數(shù)學(xué)建模講義

1、數(shù)學(xué)建模講義數(shù)學(xué)建模講義微分方程模型微分方程模型微分方程模型微分方程模型1、人口預(yù)報問題、人口預(yù)報問題3、作戰(zhàn)模型、作戰(zhàn)模型4、捕食問題、捕食問題5、火箭發(fā)射問題、火箭發(fā)射問題2、傳染病問題、傳染病問題6、藥物吸收、真假繪畫作品鑒定、藥物吸收、真假繪畫作品鑒定、交通管理交通管理/堵塞問題堵塞問題0、簡例、簡例趣題趣題v下圖是一個物體的頂部和前部視圖v物體的側(cè)視圖？例例1 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力

2、為mgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（a）這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程滿足的運動方程 (a)是一個兩階非線性方程是一個兩階非線性方程, ,不易求解不易求解. .當當很小很小時時, ,sin, 此時此時, ,可考察可考察(a)的近似線性方程：的近似線性方程： MQPmgl圖圖3-1 00(0)0, (0)gl(b)由此即可得出由此即可得出2gTl (b) 的解為的解為: : (t)= 0cost gl其中其中 當當 時時,(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQP

3、mgl圖圖3-1 (a) 的近似的近似方程方程例例2 市場價格模型市場價格模型 對于純粹的市場經(jīng)濟來說對于純粹的市場經(jīng)濟來說,商品市場價格取決于市場供需之商品市場價格取決于市場供需之間的關(guān)系間的關(guān)系,市場價格能促使商品的供給與需求相等市場價格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價格這樣的價格稱為稱為(靜態(tài)靜態(tài))均衡價格均衡價格).也就是說也就是說,如果不考慮商品價格形成的動如果不考慮商品價格形成的動態(tài)過程態(tài)過程,那么商品的市場價格應(yīng)能保證市場的供需平衡那么商品的市場價格應(yīng)能保證市場的供需平衡,但是但是,實實際的市場價格不會恰好等于均衡價格際的市場價格不會恰好等于均衡價格,而且價格也不會是靜態(tài)的而

4、且價格也不會是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時間不斷變化的動態(tài)過程應(yīng)是隨時間不斷變化的動態(tài)過程. 建立描述市場價格形成的動建立描述市場價格形成的動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型。 ddpkfpg pt 假設(shè)在某一時刻假設(shè)在某一時刻 t, 商品的價格為商品的價格為 p(t), 它與該商品的均衡價它與該商品的均衡價格間有差別格間有差別, 此時此時, 存在存在供需差供需差, 此供需差促使價格變動此供需差促使價格變動. 對新的對新的價格價格, 又有新的供需差又有新的供需差, 如此不斷調(diào)節(jié)如此不斷調(diào)節(jié), 就構(gòu)成市場價格形成的就構(gòu)成市場價格形成的動態(tài)過程動態(tài)過程, 假設(shè)價格假設(shè)價格p(t)的變化率的變化率dp/dt

5、與需求和供給之差成正與需求和供給之差成正比比, 并記并記 f(p) 為需求函數(shù)為需求函數(shù), g(p) 為供給函數(shù)為供給函數(shù), 于是于是k其中其中 為參數(shù)為參數(shù). 一般我們假設(shè)需求與價格呈負線形關(guān)系，而一般我們假設(shè)需求與價格呈負線形關(guān)系，而供給與價格呈正線性關(guān)系，故可設(shè)供給與價格呈正線性關(guān)系，故可設(shè) , 則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)?2( )f pa pa 12( )g pb pb1122d()()dpk ab pk abt 其中其中 均為正常數(shù)均為正常數(shù),其通解為其通解為1212,a a b b11()2211( )ek ab tabp tcab為任意常數(shù)，可用初值條件確定。其中0*cpp 令令 ，得

6、，得 ，這就是，這就是(靜態(tài)靜態(tài))均衡價格，顯然它滿足均衡價格，顯然它滿足 即供需到達平衡。即供需到達平衡。初始價格高于均衡價初始價格高于均衡價格時格時, 動態(tài)價格就要逐步降低動態(tài)價格就要逐步降低, 且單調(diào)趨近均且單調(diào)趨近均衡價格衡價格; 初始價格低于均衡價格時初始價格低于均衡價格時, 動態(tài)價格動態(tài)價格就要逐步升高就要逐步升高, 單調(diào)趨近均衡價格單調(diào)趨近均衡價格. 進一步還進一步還可以分析出可以分析出, 若初始價格等于均衡價格若初始價格等于均衡價格, 整個整個動態(tài)價格應(yīng)保持不變動態(tài)價格應(yīng)保持不變.t2211*lim( )tabpp tab( *)( *)f pg p 為了保持自然資料的合理開發(fā)

7、與利用，人類必須保持并控為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。 這里針對單種群增長模型，簡略分析一下這方面的問題。這里針對單種群增長模型，簡略分析一下這方面的問題。一般復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，一般復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。 美麗的大自然 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量

8、，甚量一般較大，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的，討論其變化率，建立微分方程模型分微小的，討論其變化率，建立微分方程模型! !離散化為連續(xù)，方便研究離散化為連續(xù)，方便研究建模示例建模示例1 1 如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長Malthus模型與Logistic模型背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964

