第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念 衡量點(diǎn)估計(jì)好壞的標(biāo)準(zhǔn)衡量點(diǎn)估計(jì)好壞的標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的常用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的常用 點(diǎn)估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)法 數(shù)據(jù)分布特征數(shù)據(jù)分布特征品質(zhì)數(shù)據(jù)的分類整理：數(shù)量數(shù)據(jù)分組：組距分組：?jiǎn)巫兞糠纸M：條形圖、餅圖直方圖、折線圖I.組數(shù)：II. 組距：2lgn lg1 K組數(shù)minmax排序計(jì)數(shù)6.0 頻率與直方圖分組的原則：窮盡原則，互斥原則例：某商店連續(xù)40天的商品銷售額（單位：萬(wàn)元）如下： 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組，編制頻數(shù)分布表，并畫(huà)出直方圖。41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44

2、42 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35按銷售額分組（萬(wàn)元）按銷售額分組（萬(wàn)元） 頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率% %25-3025-3030-3530-3535-4035-4040-4540-4545-5045-504 46 615159 96 610.010.015.015.037.537.522.522.515.015.0合計(jì)合計(jì)4040100.0100.0數(shù)據(jù)分布特征的測(cè)度1、分布的集中趨勢(shì)：1)眾數(shù)：出現(xiàn)頻率最高的值， 用記之。算法(1) 例 1,2,4,4,5,6則1,2,3,3,4,5,6,6,7 則0M40M630

3、0MorM算法(2)dffffffLM)()(1110其中 L為眾數(shù)組的下限值，d為眾數(shù)組的組距， f為眾數(shù)組的頻數(shù)，分別為眾數(shù)前，后一組的頻數(shù)11,ff2)中位數(shù)： 中間位置的數(shù)，用記之。算法(1) 例 1,2,3,4,5,6,7則1,2,3,4,5,6則eM4eM5 . 3243eM算法(2)LdfSMmmNe 12mf其中 L為中位數(shù)所在組的下限值；d為中位數(shù)所在組的組距。為中位數(shù)所在組以前各組的累計(jì)頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；1mS3)均值：1)簡(jiǎn)單平均2)加權(quán)平均3)調(diào)和平均4)加權(quán)調(diào)和平均5)幾何平均NXXNii1,1NiiiXfX11NiifNiXMiNH11NiXmNiiMii

4、mH11NNMXXXG21其中例考分506060707080809090100人數(shù) 4 7 11 12 8.X,eM求,0M解： 0M80)812()1112(11121082 eM704 221 11 01 1 79.1 X554（65775118512)95842/095.78眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較對(duì)稱分布左偏分布右偏分布XMMe00MMXeXMMe02、分布的離散程度：(1)(2)平均離差NXXMNiiD1樣本方差22111NiinXXN(3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差2111NiinXXN（4）極差iiXXminmax例：求1,2,3,4,5的均值，方差。2222221 2 3 4 53,5(1

5、3)(2 3)(3 3)(4 3)(5 3)5 12.5X 解： 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù) 觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng)建方法,分析推斷。 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷 伴隨著一定概率的推測(cè)。其特點(diǎn)是:由“部分”推斷“整體”。 總體總體 研究對(duì)象的全體(整體)X。個(gè)體個(gè)體 每一個(gè)研究對(duì)象。有限總體有限總體無(wú)限總體無(wú)限總體1.基本概念基本概念 樣本樣本 由部分個(gè)體構(gòu)成的集合。第第6.16.1節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念(X1,X2, Xn 樣本容量樣本容量 樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n.）注注 樣本觀測(cè)值(x1,x2,xn）。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：獨(dú)立、同分布性。 注意注意:樣本是一

6、組獨(dú)立同總體分布的隨機(jī)變量樣本是一組獨(dú)立同總體分布的隨機(jī)變量. 例如例如 檢驗(yàn)一批燈泡的質(zhì)量,從中選擇100只,則總體總體 這批燈泡(有限總體)個(gè)體個(gè)體 這批燈泡中的每一只 樣本樣本 抽取的100只燈泡(簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本)樣本容量樣本容量 100樣本值樣本值 x1,x2,x100顯然,可以選擇“樣本的函數(shù)”:n1iiXn1X作為燈泡質(zhì)量的一個(gè)衡量指標(biāo).總體總體選擇個(gè)體選擇個(gè)體樣本樣本觀測(cè)樣本觀測(cè)樣本樣本觀察值樣本觀察值 (數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì)推斷總體性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量這樣的“不含未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布成為抽樣分布抽樣分布.

