全等三角形的專題

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造兩條邊之間的相等，兩個角之間的相等。1 、添加輔助線的方法和語言表述(1)作線段：連接；(2)作平行線：過點作/；(3)作垂線(作高)：過點作 !，垂足為；(4)作中線：取中點，連接；(5)延長并截取線段：延長使等于；(6)截取等長線段：在上截取，使等于；(7)作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8)作一個角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運用( 1)倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形( 2)截長補

2、短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時，通常考慮截長補短法，構(gòu)造全等三角形。截長：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段3)角平分線：以角平分線為對稱軸利用”軸對稱性“構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”。可以在角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等

3、三角形?？梢栽谠摻堑膬蛇吷希嚯x角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。(4) 一線三等角問題(“K”字圖、弦圖、三垂圖)：兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的直角邊。(5) 角含半角、等腰三角形的(繞頂點)旋轉(zhuǎn)重合法：)圖形補全：有一個角為60°或120°的，把該角添線后構(gòu)成等邊三角形。7 / 6、倍長中線1、已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3則中線 AD的取值范圍是 2、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DEI DF, D是中點，比較 BE+C* EF的大小.二、截長補短3、如圖，

4、AD/ BC, EA,EB分別平分/ DAB,/CBA CD過點 E,求證;AB = AD+BC4: 如圖， ABC 中，/ C=2/ B, / 1 = 7 2。求證：AB=AC+CD.B C B三、角平分線造全等6、如圖，在四邊形 ABCD43,2J E £4CBC> BA,AD= CD BD平分 L=J ,求證：1 5、如圖，在四邊形 ABCD, BC> BA,AA CD BD平分,求證:四、“K”字圖、弦圖、三垂圖由 AB段 BCDI出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD五、旋轉(zhuǎn)（一）、含半角繞頂點旋轉(zhuǎn)如圖，四邊形 ABC虛止方形，方法：延長其中一個補角的線

5、段（延長延長CB到F,使FB=DN,連AF ）V ENEC=AB-CDE/1M1CD至U E,使 ED=BM 連 AE或,"結(jié)論： MN=BM+DN AM AN分別平分 / BMNF口 / DNM翻折：AI）方£MC思路：分別將 ABMF口 ADNA AMD AN為對稱軸翻折，但一且 AB=AD一定要證明 MP、N三點共線.（/B+/ D=180°(二)、等腰三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)ABE ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1) ABF AE(C(2) / B0E=Z BAE=60 (“八字型"模型證明)(3) OA平分/ EOF拓展: 條件： ABCCDE勻為等邊三

6、角形結(jié)論：(1)、AD=BE (2)、/ACBhAOB(3)、PCQ等邊三角形(4)、PQ/ AE(5)、AP=BQ (6)、C0¥ Z AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需構(gòu)造等邊三角形證明)條件： ABDACE勻為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BE=CD (2) BEL CD條件：ABE林口 ACH明為正方形結(jié)論：(1)、BDL CF (2)、BD=CF變形一：ABE林口 ACH明為正方形， ASL BC交FD于T,求證：T為FD的中點.方法一：方法方法三:變形二：ABE林口 ACH明為正方形，M為FD的中點，求證： AN! BC練習(xí)鞏固1、

7、如圖在 ABC中，AB>AC, / 1 = /2, P 為 AD上任意一點，求證；AB-AC>PB-PC2、如圖， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點，求證： AD平分/ BAE.3、已知：如圖， El是等邊三角形，I X】 ,求證:4、如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD,CE相交于點 O,求證：OE=OD5、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、 DC (或它們的延長線)于點M N.(1)當(dāng)/ MAN繞點A旋轉(zhuǎn)至ij BM=DN時(如圖1),易證BM+DN=MN(2)當(dāng)/