9、 1982 1990 1995人口人口(億億) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12研究人口變化規(guī)律研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長控制人口過快增長模型一：指數(shù)增長模型(Malthus模型模型 )常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (0馬爾薩斯馬爾薩斯（1788-1834）提出的指數(shù)增長模型提出的指數(shù)增長模型(1798)(1798)x(t) 時刻時刻t人口人口r 人口人口(相對相對)增長率增長率(常數(shù)常數(shù))ttrxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (

10、0隨著時間增加人口按指數(shù)規(guī)律無限增長隨著時間增加人口按指數(shù)規(guī)律無限增長!模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗 比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為年世界人口數(shù)為30.6 （即（即3.06109），人口增長率約為），人口增長率約為2%，人口，人口數(shù)大約每數(shù)大約每35年增加一倍。檢查年增加一倍。檢查1700年至年至1961的的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)

11、量每34.6年年增加一倍，兩者也幾乎相同。增加一倍，兩者也幾乎相同。 模型預(yù)測模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達年，人口達21014個，個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，平方英尺的活動范圍，而到而到2670年，人口達年，人口達361015個，只好一個人站在另一人的個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。肩上排成二層了。 故故馬爾薩斯模型是不完善的。馬爾薩斯模型是不完善的。Malthus

12、Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以所以MalthusMalthus模型假設(shè)的人口凈增長模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)。人口數(shù)量有關(guān)。指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計

13、數(shù)據(jù)吻合 適用于適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測可用于短期人口增長預(yù)測 不符合不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程不能預(yù)測較長期的人口增長過程1919世紀后人口數(shù)據(jù)世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率人口增長率r不是常數(shù)不是常數(shù)( (逐漸下降逐漸下降) )模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即：人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有從而有：()dNr N Ndt（*）r( (N N) )是未知函數(shù)，是未知函數(shù)，但根

14、據(jù)實際背景，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法它無法用擬合方法來求來求 。為了得出一個有實際意義為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡型時，總是采用盡可能簡單的方法。單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）進就是引進一次項（競爭項） 模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 人口凈增長率應(yīng)當

15、與人口數(shù)量有關(guān)，即：人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有從而有：()dNr N Ndt（*）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令 r(N)=r-aN 此時得到微分方程：此時得到微分方程： ()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或（*）（* * *）可改寫成：可改寫成： ()dNk KN Ndt（*） （*）被稱為）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為）首先提出的。一

16、次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。項。模型模型2 2 Logistic Logistic模型模型 ()dNk KN Ndt 該式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可該式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為降低而

17、死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將（近似地將K看成常數(shù)），看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，表示當前的種群數(shù)量，K-N恰恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，該式該式指出，種群增長率與兩者指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是這就是該式該式也被稱為也被稱為統(tǒng)計籌算律統(tǒng)計籌算律的原因。的原因。 求解求解分離變量：分離變量：11dNkKdtNKN 兩邊積分并整理得：兩邊積分并整理得： 1kKtKNCe 1kKtKNCe 令令N(0)=N0，求得：，求得： 00K

18、NCN故滿足初始條件故滿足初始條件N(0)=N0的解為：的解為： 000( )()kKtN KN tNKN e易見：易見： N(0)=N0 ，lim( )tN tKN(t)的圖形請看右圖的圖形請看右圖rteNKNKNtN )()(000模型的參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)必須先估計模型參數(shù) r 或或 r, K 利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法最小二乘法作擬合作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）百萬）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9

19、 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2072, K=464 專家估計模 型 檢 驗(1)用模型預(yù)報用模型預(yù)報1990年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較/ )1980(1)1980()1980()1980()1990(mxxrxxxxx 實際為實際為251.4 (百萬百萬)5 .250)1990(x模模 型型 應(yīng)應(yīng) 用用人人 口口 預(yù)預(yù) 報報用美國用美國17901990年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)年人口數(shù)據(jù)重新估計參數(shù)r=0.2083, N=457.6N(2000)=275.0N(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟領(lǐng)

20、域中的應(yīng)用模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用( (如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量) )實際實際:282.4310.4模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗(2) 用用LogisticLogistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？19451945年克朗皮克（年克朗皮克（CrombicCrombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（學(xué)生物學(xué)家高斯（E EF FGaussGauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和實驗結(jié)果都和LogisticLogistic曲線十分吻合。曲線十分吻合。 大量實驗資料

21、表明用大量實驗資料表明用LogisticLogistic模型來描述種群的增長，效模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯果還是相當不錯的。例如，高斯把把5只草履蟲放進一個盛有只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的的LogisticLogistic曲線：曲線： 幾乎完全吻合。幾乎完全吻合。 2.309375(

22、 )174tN teCFGaussMalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型的總結(jié)模型的總結(jié) MalthusMalthus模型和模型和LogisticLogistic模型模型均為對微分方程均為對微分方程(*)所作所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。 用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對用模擬近似法

23、建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。因，對模型進行修改。 MalthusMalthus模型與模型與LogisticLogistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方