7、統(tǒng)計(jì)的一般步驟統(tǒng)計(jì)的一般步驟(2) 樣本均值(4) 修正樣本方差(5)修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3) 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1S), 2 , 1()(11iXXnBnikik(1) 樣本k階原點(diǎn)矩), 2 , 1(11iXnAnikik注注21212)(XnXXXniinii常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量 未知,則(2456)不是統(tǒng)計(jì)量。 是來(lái)自總體 例例1.1.設(shè)nXXX,21),(2N, 的s.r.s,其中n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX62X5X)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量量標(biāo)準(zhǔn)一標(biāo)準(zhǔn)一:無(wú)

8、偏性 設(shè) 為的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),若 則稱 為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì).,)(E注意注意 無(wú)偏估計(jì)若存在，則可能不唯一.衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn):標(biāo)準(zhǔn)三標(biāo)準(zhǔn)三:相合性(一致性) 設(shè)統(tǒng)計(jì)量 是未知參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量,樣本容量為n , 若對(duì)任意 則稱 為 的相合估計(jì)相合估計(jì),又稱一致估計(jì)一致估計(jì).1limpn, 0)0lim(pn或標(biāo)準(zhǔn)二標(biāo)準(zhǔn)二:有效性 設(shè) 和 是 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì),若 稱 比 更有效有效2)()(21DD112例：例： 設(shè)X1,X2,X3為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,EX=,DX=2,驗(yàn)證下列的估計(jì)量哪個(gè)更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21

9、X21解解X21X21EE21165EX65EX31EX32EX21E3213,EXEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理, 3/DX91DX91DX91D23212所以21,為無(wú)偏估計(jì)量,DD212更有效.例例：驗(yàn)證: 是總體X方差的一個(gè)無(wú)偏估計(jì); 不是方差的無(wú)偏估計(jì).n1i2i2)XX(1n1SniiXXnB122)(1解解)X(nE)X(E1n1ES2n1i2i2n1i2i)XX(n1i2i2i)XXX2X(2n1iin1i2iXnXX2X2n1i2iXnX)X(E1nnEX1nn22)XE(XD)E

10、X(DX1nn22XDDX1nnnDXDX1nn=DX所以,S2為DX的無(wú)偏估計(jì)量.ES2=DX,122SnnB故221ESnnEBDXn1n 所以, 不是DX的無(wú)偏估計(jì)量.2B1.矩估計(jì)法矩估計(jì)法 將總體的各階原點(diǎn)矩用相應(yīng)階的樣本原點(diǎn)矩替代,布列方程或方程組, 所得到的解, 作為總體未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方法. 例例 設(shè)總體 , 為取自該總體的樣本, 求未知參數(shù) 的矩估計(jì)量. ), 0(UXnXXX,21解解XEX2X2所以參數(shù) 的矩估計(jì)量為X2點(diǎn)估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)法(2)2222EEXEXEX 無(wú)偏估計(jì)例例 設(shè)總體的概率密度函數(shù)為 為取自該總體的樣本. 其它, 00,)(6)(3xxxxfnXXX,

11、21求(1)未知參數(shù) 的矩估計(jì)量 ;(2).(D解解 (1)306 ()2xxXEXxdx X2所以參數(shù) 的矩估計(jì)量為X2XDXDD4)2()2()(4422EXEXnnDXnn5)2(2064222例例:設(shè)總體XU(a,b),X1,X2,Xn為取自該總體的樣本,求a,b的矩估計(jì)量.解解 因?yàn)?2)(,22abDXbaEX所以令2211,()niiiEXX DXBXEXn 得方程組222()12abXbaB 解得223,3aXBbXB(1) 似然函數(shù)似然函數(shù)(樣本的聯(lián)合密度函數(shù)樣本的聯(lián)合密度函數(shù)) 設(shè)總體X為連續(xù)型，Xf(x;1,2,m), i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來(lái)

12、自該總體的樣本,則Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為nimimnxfxxxL1212121),.,;(),.,;,.,(似然函數(shù)似然函數(shù))2 2 最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法例例 XE(),即0 x00 xe);x(fXx則0 x00 xe);x( fXiixiiin1iin21),x( f);x,.,x ,x(L其它, 00,.,0, 0,211nnixxxxei11ln1lnln,0nniiiidLnL nXXdX 得得 設(shè)總體X為離散型離散型,P(X=x)=P(x;1,2,m), i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來(lái)自該總

