微積分綜合練習(xí)題及參考答案

1、綜合練習(xí)題1 (函數(shù)、極限與連續(xù)部分)1.填空題1(1)函數(shù)f(x) 1的定義域是.答案：x 2且x 3.ln( x 2)(2)函數(shù) f(x)1ln(x 2)44 x2的定義域是答案：(2, 1) ( 1,2答案：f(x) x2 3(3)函數(shù) f(x 2) x2 4x 7 ,則 f(x)(4)若函數(shù)f (x)xsin 1, xxk, x0在x 0處連續(xù)，則k0答案：k 1答案：f(x) x2 1(5)函數(shù) f(x 1) x2 2x,則 f(x)(6)函數(shù)y x竺”的間斷點(diǎn)是.答案：x 1 x 1，一1，一 lim xsin .答案：1 x x(8)若 lim sn4x 2,則 k .答案：k

2、2x 0 sin kx2.單項(xiàng)選擇題x x(1)設(shè)函數(shù)y一兄，則該函數(shù)是().2A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D .既奇又偶函數(shù)答案：B(2)下列函數(shù)中為奇函數(shù)是().x xA. xsinx B .-C . ln(x «1 x2)D . x x22答案：C(3)函數(shù)yln(x 5)的定義域?yàn)?).x 4A. x 5 B.x 4 C.x5且 x 0 D . x 5且 x 4答案：D(4)設(shè) f(x 1) x2 1,則 f(x)()A. x(x 1) B.x2C. x(x 2)答案：CD . (x 2)(x 1)(5)當(dāng) k)時(shí)，函數(shù)f (x)ex 2, x 0 人在xk, x 0

3、0處連續(xù).A. 0 B. 1 C . 2答案：D(6)當(dāng) k)時(shí)，函數(shù)f (x)2x 1, xk, xA. 0 B. 1 C . 2答案：B函數(shù)f(x)2 x 3的間斷點(diǎn)是(x* 2 3x 2)A. x1,x2B.x 3C. x1,x2,x3D無(wú)間斷點(diǎn)答案：A3.計(jì)算題(Dx2 3x 2(2)x2 2x 3解:x2 9x2 2x 3lim(x 3)(x 3)x 3 (x 3)(x 1)x 363lim x 3 x 142(3)解:x2 6x 8lim 2x 4 x 5x 4lim (x 4)(x 2)x 4 (x 4)( x 1)綜合練習(xí)題lim»x 4 x 12 (導(dǎo)數(shù)與微分部分)

4、1 .填空題(1)曲線f(x) <X 1在(1,2)點(diǎn)的切斜率是1答案：-2(2)曲線f(x) ex在(0,1)點(diǎn)的切線方程是 答案：y x 1(3)已知 f(x) x3 3x ,則 f (3)=.答案：f (x) 3x2 3xln3f (3) =27 ( 1 In 3)(4)已知 f (x) In x ,則 f (x)=答案：f (x) 1 , f (x)= 口 xx(5)若 f(x) xex,則 f (0) 答案：f (x) 2e x xe x2 .單項(xiàng)選擇題(1)若 f(x) e xcosx，則 f (0)=().A. 2B. 1C. -1D. -2因 f (x) (e xcosx

5、) (ex)cosx e x(cosx)所以 f (0) e 0(cos0 sin 0)1答案：C(2)設(shè) y lg2 x ,則 dy ().11ln101 .A.dx B . dx C . dx D . - dx2xxln10xx答案：B(3)設(shè)y f(x)是可微函數(shù)，則df(cos2x)().答案：CA . 2f (cos2x)dx Bf (cos2x) sin 2xd2xC . 2 f (cos2x) sin 2xdx D , f (cos2x)sin 2xd2x答案：D(4)若f(x) sinx a3,其中a是常數(shù)，則f (x)(cosxA . cosx 3a2 B . sinx 6a

6、 C . sinx D3 .計(jì)算題 i(1)設(shè) y x2ex，求 y .1 11解：y2xex x2ex( 口)ex(2x 1)x2 2) 設(shè) y sin 4x cos3 x ,求 y .解：y4cos4x 3cos2 x( sin x)(3)設(shè) y ex1 2,求y . x解：yex-71芻2Jx 1 x(4)設(shè) y xjx In cosx，求 y .3 113：解：y x2 ( sin x) x2 tan x2 cosx2綜合練習(xí)題3 (導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分)1 .填空題(1)函數(shù)y 3(x 1)2的單調(diào)增加區(qū)間是 .答案：(1,)(2)函數(shù)f(x) ax2 1在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足

7、答案：a 02 .單項(xiàng)選擇題(1)函數(shù)y (x 1)2在區(qū)間(2,2)是()A.單調(diào)增加B .單調(diào)減少C.先增后減D .先減后增答案：D(2)滿足方程f (x) 0的點(diǎn)一定是函數(shù)y f(x)| ().A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn) C .駐點(diǎn) D.間斷點(diǎn)答案：C(3)下列結(jié)論中()不正確.A . f(x)在x xo處連續(xù)，則一定在xo處可微.B . f (x)在x xo處不連續(xù)，則一定在xo處不可導(dǎo).C .可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D.函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上.答案：B(4)下列函數(shù)在指定區(qū)間(，)上單調(diào)增加的是().A . sinx B .exC答案：B3.應(yīng)用題(以幾何應(yīng)用為主)(