24、程即可。 模型模型3：人口發(fā)展方程：人口發(fā)展方程 0),()(), 0()()0 ,(),(),(),(),(10trptptprprptrptrdttrprtrpm其中其中t時間段、時間段、r年齡；年齡；),( trpt 時刻的人口年齡時刻的人口年齡 r 密度函數(shù)密度函數(shù)),( trdt時刻、時刻、r年齡的人口相對死亡率年齡的人口相對死亡率(可統(tǒng)計量可統(tǒng)計量)(1tpt時刻的單位時間出生的嬰兒數(shù)時刻的單位時間出生的嬰兒數(shù)(可控量可控量)偏微分方程模型 dttrddrtrpdrdttdtrp),(1),(),( 基本關(guān)系式基本關(guān)系式年代年代195019521954195619581960196

25、219641966人口人口(千萬千萬)3.5833.739 3.904 4.102 4.258 4.245 4.333 4.532 4.748年代年代196819701972197419761978198019821984人口人口(千萬千萬)4.9965.252 5.437 5.567 5.700 5.834 5.938 6.088 6.071江蘇省人口統(tǒng)計江蘇省人口統(tǒng)計作業(yè)：作業(yè)：設(shè)法查找一部分人口數(shù)據(jù)設(shè)法查找一部分人口數(shù)據(jù)(國家國家(內(nèi)外內(nèi)外)、地方皆、地方皆可可)，或有限區(qū)域內(nèi)的某一種群數(shù)據(jù)，進行建模預(yù)報，或有限區(qū)域內(nèi)的某一種群數(shù)據(jù)，進行建模預(yù)報，并與實際數(shù)據(jù)比較，希望進一步改進模型。并

26、與實際數(shù)據(jù)比較，希望進一步改進模型。作業(yè)格式作業(yè)格式一篇較完整的論文一篇較完整的論文!(格式見下格式見下)難題解答難題解答v物體的側(cè)視圖建模的論文建模的論文參考參考結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu):1、摘要、摘要問題、模型、方法、結(jié)果問題、模型、方法、結(jié)果2、問題重述、問題重述4、分析與建立模型、分析與建立模型5、模型求解、模型求解6、模型檢驗、模型檢驗7、模型推廣、模型推廣8、參考文獻、參考文獻9、附錄、附錄3、模型假設(shè)、模型假設(shè)建模示例二：傳染病模型建模示例二：傳染病模型v模型模型1 最簡單模型最簡單模型(早期模型早期模型)假設(shè)假設(shè)1：每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)：每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)r；

27、假設(shè)假設(shè)2：不考慮死亡問題；：不考慮死亡問題；問題分析問題分析: 記記x(t)表示表示t時刻病人數(shù)時刻病人數(shù), 且初始病人數(shù)且初始病人數(shù)x(0)=x0;則則t, t+t時間段內(nèi)增加的病人數(shù)為：時間段內(nèi)增加的病人數(shù)為：ttxrtxttx )()()(得到微分方程：得到微分方程： 0)0()()(xxtxrtxrtextx0)( 模型評價模型評價: 與傳染初期比較吻合，以后的誤差大。與傳染初期比較吻合，以后的誤差大。v模型模型2 中期模型中期模型假設(shè)假設(shè)1：每個每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與未被傳染的病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與未被傳染的人數(shù)成正比人數(shù)成正比r;假設(shè)假設(shè)2：不考慮死亡問題；：不考

28、慮死亡問題；假設(shè)假設(shè)3：總?cè)藬?shù)有限：總?cè)藬?shù)有限 問題分析問題分析: 記記x(t)表示表示t時刻病人數(shù)時刻病人數(shù), 且初始病人數(shù)且初始病人數(shù)x(0)=x0; y(t)為為t時時 刻未被傳染的人數(shù)刻未被傳染的人數(shù); 總?cè)藬?shù)為總?cè)藬?shù)為n, 即即x(t) y(t)=n.則則t, t+t時間段內(nèi)增加的病人數(shù)為：時間段內(nèi)增加的病人數(shù)為：ttytxrtxttx )()()()(得微分方程：得微分方程： ntytxxxtytxrtx)()(,)0()()()(0 tnrexnntx 11)(0模型分析評價模型分析評價: tnrexnntx 11)(01. 不加控制，則最終人人得??；不加控制，則最終人人得?。?

29、. 計算傳染高峰期計算傳染高峰期t1：0)( tx nrxxnt )ln()ln(001說明說明: 人口人口n越多、傳染強度越多、傳染強度r越大，高峰來得越早越大，高峰來得越早!缺點缺點: 沒有考慮治愈問題和免疫問題。沒有考慮治愈問題和免疫問題。模型模型3 精確模型精確模型假設(shè)假設(shè)1：研究對象分成三類：傳染源：研究對象分成三類：傳染源x(t)、敏感群、敏感群y(t) 和免疫群和免疫群z(t); 假設(shè)假設(shè)2：單位時間內(nèi)每個傳染源傳染的人數(shù)與敏感群的人數(shù)成正比：單位時間內(nèi)每個傳染源傳染的人數(shù)與敏感群的人數(shù)成正比;假設(shè)假設(shè)3：單位時間內(nèi)傳染源康復(fù)為免疫群的人數(shù)正比與傳染源人數(shù)；：單位時間內(nèi)傳染源康復(fù)

