概率論與數(shù)理統(tǒng)計復旦大學出版社第三章課后答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題三 答案1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為：0，1，2，3；的可能取值為：0，1.和的聯(lián)合分布律如下表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】的可能取值為：0，1，2，3；的可能取值為：0，1，2.X和Y的聯(lián)合分布律如下表：XY012300010203.設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求二維隨機變量在長方形域內的概率.【解】如圖 題3圖

2、說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設隨機變量的分布密度求：（1） 常數(shù)；（2） 隨機變量的分布函數(shù)；（3） P0X1，0Y2.【解】（1） 由得 =12（2） 由定義，有 (3) 5.設隨機變量的概率密度為（1） 確定常數(shù)；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質有故 （2） (3) (4) 題5圖6.設和是兩個相互獨立的隨機變量，在（0，0.2）上服從均勻分布，的密度函數(shù)為求：（1） 與的聯(lián)合分布密度；（2） .題6圖【解】（1） 因在（0，0.2）上服從均勻分布，所以的概率密度函數(shù)為而所以 (2) 7.設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為求（

3、X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設二維隨機變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題8圖 題9圖9.設二維隨機變量的概率密度為求邊緣概率密度.【解】的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 題10圖10.設二維隨機變量的概率密度為（1） 試確定常數(shù)；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.設隨機變量的概率密度為求條件概率密度，. 題11圖【解】所以 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為，最大的號碼為.（1） 求與的聯(lián)合概率分布；（2） 與是否相互獨立？【解】（1） 的可能取值為：1,2,3；的可能取值為3,4

4、,5.與的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表：YX345120300 (2) 因故與不獨立13.設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關于X和關于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故與不獨立.14.設與是兩個相互獨立的隨機變量，在（0，1）上服從均勻分布，的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根

5、的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實根的條件是即 ，從而方程有實根的概率為： 15.設和分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設和相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求的概率密度.【解】因為和相互獨立，所以與的聯(lián)合概率密度為如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當z0時，（2） 當0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) 的可能取值為：0,1,2,3，.，n，且 (2) 24.設隨機變量X

6、和Y獨立，其中X的概率分布為X，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1.解：因為隨即變量服從0，3上的均勻分布，于是有 因為X，Y相互獨立，所以于是 .26. 設二維隨機變量(X, Y)的概率密度為 (I) 求 ； (II) 求Z+的概率密度. 【詳解】 (I) .( II) 解法一：先求Z的分布函數(shù): 當時, ;當時, ；當時, ；當時, .故Z+的概率密度為=

7、解法二：，當或時，;當時， ；當時，；故Z+的概率密度為27.設隨機變量與相互獨立，的概率分布為，的概率密度為記.（1）求;（2）求的概率密度.解 （1）注意到與相互獨立，于是（2）先求的分布函數(shù)。由于,構成樣本空間的一個劃分，且,因此根據(jù)全概率公式得的分布函數(shù)分布函數(shù)求導數(shù)，可得的概率密度28.袋中有1個紅球、2個黑球、3個白球，現(xiàn)有放回地取球兩次，每次取一個球，以分別表示兩次取球得到的紅球、黑球與白球的個數(shù)。（1）求;（2）求二維隨機變量的概率分布。解 （1）由條件概率得也可以有 或用縮減樣本空間法：，表示兩次取球都沒有取到白球，即只在紅球、黑球中做選擇，因此，樣本空間中樣本點總數(shù)為3*3=9，（2）與的可能取值均為：0，1，2. 且，同理可以求得聯(lián)合分布律中的其它概率值。的聯(lián)合分布律如下表： 01201229.設二維隨機變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度。 解 由概率密度函數(shù)的規(guī)范性有得常數(shù) ，即 的邊緣概率密度為 所求條件概率密度為（提示:本題充分利用概率積分來簡化計算）30.設隨機變量與的概率分布分別如下表所示。01-101且.（1）求二維隨機變量的概率分布；（2）求的概率分布。解 由 得 ，即 進而 再根據(jù)聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布的關系，可得的概率分布