第一節(jié)定積分的概念

1、1)(xfyaxbx xyo 曲邊梯形的定義曲邊梯形的定義: : 設(shè)設(shè) y = f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上非負(fù)上非負(fù), , 連續(xù)。連續(xù)。 由直線由直線 x = a, x = b ,y = 0 及曲線及曲線 y = f (x) 所圍成的圖形所圍成的圖形 稱為稱為曲邊梯形曲邊梯形, 其中曲線弧稱為其中曲線弧稱為曲邊曲邊。 2xy)(xfy O曲邊梯形面積的求法曲邊梯形面積的求法(1)(1)分割分割0 xa 1x1ixixbxn1nx2x,1210bxxxxxxanii)., 2 , 1(1nixxxiii 在區(qū)間在區(qū)間 ,ba上任意插上任意插n+1個分點(diǎn)，個分點(diǎn)， 把把,ba分成分成 n

2、 個小區(qū)間：個小區(qū)間：,1iixx)., 2 , 1(ni 每每 個小區(qū)間的長度個小區(qū)間的長度3（2 2）近似代替）近似代替niiAA1 iinixf )(1 （3 3）求和）求和 (4)(4)取極限取極限,max1inix niiixfA10)(lim , 0 iAiixf )( ), 2 , 1(ni 圖圖5-2xy)(xfy O0 xa 1x1ixixbxn1nx2xiA nA 2A 1A i n 2 1 42. 2. 變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程 路程路程=速度時間速度時間.勻速直線運(yùn)動：勻速直線運(yùn)動：i(1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 iiitvs

3、) ( niiiniitvss11) ( (3) (3) 求和求和 設(shè)物體作直線運(yùn)動設(shè)物體作直線運(yùn)動, , 0)(tv且且 計(jì)算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。計(jì)算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程。 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), )(tvv ,21TT是時間間隔是時間間隔 已知速度已知速度 上上 的的 (4) (4) 取極限取極限 ,max1init .) (lim10 niiitvs ,21101TtttttTnii 1 iiittt), 2 , 1(ni t1T2T0t1t2t1itit1ntnt)(iv 5面積面積 niiixfA10)(lim 路程路程 niiitvs10) (lim . badxxf

4、 .21 TTdttv設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在在a,b上有界上有界, , 在在a,b中中任意任意插入若干個分點(diǎn)插入若干個分點(diǎn) , bxxxxxxanii1210把區(qū)間把區(qū)間 a,b 分成分成 n個小區(qū)間個小區(qū)間: : , , , ,12110nnxxxxxx 各小區(qū)間的長度依次為各小區(qū)間的長度依次為: :任取任取一點(diǎn)一點(diǎn) ,1iiixx 并作出和并作出和 niiixfS1 1 iixf 作乘積作乘積 ), 2 , 1(ni , ,max21nxxx 記記 , 0 當(dāng)當(dāng) S和和 總趨于確定的極限總趨于確定的極限 ,I稱這個極限為函數(shù)稱這個極限為函數(shù) f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的定積分定積分

5、, , 即即 niiibaxfIdxxf10 lim (2)(2) , badxxf記作記作 ,1122011nnnxxxxxxxxx 6a-積分下限積分下限, b-積分上限積分上限, a,b-積分區(qū)間積分區(qū)間. )(xf,ba)(xf 設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)上連續(xù), , 則則,ba 在區(qū)間在區(qū)間 上可積上可積. .)(xf,ba在在上滿足什么條件，上滿足什么條件，)(xf,ba在在上一定可積上一定可積)(xf,ba 設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上有界，上有界， 且只有有限個間斷點(diǎn)且只有有限個間斷點(diǎn), ,則則 )(xf,ba 在區(qū)間在區(qū)間 上可積上可積. .如果如果 )(xf,ba在在 上的定積分存在上的

6、定積分存在, )(xf 稱稱 在在,ba 上上可積可積. niiixf1 )(xf的的積分和積分和。 bababaduufdttfdxxfduudxxbaba 222、且定積分與區(qū)間且定積分與區(qū)間a,b的分法和的分法和 的取法無關(guān)。的取法無關(guān)。i 7Adxxfxfba)(, 0)(Adxxfxfba)(, 0)(定積分的幾何意義定積分的幾何意義 y)(xfy Aax bx xo y)(xfy ax bx Axoxybx )(xfy 1A2A3Aax dco圖5-6321AAA bddccadxxfdxxfdxxf)()()( badxxf)( niiixfA10)(lim niiixf10)(