30、為免疫群的人數(shù)正比與傳染源人數(shù)；假設(shè)假設(shè)4：不考慮死亡且總?cè)藬?shù)有限。：不考慮死亡且總?cè)藬?shù)有限。問題分析問題分析: 記記a傳染率傳染率, b康復(fù)率康復(fù)率; 初始條件為初始條件為:; 0)0(,)0(,)0(00 zxnyxx得微分方程：得微分方程： ; 0)0(,)0(,)0()()()()()()()()()(00zxnyxxtbxtztytaxtytxbtytxatx解此微分方程組：解此微分方程組： yabdydzyabdydx111是非線性方程組，不易求解，變形以是非線性方程組，不易求解，變形以y為自變量為自變量: )()()()()()()()()(tbxtztytaxtytxbtytx

31、atx yxnabzyyxnabnx00lnln解解得得： 結(jié)論結(jié)論：當當yb/a時，傳染源減少直至平息時，傳染源減少直至平息;當當yb/a時，傳染源先增加再減少直至平時，傳染源先增加再減少直至平息息;控制控制y非常關(guān)鍵非常關(guān)鍵研制疫苗、增強體質(zhì)研制疫苗、增強體質(zhì);增大增大b/a也非常關(guān)鍵也非常關(guān)鍵隔離、治愈隔離、治愈 ;數(shù)值分析法數(shù)值分析法! !建模示例三：作戰(zhàn)模型建模示例三：作戰(zhàn)模型vLanchester戰(zhàn)斗模型戰(zhàn)斗模型設(shè)設(shè)x部隊和部隊和y部隊相互交戰(zhàn)，部隊相互交戰(zhàn)，x(t)和和y(t)分別是兩部隊分別是兩部隊在在t時刻的戰(zhàn)斗力，其連續(xù)可導(dǎo)。時刻的戰(zhàn)斗力，其連續(xù)可導(dǎo)。戰(zhàn)斗力的變化率后勤補給

32、率自然損失率對方的殺傷率戰(zhàn)斗力的變化率后勤補給率自然損失率對方的殺傷率 eycxtQtybyaxtPtx)()()()(常規(guī)戰(zhàn)常規(guī)戰(zhàn) eycxtQtygxyaxtPtx)()()()(游擊對游擊對常規(guī)戰(zhàn)常規(guī)戰(zhàn) hxyeytQtygxyaxtPtx)()()()(游擊戰(zhàn)游擊戰(zhàn)hgecba,)(),(tQtP)(),(tytx00, yxt損失率損失率后勤補給后勤補給雙方戰(zhàn)斗力雙方戰(zhàn)斗力開始時雙方戰(zhàn)斗力開始時雙方戰(zhàn)斗力戰(zhàn)斗時刻戰(zhàn)斗時刻為討論方便，簡化模型為：為討論方便，簡化模型為： cxtybytx)()(常規(guī)戰(zhàn)常規(guī)戰(zhàn)1. 常規(guī)戰(zhàn)常規(guī)戰(zhàn)平方律平方律bycxdxdy 202202xxcyyb 202

33、022cxbyKcxby )(tx)(ty獲獲勝勝xK:0 獲獲勝勝yK:0 平平局局:0 Kbcxy 200結(jié)論：常規(guī)戰(zhàn)勝負取決于開戰(zhàn)前力量結(jié)論：常規(guī)戰(zhàn)勝負取決于開戰(zhàn)前力量(人數(shù)人數(shù))對比，對比，且此比值且此比值平方放大。平方放大。 集中優(yōu)勢兵力集中優(yōu)勢兵力(三大戰(zhàn)役三大戰(zhàn)役)yyxxprpr 射擊率射擊率命中率命中率簡化模型為：簡化模型為： hxytygxytx)()(游擊戰(zhàn)游擊戰(zhàn)2. 游擊戰(zhàn)游擊戰(zhàn)線性律線性律ghdxdy 00 xxhyyg 00hxgyLhxgy )(tx)(ty獲獲勝勝xL:0 獲獲勝勝yL:0 平平局局:0 Lghxy 00結(jié)論：戰(zhàn)前結(jié)論：戰(zhàn)前力量對比力量對比與隊員

34、與隊員活動面積活動面積對比同樣重要對比同樣重要. xryyyrxxSSrgSSrh,射擊率射擊率一次射擊的一次射擊的有效面積有效面積游擊隊員的游擊隊員的活動面積活動面積ryyrxxxySrSrxSyS 00簡化模型為：簡化模型為： bxtygxytx)()(游擊戰(zhàn)游擊戰(zhàn)3. 游擊隊游擊隊常規(guī)部隊常規(guī)部隊(拋物律拋物律)gybdxdy 02022xxbyyg 020222bxgyMbxgy )(tx)(ty獲獲勝勝xM:0 獲獲勝勝yM:0 平平局局:0 M02002gxbxy 結(jié)論：該模型適合以弱勝強結(jié)論：該模型適合以弱勝強. xryyxxSSrgprb,射擊率射擊率一次射擊的一次射擊的有效面