13、體的s.r.s,則P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的聯(lián)合概率函數(shù)為n1im21im21n21),.,;x(P),.,;x,.,x ,x(L(似然函數(shù)似然函數(shù))例例 XP(),即ekkXPk!)(e! x)xX(Pxn1iin21),x(P);x,.,x ,x(Le!x);x(Pixiin1iixe!xi1211ln()lnln( ! !),ln0.nininiiLxx xxnxdLnXd 得得(2) 基本思想基本思想:最大似然估計(jì)就是通過(guò)樣本值 來(lái)求得總體的分布參數(shù),使得 取值為 的概率最大.nXX,1nxx,1nxx,1 若似然函數(shù) 在 取到

14、最大值,則稱 分別為 的 最大似然估計(jì).),.,;x,.,x ,x(Lm21n21m21,.,m21,.,m21,.,最大似然估計(jì)最大似然估計(jì):(3) (3) 方法與步驟方法與步驟: :設(shè)總體的分布密度(或概率密度)其中 是待估參數(shù). ),; x( fm1m,1 寫(xiě)出似然函數(shù)(即樣本的聯(lián)合密度函數(shù))n1im1im1n1),;x( f),;x ,x(LL 寫(xiě)出對(duì)數(shù)似然函數(shù)（對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)）nimixfL11),;(lnln 寫(xiě)出似然方程miiL,2, 1,0ln 求解似然方程并寫(xiě)出估計(jì)量mii, 3 , 2 , 1,(只有一個(gè)待估參數(shù)時(shí)求只有一個(gè)待估參數(shù)時(shí)求 )dLlnd例例:XN(,2),求

15、參數(shù),2的最大似然估計(jì).解解222)x(2e21), x(f222)x(2e21n1i2)x(222ie21),;x,.,x ,x(L2n21n1i2i2)x(21n2e)21(Llnn1i2i22)x(21)21ln(nn1i2i22)x(212ln2n0)(112niix0)x(212nn1i2i42Lln2LlnXXn1n1iiniiniiXXnXn12122)(1)(1注意: 不是無(wú)偏估計(jì).2例例:設(shè)X服從0,區(qū)間上的均勻分布,參數(shù)0,求的最大似然估計(jì).解解 由題意得:其它001);(xxfX);,.,(21nxxxL其它0,.,0121nnxxxddL01nn無(wú)解.基本方法失效.要使

16、L取值最大,應(yīng)最小,而nxxx,.,021取),.,max(21nxxx此時(shí),L取值最大,所以,最大似然估計(jì)為),.,max(21nXXX應(yīng)用最大似然估計(jì)基本思想: L越大越大,樣本觀察值越可能出現(xiàn)樣本觀察值越可能出現(xiàn).),.,max(21nxxx 例例 求參數(shù)求參數(shù)為p的0-1分布的最大似然估計(jì).解解P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1)P(X=x)=px(1-p)1-xn1ix1xii)p1(p)p1ln()xn(pln)x(n1iin1iin1iin1iixnx)p1(p0111pxnpxniinii0)()1 (11niiniixnpxp)

17、p;x,.,x ,x(Ln21LlndpLlnd解得niixnp11最大似然估計(jì)為XXn1pn1ii注意: 為p的無(wú)偏估計(jì)量.X例例 設(shè)總體X其他,01, 10 ,) 1()(xxxf解解 由題意得:);x,.,x ,x(Ln21當(dāng) 時(shí)， )n,.,2 , 1i (1x0iLlnx)1ln(n1iinn1iixln)1ln(ndLlnd0 xln1nn1ii所求最大似然估計(jì)為n1iiXlnn1其它0n,.,2 , 1i , 1x0 x)1(in1ii其中 是未知參數(shù). 是來(lái)自總體的一個(gè)容量為 n 的s.r.s,求 的最大似然估計(jì)nXX,1).(1neE及n1iiXlnn1所以nnnEXXXXE

18、eE)()()(211另一方面21) 1(101dxxEX故nneE)21()(1設(shè)總體XN(,2),X1,X2,Xn為取自該總體X的樣本.(1)四大分布及其分位數(shù)四大分布及其分位數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其下側(cè)分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其下側(cè)分位數(shù)若P(Zz1-)=1-,則稱z1-為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)側(cè)1-分位數(shù)分位數(shù).1()1z Z1- X(x)其中nXZ定義定義 設(shè)XN(,2),則 N(0,1),對(duì)任意01,正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計(jì)量及其分布正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計(jì)量及其分布例例:在總體XN(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,X5,求下列概率:)1|12(| XP (1)因?yàn)?,54,12( NX），