8、1)欲做一個(gè)底為正方形，容積為解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為xm,高為hm5. x2 D . 3 x所以22108y x 4xh x 4x 2x2432x x108m的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？ 容器的表面積為ymt怎樣做法所用材料最省即容 器如何設(shè)計(jì)可使表面積最小。由已知432一、2x 432 0 ,解得唯一駐點(diǎn)x 6x因?yàn)楸締?wèn)題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x 6是函數(shù)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)。故當(dāng)x 6m, h 108 3 m時(shí)用料最省.62(2)用鋼板焊接一個(gè)容積為4m3底為正方形的開(kāi)口水箱，已知鋼板的費(fèi)用為10元/ m2, 焊接費(fèi)40元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)用最低？最低總費(fèi)用

9、是多少？解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為x m,高為h m,表面積為S m2,且有h 42 x所以 S(x) x2 4xh x2 , x令 S(x) 0,得 x 2.因?yàn)楸締?wèn)題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng) x 2 m , h 1 m時(shí)水箱的表面積 最小.此時(shí)的費(fèi)用為 S(2) 10 40 160 (元)(3)欲做一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為xm,高為hm所用材料(容器的表面積)為 ym2。由已知22，322128y x 4xh x 4x 2 x xx4是函數(shù)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)令y 2x 128 0,解得唯一駐點(diǎn)x 4。 x因?yàn)楸締?wèn)題存在

10、最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以x32故當(dāng)x 4m, h與2 m時(shí)用料最省.4請(qǐng)結(jié)合作業(yè)和復(fù)習(xí)指導(dǎo)中的題目進(jìn)行復(fù)習(xí)O綜合練習(xí)題4 (一元函數(shù)積分部分)1.填空題(1)若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為ln x2 ,則f(x) .x(2)若 f (x)dx sin2x c,貝 f(x)答案：2 cos2x(3)若 cosxdx 答案：sinx c2(4) de .2答案：ex c(5) (sin x) dx .答案：sinx c(6)若 f (x)dx F (x) c,貝U f (2x 3)dx 1答案：1F(2x 3) c2(7)若 f (x)dx F (x) c,貝U xf (1 x2)dx 一、1c答

11、案：1F(1 x2) c21 2(8) (sinxcos2x x答案：23d e 2(9) 一 ln(x 1)dx dx 1一答案：0,、0 2x(10) e dx =.1答案：122.單項(xiàng)選擇題(1)下列等式成立的是(A. d f (x)dx f (x)C. f (x)dx f (x) dx答案：Cx)dx .).B. f (x)dx f (x)D. df(x) f (x)(2)以下等式成立的是(.1、_A. In xdx d(-)BxC. dx d/xD、x答案：D(3) xf (x)dx ()A. xf (x) f (x) c B.C. -x2f (x) c D.2答案：A(4)下列定積

12、分中積分值為sin xdx d(cosx)3xdxd3xIn 3xf (x) c(x 1)f (x) c0的是().i ex e xA.e-e-dxB1 2 x x1 e e , dx12C.(x3 cosx)dxD(x2 sin x)dx答案：A(5)設(shè)f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),則定積分af (x)dx-a0A. 0B.f(x)dx C-aa0 f(x)dxD.02 f(x)dx-a答案：A(6)下列無(wú)窮積分收斂的是().A.0sinxdxB.3 dxxC.11dx xD.2x .e dx答案：D3.計(jì)算題(1)(2x 1)10dx解:(2x 1)10dx1 (2x21)10d(2x1111)

13、 22(2x 1) c(2)解:.1 sin 一x2x.1 sin x2xdxdxsin-d1 x x1 cosx2 e xd . x2e xx e (3)e dxxln 20 ex(42)dx解:ln2ex(40ex)2dxln 2(4ex)2d(4ex)1(43In 201 -(216 3125)130 3(5)解:e1 5ln x dx1 xe1 (1 5ln x)d(1, 、1 、5ln x) (1 5lnx) 1017(36 1)102(6)解:1 xxe dx01xexdx0xe1exdx0e1 5ln x , dx1 x2xsin xdx0解:02xsin xdxxcosx(202cosxdxsin x 2 10綜合練習(xí)題5 (積分應(yīng)用部分)已知曲線y填空題f(x)在任意點(diǎn)x處切線的斜率為且曲線過(guò)(4,5),則該曲線的方程x答案：y 2、x 1a(2)由止積分的幾何息義知，Va x dx =0-(4)微分方程y 3y 0的通解為答案：y3x ce(5)微分方程(y )3 4xy(4) y7 sin x的階數(shù)為2 .單項(xiàng)選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)(1,4 )的曲線為(A. y = x2 + 3C. y x2 2下列微分方程中，（）是線性微分方程.2 xy y xy e.y sin x