35、積有效面積游擊隊員的游擊隊員的活動面積活動面積020012xSpSrrxyryxxyx 舉例：游擊甲方舉例：游擊甲方x兵力兵力100，命中率，命中率0.1, 活動范活動范圍圍0.1平方公里，射擊率是正規(guī)乙方的一半，乙方每平方公里，射擊率是正規(guī)乙方的一半，乙方每次有效射擊面積次有效射擊面積1平方米，則乙方取勝需要兵力平方米，則乙方取勝需要兵力y0：需需10倍的兵力！倍的兵力！100010011 . 0101 . 021260 y020012xSpSrrxyryxxyx 模型檢驗：模型檢驗：1) 1954年年J. H. Engel用常規(guī)戰(zhàn)模型分析了用常規(guī)戰(zhàn)模型分析了美日硫磺島戰(zhàn)役，結(jié)果與美方戰(zhàn)地記

36、錄吻合！美日硫磺島戰(zhàn)役，結(jié)果與美方戰(zhàn)地記錄吻合！2) 游擊游擊常規(guī)戰(zhàn)應(yīng)用常規(guī)戰(zhàn)應(yīng)用越南戰(zhàn)爭美國撤軍：越南戰(zhàn)爭美國撤軍： 1968年美方兵力只有年美方兵力只有6倍，且只能增援到倍，且只能增援到6.7倍，倍，故沒有增援，而于故沒有增援，而于1973年撤軍。年撤軍。軍備競賽博弈微分方程模型：軍備競賽博弈微分方程模型： 考慮兩個參加軍備競賽的國家。我們試圖定性的評價軍考慮兩個參加軍備競賽的國家。我們試圖定性的評價軍備競賽對防御費用方面的影響。特別我們更有興趣知道，備競賽對防御費用方面的影響。特別我們更有興趣知道，軍備競賽是否會導(dǎo)致不可控制的經(jīng)費支出，并且最終由具軍備競賽是否會導(dǎo)致不可控制的經(jīng)費支出，并

37、且最終由具有經(jīng)濟實力的國家支配，還是最終會達到一個平衡的支出有經(jīng)濟實力的國家支配，還是最終會達到一個平衡的支出水平？水平？ 定義變量定義變量x是國家是國家A每年的防御支出，變量每年的防御支出，變量y是國家是國家B每年每年的防御支出。我們首先用國家的防御支出。我們首先用國家A的觀點來分析一下形勢，在的觀點來分析一下形勢，在不考慮國家不考慮國家B（敵對國）的軍費支出時，我們有理由相信國（敵對國）的軍費支出時，我們有理由相信國家家A的軍費支出是一個遞減的過程的軍費支出是一個遞減的過程,0dxax adt 常數(shù)常數(shù)a為該國在防御支出上的限制系數(shù)，如政府要把錢花在為該國在防御支出上的限制系數(shù)，如政府要把

38、錢花在衛(wèi)生和教育事業(yè)上。衛(wèi)生和教育事業(yè)上。dxaxbydt dxaxbycdt 那么當國家那么當國家B進行軍費支出時呢？國家進行軍費支出時呢？國家A將會出于安全考慮將會出于安全考慮被迫增加經(jīng)費。假設(shè)增加量與國家被迫增加經(jīng)費。假設(shè)增加量與國家B的支出量成一定的比例的支出量成一定的比例, 這這時上面的微分方程就變成了。時上面的微分方程就變成了。 最后添加一個常數(shù)項，以反映國家最后添加一個常數(shù)項，以反映國家A對國家對國家B感到的所有感到的所有潛在的不安因素，這也就是說即使兩個國家的防御支出為零，潛在的不安因素，這也就是說即使兩個國家的防御支出為零，國家國家A仍覺得有必要武裝自己對付國家仍覺得有必要武

39、裝自己對付國家B，是一種對未來情況，是一種對未來情況的擔心。這個往往根據(jù)兩國的外交關(guān)系所定（美蘇，美國與加的擔心。這個往往根據(jù)兩國的外交關(guān)系所定（美蘇，美國與加拿大）。拿大）。dymxnypdt00d xd td yd t 而對于國家而對于國家B來說則有：來說則有：現(xiàn)在來看看上述模型是否會平衡現(xiàn)在來看看上述模型是否會平衡是否會有是否會有(x, y)滿足滿足:首先假設(shè)首先假設(shè)A，B兩國外交上屬于兩國外交上屬于親密親密的朋友關(guān)系的朋友關(guān)系，這，這時常數(shù)時常數(shù)c, p都為都為0，這時模型變?yōu)椋?，這時模型變?yōu)椋?dxaxbydtdymxnydt ,0,0 x y dxaxbycdtdymxnypdt