19、（所以105412NX ) 1|12(|XP5415412XP=2(1.118)-1=0.7364解解即: n 個(gè)相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和X的分布為自由度為 n 的 分布.2)(2nmYX性質(zhì)性質(zhì) X1,X2,Xn獨(dú)立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則)(212nXXnii定義定義 分布具有可加性可加性,即 X,Y獨(dú)立,X (m),Y (n),則222分布的下側(cè)分位數(shù)分布的下側(cè)分位數(shù)2 分布的下側(cè)分位數(shù)分布的下側(cè)分位數(shù)Xf(x)21( )n (1)若P(X)=1-,則21( )n (1)若P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.解解 210.975(1

20、0)20.483220.05(10)3.247定義定義 設(shè) ,對(duì)于給定的(0 )=,則稱 為自由度為n的 分布的下側(cè)側(cè)1-分位數(shù)分位數(shù).)n(X2221( )n 21( )n 2 2 例例 設(shè) 是取自總體N(0,4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 時(shí), ).2(2XXa XXbXXa 221234(2)(34)=_,b=_當(dāng)當(dāng)4321,XXXX解解由題意得)1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a43211)X4X3(bD1)X2X(aD4321ab 1201100 設(shè)隨機(jī)變量 ,隨機(jī)變量 Y ,且它們互相獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量 的分布為自由度是 n 的t 分布,記作) 1 , 0( NX)(2nnY

21、XT/).(ntT定義定義t t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x) 特點(diǎn)特點(diǎn) 關(guān)于y軸對(duì)稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線. t t分布及其下側(cè)分位數(shù)分布及其下側(cè)分位數(shù)服從( )分布,參數(shù)為( ). 例例: :設(shè)隨機(jī)變量X 和Y 相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布 ,而 和分別是來(lái)自總體 X 和 Y 的 s.r.s,則統(tǒng)計(jì)量 )9 ,0(N91,XX 91,YY 29Y21Y9X1XUt t9 9解解),1 ,0(NX91X91ii)1 ,0(N3Yi故)9(91)3(2912912iiiiYYY 與 獨(dú)立,YX所以 )9(9/tYXU t分布的下側(cè)分位數(shù)分布的下側(cè)分

22、位數(shù)例例:設(shè)t1-(n)為t(n)的下側(cè)1-分位數(shù)則P(T t1-(n)= ,P(T t1-(n)= .1( )tn Xf(x)1-2設(shè)Xt(n),對(duì)于給定(01),若P(t(n) )=1-,則稱 為t(n)分布的下側(cè)側(cè)1-分位數(shù)分位數(shù).1( )tn 1( )tn (4)設(shè)隨機(jī)變量 隨機(jī)變量 且它們相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量 的分布為自由度是 的 F 分布。),(12nX),(22nY21/nYnXF ),(21nn(1)若P(F)=1-,則P(1/F1/)=1-1211(,)Fn n),(1),(1221nnFXnnFX則若F F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)Xf(x)112(,)Fn n 設(shè) 是來(lái)自

23、總體 的 s.r.s, 分別是樣本均值和修正樣本方差,則 nXXX,21),(2NX2, SX)1 ,0(Nn/X222 (1)/(1)/(1)XXnt nSnnSn);1() 1(222nSn抽樣分布基本定理抽樣分布基本定理1),(2nNX2)3) 與 相互獨(dú)立.2SX 4)設(shè)XN(1,12),Y N(2,22),從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,且兩組樣本獨(dú)立,則)1 , 0(Nnn)()YX(22212121)2nn( tn1n1S)(YX2121p215）當(dāng) 時(shí),記2221222112212(1)(1)2pnSnSSnn ) 1, 1(/)62122222121nnFSS這樣的“不含

24、未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布成為抽樣分布抽樣分布.小結(jié):(2) 樣本均值(4) 修正樣本方差(5)修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3) 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1S), 2 , 1()(11iXXnBnikik(1) 樣本k階原點(diǎn)矩), 2 , 1(11iXnAnikik注注21212)(XnXXXniinii常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)一標(biāo)準(zhǔn)一:無(wú)偏性 設(shè) 為的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),若 則稱 為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì).,)(E注意注意 無(wú)偏估計(jì)若存在，則可能不唯一.衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn):標(biāo)準(zhǔn)三標(biāo)準(zhǔn)三:相合性(一致性) 設(shè)統(tǒng)計(jì)量 是未知參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量,樣本容量為n , 若對(duì)任意 則稱 為 的相合估計(jì)相合估計(jì),又稱一致估計(jì)一致估計(jì).1limpn, 0)0lim(pn或標(biāo)準(zhǔn)二標(biāo)準(zhǔn)二: