（C）（2）已知直線在平面上，則，解 ，由題意，且點在平面上， 于是；。4點到直線的距離：設(shè)是直線外一點，是直線上任意一點，且直線的方向向量為，則點到直線的距離。例題 點到直線的距離為解 直接利用公式。三、平面束及其應(yīng)用1定義：設(shè)直線的一般式方程為，則通過的所有平面方程為，其中不全為零；或。2應(yīng)用：當(dāng)問題中出現(xiàn)平面經(jīng)過一直線的

7、條件時，可用上述假設(shè)處理。真題 求直線在平面上的投影直線方程。解 設(shè)直線的平面束的方程為，即，這平面與平面垂直的條件是，由此得，得投影平面的方程為，所以投影直線方程為。例題（1）求過直線，且與平面組成角的平面。解 設(shè)平面方程為，即，由題設(shè)有，故所求平面為。（2）求異面直線：與直線：之間的距離。解 利用點到平面的距離。過作平行于的平面，則上的點到平面的距離即為二異面直線間的距離。設(shè)平面的法矢為，因為過，故，又，故，取，點在上，于是平面的方程為，點到平面的距離為。（3）求過點且通過直線的平面方程。解 記所求平面為 ，設(shè)是上任意一點，由三向量共面，得，即，整理得 ，此即為所求平面的方程。第三節(jié) 空間

8、曲面與曲線一、曲面及其方程1一般式：（常見形式）2參數(shù)式： （平面區(qū)域） 曲面的記號有兩個：或。二、曲線及其方程1參數(shù)式：2一般式： （常見形式） 曲線的記號有三個：，。三、常見曲面1旋轉(zhuǎn)曲面：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。（i）設(shè)是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面為 或 由參數(shù)方程，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程 ，（ii）求空間曲線繞軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程 第一步：從上面聯(lián)立方程解出， 第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為 真題 求直線在平面上的投影直線的方程，并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程。解 利用平面束求得投影直線的方程，：

9、或，曲面：。例題 求頂點在，母線和軸夾角保持的錐面方程。解 在錐面上任取一點，記，則由題意 與的夾角為，于是，因此所求曲面為：。2柱面：平行于定直線并沿定曲線移動的直線形成的軌跡叫做柱面，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，動直線叫做柱面的母線。 一般來說，只含而缺的方程在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于軸的柱面，其準(zhǔn)線是面上的曲線。例如圓柱面：。3二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面例題 已知直線，求由這直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程，并就的可能值，討論各方程分別表示什么曲面？ 解 由直線，得，于是曲面方程為，當(dāng)時，則為柱面；當(dāng)時，則為錐面。四、空間在坐標(biāo)面上的投影1曲線的方程，曲線在平面上的投影 先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程，那么就是在平面上的投影曲線方程。 曲線在平面上投影或在平面上投影類似地處理。2曲線的方程 ，則曲線在平面上的投影曲線方程為；曲線在平面上投影曲線方程為