40、axbycmxnyp那么顯然這時的平衡點在那么顯然這時的平衡點在 處，在這種情況下，處，在這種情況下，兩國都沒有防御支出，國民經(jīng)濟的總產(chǎn)值全部用來投資醫(yī)療兩國都沒有防御支出，國民經(jīng)濟的總產(chǎn)值全部用來投資醫(yī)療衛(wèi)生以及教育事業(yè)等非軍事方面，兩國可以用非軍事方法來衛(wèi)生以及教育事業(yè)等非軍事方面，兩國可以用非軍事方法來解決一切爭端（歷史上只有美國與加拿大在解決一切爭端（歷史上只有美國與加拿大在1817年至今使這年至今使這種關(guān)系），但當兩國沖突矛盾很大時模型就變?yōu)椋悍N關(guān)系），但當兩國沖突矛盾很大時模型就變?yōu)椋哼@時模型的平衡點就變?yōu)椋哼@時模型的平衡點就變?yōu)椋旱慕猓慕猓?bpcnXanbmapcmYanbm

41、其解為：其解為： 當當an-bm為正切較大時，這個交點在第一象限，有自身的為正切較大時，這個交點在第一象限，有自身的物理意義。但是當物理意義。但是當an-bm較小或趨于較小或趨于零時呢？將會出現(xiàn)經(jīng)費零時呢？將會出現(xiàn)經(jīng)費失控（如美蘇）！為負的意義作為思考題。失控（如美蘇）！為負的意義作為思考題?？梢钥闯鑫覀兌家恢笔褂靡环N簡單的線性表示，那么復(fù)雜可以看出我們都一直使用一種簡單的線性表示，那么復(fù)雜后的情況呢？可以肯定復(fù)雜后模型的適應(yīng)性更強，推廣和后的情況呢？可以肯定復(fù)雜后模型的適應(yīng)性更強，推廣和實踐意義更大。不過復(fù)雜也有自身的弱點如：導(dǎo)致模型求實踐意義更大。不過復(fù)雜也有自身的弱點如：導(dǎo)致模型求救困難

42、甚至不可解救困難甚至不可解(非線性優(yōu)化非線性優(yōu)化)。特別，當特別，當cp非非0時時(雙方不信任雙方不信任)，即便裁軍使得，即便裁軍使得x=0和和/或或y=0，軍備競賽實質(zhì)還是會一直進行下去。就是說雙方諒解，軍備競賽實質(zhì)還是會一直進行下去。就是說雙方諒解較裁軍、停戰(zhàn)等更重要較裁軍、停戰(zhàn)等更重要! 武力解決沖突不可?。∥淞鉀Q沖突不可??！141516171819202122230.10.150.20.250.30.350.4建模示例建模示例4：地中海鯊魚問題：地中海鯊魚問題 意大利生物學(xué)家意大利生物學(xué)家Ancona曾曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究的研究, 他從第一次世

43、界大戰(zhàn)期他從第一次世界大戰(zhàn)期間間,地中海各港口捕獲的幾種魚地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中類捕獲量百分比的資料中, 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)鯊魚鯊魚等的比例有明顯增加等的比例有明顯增加(見下見下表表),而供其捕食的而供其捕食的食用魚食用魚的百分的百分比卻明顯下降比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭使捕魚顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降量下降, 食用魚增加食用魚增加, 鯊魚等也鯊魚等也隨之增加隨之增加,但為何鯊魚的比例大但為何鯊魚的比例大幅增加呢？幅增加呢？ 他無法解釋這個現(xiàn)象他無法解釋這個現(xiàn)象, 于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V. Volterra, 希望建立一個希望建立一個食餌食餌捕食捕食系統(tǒng)

44、的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 定量定量地回答這個問題地回答這個問題.年代年代1914 1915 1916 1917 1918百分比百分比11.921.4 22.1 21.236.4年代年代1919 1920 1921 1922 1923百分比百分比27.316.0 15.9 14.810.7捕獲魚中鯊魚等食肉魚的比例捕獲魚中鯊魚等食肉魚的比例 該該 模型反映了在沒有人工捕模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系間的制約關(guān)系, 沒有考慮食餌和沒有考慮食餌和捕食者自身的捕食者自身的阻滯阻滯作用作用, 是最簡是最簡單的模型單的模型.1基本假設(shè)：基本假設(shè)

45、：(1)食餌由于捕食者的存食餌由于捕食者的存在使增長率降低在使增長率降低, 假設(shè)降假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成低的程度與捕食者數(shù)量成正比正比;(2)捕食者由于食餌為它捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長，假定率降低或使之增長，假定增長的程度與食餌數(shù)量成增長的程度與食餌數(shù)量成正比。正比。 )()(fxbydtdyeyaxdtdx2符號說明：符號說明：x食餌在食餌在t時刻的數(shù)量；時刻的數(shù)量； a食餌獨立生存時的增長率；食餌獨立生存時的增長率；e捕食者掠取食餌的能力；捕食者掠取食餌的能力； f食餌對捕食者的供養(yǎng)能力食餌對捕食者的供養(yǎng)能力.y捕食者捕食者在在t

