六年級(jí)奧數(shù).雜題.抽屜原理

1、知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)介紹抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)并用來(lái)證明一些數(shù)論中的問(wèn)題，因此，也被稱為狄利克雷原則抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問(wèn)題， 并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜， 甚至無(wú)從下手的問(wèn)題,在利用抽屜原則后，能很快使問(wèn)題得到解決.抽屜原理的定義(1)舉例桌上有十個(gè)蘋(píng)果，要把這十個(gè)蘋(píng)果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋(píng)果。(2)定義般情況下，把 n+1或多于n+1個(gè)蘋(píng)果放到n個(gè)抽屜里，其中必定至

2、少有一個(gè)抽屜里至少有兩個(gè)蘋(píng) 果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。抽屜原理的解題方案結(jié)論：至少有(商+1)個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里(一)、利用公式進(jìn)行解題 蘋(píng)果抽屜=商余數(shù) 余數(shù)：(1)余數(shù)=1,(2)余數(shù)=x 1 p xp n 1結(jié)論：至少有(商+1)個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里(3)余數(shù)=0,(二)、利用最值原理解題結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里將題目中沒(méi)有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說(shuō)的極限思想“任我 意”方法、特殊值方法.重難點(diǎn)抽屜原理是一種特殊的思維方法，不但可以根據(jù)它來(lái)做出許多有趣的推理和判斷，同時(shí)能夠幫助同學(xué) 證明很多看似復(fù)雜的問(wèn)題。本講的主要教學(xué)目標(biāo)是：（ 1）

3、 理解抽屜原理的基本概念、基本用法；（ 2） 掌握用抽屜原理解題的基本過(guò)程；（ 3 ） 能夠構(gòu)造抽屜進(jìn)行解題；（ 4） 利用最不利原則進(jìn)行解題；（ 5） 利用抽屜原理與最不利原則解釋并證明一些結(jié)論及生活中的一些問(wèn)題。例題精講（一）、直接利用公式進(jìn)行解題（1）求結(jié)論【例 1】 6只鴿子要飛進(jìn) 5個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有 1只，一定有一個(gè)籠子里有 2 只鴿子對(duì)嗎？鞏 固】年級(jí)一班學(xué)雷鋒小組有 13 人教數(shù)學(xué)的老師說(shuō)： “你們這個(gè)小組至少有 2 個(gè)人在同一月過(guò)生日 你知道老師為什么這樣說(shuō)嗎？【例2】 人的頭發(fā)平均有12萬(wàn)根，如果最多不超過(guò)20萬(wàn)根，那么13億中國(guó)人中至少有 _ 人的頭發(fā)的根數(shù)相同。

4、圖8【鞏固】向陽(yáng)小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問(wèn)：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天?【例3】 五年級(jí)數(shù)學(xué)小組共有 20名同學(xué)，他們?cè)跀?shù)學(xué)小組中都有一些朋友，請(qǐng)你說(shuō)明：至少有兩名同學(xué),他們的朋友人數(shù)一樣多.【鞏固】“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人試說(shuō)明：在游 園的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等例 4】 在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？鞏 固】四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別被 3除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，請(qǐng)說(shuō)明理由例 5】 求證：可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是 4 的自然數(shù)，它是 1996 的倍數(shù)【鞏固】求證：對(duì)于任意的8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)

5、數(shù)a, b, c, d, e, f,使得(a b)(c d)(e f) 是 105 的倍數(shù)2)求抽屜例 6】 某班有 16 名學(xué)生，每個(gè)月教師把學(xué)生分成兩個(gè)小組問(wèn)最少要經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，才能使該班的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里12個(gè).鞏固】100 個(gè)蘋(píng)果最多分給多少個(gè)學(xué)生，能保證至少有一個(gè)學(xué)生所擁有的蘋(píng)果數(shù)不少于3）求蘋(píng)果例 7】 一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了 10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分 10分，每道題答對(duì)得 3 分，答錯(cuò)扣 1分，不答不得分。問(wèn)：要保證至少有4 人得分相同，至少需要多少人參加競(jìng)賽？鞏固】一次測(cè)驗(yàn)共有 10道問(wèn)答題，每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得 5 分；回答不完全正確，