7、lim 8兩曲線圍成的圖形的面積：兩曲線圍成的圖形的面積： ax bx xy)(1xfy )(2xfy Ao21AAA dxxfdxxfbaba)()(219例例 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 102dxx解解 102dxx的分法與點(diǎn)的分法與點(diǎn) 102dxx與與 1 , 0 取法無關(guān)取法無關(guān). i 322211:;, 2 , 1,ninninxfninixiiiii 并并做做乘乘積積取取區(qū)區(qū)間間的的右右端端點(diǎn)點(diǎn)： 1 , 0)(2Cxxf ;, 2 , 1,11ninxxxiii 等份等份, 把把 n 1 , 0, 2 , 1 , 0,ninixi 分點(diǎn)為分點(diǎn)為 23123161211216111

8、nnnnnnninxfniniii 求求和和：10niiixf10lim 102dxx,1n n當(dāng)當(dāng)時，時，. 0 316)12)(1(lim2nnnn11 ; 0 , 1badxxfba abbadxxfdxxfba - , 2規(guī)定規(guī)定 bababadxxgdxxfdxxgxf babadxxfcdxxcf )( bcadxxfdxxfdxxfbccabacba 上式對上式對 也成立也成立cbbacadxxfdxxfdxxf)()()( bccadxxfdxxf)()(cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(定定積分對積分區(qū)間積分對積分區(qū)間具有可加性具有可加性12abdxdxbaba

9、 1 ).( badxxfdxxfbaba ax bx xy xfy xgy O , , 0baxxf . 0 badxxfba 則則若若 , ,baxxgxf . badxxgdxxfbaba 則則若若 ,min ,max,xfmxfMbaxbax . baabMdxxfabmba (估值不等式估值不等式) 則則設(shè)設(shè) 412)1(dxx) 14( 2651) 14(17如如13 baabfdxxfba (定積分的中值定理定積分的中值定理) 若若 使使得得 ,ba ,baCxf Mdxxfabmba )(1)()(1)(badxxfabfba 使使得得 , , ba 證證由連續(xù)函數(shù)介值定理知由

10、連續(xù)函數(shù)介值定理知: xyO)(xfy ab )( f abfdxxfba 之之間間）與與在在ba (都都成成立立?；蚧騜aba 由性質(zhì)由性質(zhì)6知知 14例例1 估計(jì)下列各積分的值估計(jì)下列各積分的值 ;arctan3 31 xdxx（1） （2） 2 0 2dxexx解解（1）設(shè)）設(shè) ,arctan xxy 31336 3 31 arctan xdxx31333 9 3 31 arctan xdxx32 即即 .3,31, 01arctan2xxxxy,36arctan31 xxxm33arctan3 xxxM在在 xxarctan3,31上單調(diào)遞增，故上單調(diào)遞增，故 15（2）記）記 ,2

11、, 0,)(2xexfxx又又 ,)21(41 ef, 1)0(f,)2(2ef 所以所以 ,41 em2eM 0241e2 0 2dxexx022 e即即 2 0 2dxexx412e22e,12)(2xexfxx則則 令令, 0)( xf,21x得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn) 16（1）用反證法用反證法 證明證明bxxxxabadxxfdxxfdxxfdxxf 0000)()()()( 00 )(xxdxxf 00 xxcdx02 c例例2 設(shè)設(shè))(xf)(xg,ba（1）若在）若在,ba, 0)(xf, 0)( badxxf,ba. 0)(xf,ba)()(xgxfbadxxf )(,)( bad

12、xxg,ba).()(xgxf及及 在在 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 上上 ，且且則在則在 上，上， （2）若在）若在上上 ，且且則在則在 上，上， , 0)( xf,ba假設(shè)在假設(shè)在上上 ),(0bax 0 x0 x0)(0 xf則至少存在某點(diǎn)則至少存在某點(diǎn) , 使使（不妨設(shè)（不妨設(shè)，若，若 是區(qū)間端點(diǎn)證明類似），是區(qū)間端點(diǎn)證明類似），因此因此 這與假設(shè)這與假設(shè)0)( badxxf矛盾，命題得證。矛盾，命題得證。 )(xf,ba上連續(xù)，上連續(xù)， , 0 使得使得 都有都有 0)( cxf(c是某個常數(shù)），是某個常數(shù)）， 由于由于 在在 ,),(00baxxx 17例例3 設(shè)設(shè) xf在在 b,a上連續(xù)，上連續(xù)， xg在在 b,a上連續(xù)，且不變號上連續(xù)，且不變號.證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一點(diǎn) ,b,a 使下式成立使下式成立 babadxxgfdxxgxf ( ). 證證 若若 , 0 xg等式顯然成立等式顯然成立 . 若若 , 0 xg不妨假設(shè)不妨假設(shè) , 0 xg則則 . 0badxxg xf在在ba,上連續(xù)，上連續(xù)， xf在在ba,上必有最大值上必有最大值 M 和最小值和最小值 m, .Mxfm 則則 xMgxgxfxmg只要證只要證 Mdxxgdxxgxfmbaba考研題考研題2002年年18由定積分的性質(zhì)得由定積分的