46、時刻的數(shù)量；時刻的數(shù)量； b捕食者捕食者獨立生存時的死亡率；獨立生存時的死亡率；K捕獲能力系數(shù)捕獲能力系數(shù).3. 模型模型(一一) 不考慮人工捕獲不考慮人工捕獲 )()(fxbydtdyeyaxdtdx4. 模型模型(一一) 求解求解)()(fxbyeyaxdydx dyeyadxxbf ceyexeyafxb 利用微分方程的利用微分方程的相關(guān)理論相關(guān)理論，知原方程組的解是周期解，設(shè)，知原方程組的解是周期解，設(shè)周期為周期為T，則為了解釋問題中的數(shù)據(jù)，需計算，則為了解釋問題中的數(shù)據(jù)，需計算x、y的平均值：的平均值： TTdtbyyTfdttxTx001)(1 fbyTyTffb )0(ln)(l

47、n1eadttyTyT 0)(1 KyfxbydtdyKxeyaxdtdx)()(5. 模型模型(二二) 考慮人工捕撈考慮人工捕撈類似可計算類似可計算x、y的平均值：的平均值：fKbx eKay fxKbydtdyeyKaxdtdx)K捕獲能力系數(shù)捕獲能力系數(shù).結(jié)論結(jié)論：增加捕撈后捕食者平均值降低，而：增加捕撈后捕食者平均值降低，而餌食餌食(食用魚食用魚)平均值增加；進一步捕撈能力平均值增加；進一步捕撈能力系數(shù)下降也導(dǎo)致捕食者系數(shù)下降也導(dǎo)致捕食者(鯊魚等鯊魚等)數(shù)量上數(shù)量上升。升。“涸澤而魚涸澤而魚”除外除外推廣推廣：解釋殺蟲劑的反效果：解釋殺蟲劑的反效果殺蟲劑在殺蟲劑在殺死害蟲的同時也殺死其

48、天敵益蟲，這將殺死害蟲的同時也殺死其天敵益蟲，這將導(dǎo)致害蟲量的增加。導(dǎo)致害蟲量的增加。用用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t, x=solver(fun, ts, x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解由待解方程寫方程寫成的成的m-文件名文件名ts=t0,tf，t0、tf為自為自變量的初變量的初值和終值值和終值函數(shù)的函數(shù)的初始值初始值ode23：組合的：組合的2/3階龍格階龍格-庫塔庫塔-芬爾格算法芬爾格算法 ode45：運用組合的：運用組合的4/5階龍格階龍格-庫塔庫塔-芬爾格算法芬爾格算法自變自變量值量值函數(shù)函數(shù)

49、值值用于設(shè)定誤差限用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差缺省時設(shè)定相對誤差10-3, 絕絕對誤差對誤差10-6),命令為：命令為：options=odeset(reltol,rt,abstol,at), rt, at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.help ode45/23.首先，建立首先，建立m-文件文件shier.m如下：如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序其次，建立主程序shark.m如下：如下

50、： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)6. 模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗0510150102030405060708090100020406080100051015202530求解結(jié)果：求解結(jié)果：由上兩圖知：由上兩圖知：x(t)與與y(t)都是周期函數(shù)都是周期函數(shù)模型（二）模型（二） 考慮人工捕獲考慮人工捕獲 設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為K，相當于食餌的自然增長率，相當于食餌的自然增長率由由a降為降為a-K，捕食者的自然死亡率由，捕食者的自然死亡率由b增為增為 b+K )()(

51、1222221111xerxdtdxxerxdtdx 2)0(,25)0(,02. 0, 5 . 0, 1 . 0, 1 yxfbea仍取仍取設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)K=0.3, 戰(zhàn)爭中降為戰(zhàn)爭中降為K=0.1, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭中的模型分別為則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭中的模型分別為: 2)0(,25)0()02. 08 . 0()1 . 07 . 0(21122211xxxxdtdxxxdtdx 2)0(,25)0()02. 06 . 0()1 . 09 . 0(21122211xxxxdtdxxxdtdx模型求解模型求解:1、分別用、分別用m-文件文件shier1.m和和shier2.m定義上述

52、兩個方程定義上述兩個方程2、建立主程序、建立主程序shark1.m, 求解兩個方程，并畫出兩種情況下求解兩個方程，并畫出兩種情況下鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比例鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比例 y(t)/x(t)+y(t)05101500.10.20.30.40.50.60.70.8 實線為戰(zhàn)前的鯊實線為戰(zhàn)前的鯊魚比例，魚比例，“*”線為線為戰(zhàn)爭中的鯊魚比例戰(zhàn)爭中的鯊魚比例結(jié)論：戰(zhàn)爭中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高！結(jié)論：戰(zhàn)爭中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高！ VolterraVolterra的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，的模型揭示了雙種群之間內(nèi)在的互相制約關(guān)系，成功解釋了成功解釋了DAnconaDAncona發(fā)現(xiàn)

53、的現(xiàn)象。然而，對捕食系統(tǒng)中存在發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。然而，對捕食系統(tǒng)中存在周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因為更多周期性現(xiàn)象的結(jié)論，大多數(shù)生物學(xué)家并不完全贊同，因為更多的捕食系統(tǒng)并沒有這種特征。的捕食系統(tǒng)并沒有這種特征。 一個捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕一個捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型未必適用于另一捕食系統(tǒng)，捕食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個性，反映食系統(tǒng)除具有共性外，往往還具有本系統(tǒng)特有的個性，反映在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當有所區(qū)別。考察較為一般的雙種群系統(tǒng)在數(shù)學(xué)模型上也應(yīng)當有所區(qū)別?？疾燧^為一般的雙種群系統(tǒng). .推廣：較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)討論推廣：較一般的雙種群生態(tài)系統(tǒng)討論