6、得 3 分，回答完全錯(cuò)誤或不回答，得 0 分至少 人參加這次測(cè)驗(yàn)，才能保證至少有 3 人得得分相同二）、構(gòu)造抽屜利用公式進(jìn)行解題例 8】 在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出 2 個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣你能說(shuō)明這是為什么嗎？鞏固】幼兒園買(mǎi)來(lái)許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問(wèn)：至少有多少個(gè)小 朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？例 9】 從 2、4、6、8、L 、50這 25個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)， 才能保證有 2個(gè)數(shù)的和是 52？【鞏固】請(qǐng)證明：在

7、1, 4, 7, 10, 100中任選20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)其和都等于104.【例10】從1,2,3，2010,2011這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)， 使得其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于 4？【鞏固】從1至2013這2013個(gè)自然數(shù)中最多能取出多少個(gè)數(shù)，使得其中任意的兩數(shù)都不連續(xù)且差不等于4?【例11】從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多選出個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍.【鞏固】從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).【例12】有蘋(píng)果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋(píng)果的總數(shù)與桔子的

8、總數(shù)都是偶數(shù)？【鞏固】在20米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放12盆花，隨便怎樣擺放，請(qǐng)你說(shuō)明至少有兩盆花它們之間的距離小于2米.n個(gè)扇形中總能扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋 4個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)覆蓋的數(shù)不全相同如果從這任做的 恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部 12個(gè)數(shù)，求n的最小值.【鞏固】如圖，在時(shí)鐘的表盤(pán)上任意作 9個(gè)120的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤(pán)上的數(shù)并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作8個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立.【例14】從1, 2, 3,49, 50這50個(gè)數(shù)中取出若干個(gè)數(shù)，使其中任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除,則最多能取出多少個(gè)數(shù)？12

9、道題，并且至少有8道題與其他（三）、最不利原則【例15】“走美”主試委員會(huì)為三八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題每個(gè)年級(jí)各年級(jí)都不同.如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)， 最多只能出現(xiàn)3次本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備 道 決賽試題.【鞏固】一個(gè)口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各 100粒。如果你閉上眼睛，至少取出多 少粒珠子才能保證其中有 5粒顏色相同？例 16】 有紅、黃、藍(lán)、白 4 色的小球各 10 個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里一次摸出小球8 個(gè)，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的？鞏固】在100卡片上不重復(fù)地編寫(xiě)上 1 100 ，請(qǐng)問(wèn)至少要隨意抽出幾卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相 乘后之乘積可被 4 整除？例 17】

10、 一個(gè)口袋里分別有紅、黃、黑球 4， 7， 8 個(gè)，為保證取出的球中有 6 個(gè)同色，則至少要取小球個(gè)。鞏 固】 一 幅撲克牌有 54，最少要抽取幾牌，方能保證其中至少有2 牌有相同的點(diǎn)數(shù)？【綜合題】從1, 2, 3, 4, 5,99, 100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)，證明:（1）在這 51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；（2） 在這 51 個(gè)數(shù)中,一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50；3）在這 51個(gè)數(shù)中，一定存在 9 個(gè)數(shù)，他們的最大公約數(shù)大于 1.課堂檢測(cè)隨練 1】把 9 條金魚(yú)任意放在 8 個(gè)魚(yú)缸里面，請(qǐng)你說(shuō)明至少有一個(gè)魚(yú)缸放有兩條或兩條以上金魚(yú)隨練 2】 證明：任取 8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7

11、的倍數(shù)隨練 3】 把十只小兔放進(jìn)至多幾個(gè)籠子里，才能保證至少有一個(gè)籠里有兩只或兩只以上的小兔？家庭作業(yè)作業(yè) 1】 用五種顏色給正方體各面涂色 （每面只涂一種色 ），請(qǐng)你說(shuō)明：至少會(huì)有兩個(gè)面涂色相同作業(yè) 2】 證明：任取 6個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是 5的倍數(shù)?！咀鳂I(yè)3】袋中有外形安全一樣的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各 10個(gè)，每個(gè)小朋友只能從中摸出1個(gè)小球,至少有個(gè)小朋友摸球，才能保證一定有兩個(gè)人摸的球顏色一樣.【作業(yè)4】班上有50名小朋友，老師至少拿幾本書(shū)，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個(gè)小朋友能得到不少于兩本書(shū)？【作業(yè)5】11名學(xué)生到老師家借書(shū)，老師的書(shū)房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書(shū)，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書(shū)，最少借一本試說(shuō)明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書(shū)的類型相同【作業(yè)6】有紅、黃、白三種顏色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋中，一次至少摸出 個(gè)，才能保證有5個(gè)小球是同色的？【作業(yè)7】班上有28名小朋友，老師至少拿幾本書(shū)，隨意分給小朋友，才能保證