54、一般的雙種群系統(tǒng)一般的雙種群系統(tǒng)仍用仍用x1(t)和和x2(t)記記t時刻的種群量時刻的種群量(也可以是種群密度也可以是種群密度), 設(shè)設(shè) Ki為種群為種群i的凈相對增長率的凈相對增長率, Ki隨種群不同而不同，同時也隨隨種群不同而不同，同時也隨系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即系統(tǒng)狀態(tài)的不同而不同，即Ki應(yīng)為應(yīng)為x1、x2的函數(shù)。的函數(shù)。)2 , 1( ixKdtdxiii Ki究竟是一個怎樣的函數(shù)究竟是一個怎樣的函數(shù),我們沒有更多的信息我們沒有更多的信息. 不妨再次不妨再次采用一下工程師們的原則采用一下工程師們的原則, 采用采用線性化方法線性化方法(取常數(shù)是取常數(shù)是Malthus模型模型, 不實用不

55、實用). 這樣這樣, 得到下面的得到下面的微分方程組微分方程組: 它不僅可以用來描述捕食系統(tǒng)。也可以用來描述相互間存它不僅可以用來描述捕食系統(tǒng)。也可以用來描述相互間存在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。在其他關(guān)系的種群系統(tǒng)。10112212011222()()xaa xa xxxbb xb xx 式中式中a1、b2為本種群的親疏系數(shù)為本種群的親疏系數(shù), a2、b1為兩種群間的交叉為兩種群間的交叉親疏系數(shù)親疏系數(shù). a2b10時時, 兩種群間存在著相互影響兩種群間存在著相互影響, 此時又可分為此時又可分為以下幾類情況以下幾類情況:i) a20, b10, 共棲系統(tǒng)共棲系統(tǒng);ii) a20( 或或a20, b1

56、0), 捕食系統(tǒng)捕食系統(tǒng);iii) a20, b10.1*m0, 即使發(fā)射空殼火箭即使發(fā)射空殼火箭(mp=0)，其末速度也不超過，其末速度也不超過7公里公里/秒。秒。 遠遠小于需要的速度遠遠小于需要的速度(10.57公里公里/秒秒), 按這種設(shè)計按這種設(shè)計目前根本不可能用火箭發(fā)射人造衛(wèi)星！目前根本不可能用火箭發(fā)射人造衛(wèi)星！ 僅僅靠減少燃料重量來提高速度不僅僅靠減少燃料重量來提高速度不能滿足需要！應(yīng)進一步考慮能滿足需要！應(yīng)進一步考慮同時減少同時減少ms！即如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不即如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不斷減少，末速度就有可能能達到要求！斷減少，末速度就有可能能達到要求！2 2、

57、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭理想地好，它能箭理想地好，它能隨時拋棄隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，無用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與燃料質(zhì)量以與（與（1-）的比例同時減少）的比例同時減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于,當火箭燃料耗盡時當火箭燃料耗盡時,結(jié)結(jié)

58、構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡,它的最終質(zhì)量為它的最終質(zhì)量為mP! 所以最終速度為所以最終速度為: : 哈哈，我還是有可能上哈哈，我還是有可能上天的！天的！pmmuv0ln)1( 只要只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度。足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度。 考慮到空氣阻力和重力等因素考慮到空氣阻力和重力等因素, 估計估計(按比例的粗略估計按比例的粗略估計)發(fā)射衛(wèi)星發(fā)射衛(wèi)星要使要使v=10.5公里公里/秒才行秒才行, 則可推算出則可推算出m0/mp約為約為50, 即發(fā)射即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星噸重的衛(wèi)星大約需要大約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 !190

59、3年年齊奧爾科夫斯基齊奧爾科夫斯基 3 3、理想過程的實際逼近、理想過程的實際逼近多級多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級數(shù)為記火箭級數(shù)為n, 當?shù)诋數(shù)趇級火箭的燃料燒盡時級火箭的燃料燒盡時, 第第i+1級火箭立級火箭立即自動點火即自動點火, 并拋棄已經(jīng)無用的第并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭級火箭. 用用mi表示第表示第i級火箭的級火箭的質(zhì)量質(zhì)量, mP表示有效負載表示有效負載. 為簡單起見，先作如下假設(shè)：為簡單起見，先作如下假設(shè)： (i) 設(shè)各級火箭具有相同的設(shè)各級火箭具有相同的 ,即即i級火箭中級火箭中mi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量為結(jié)構(gòu)質(zhì)量, (1-)mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。(ii)設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與

60、其負載質(zhì)量之比保持不變設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變,并記比值為并記比值為k. 考慮二級火箭：考慮二級火箭： 當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為： 12112ln PPmmmummm當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為： 2122212122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，并仍設(shè)并仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計算方便，近似取秒，且為了計算方便，近似取=0.1，則，則可得：可得： 1222122113ln0.10.111P