奧數(shù)新講義-一次函數(shù)-4師

1、第十一講一次函數(shù)4關于一次函數(shù)的解析式例1已知函數(shù).y = （7-2）x2n,+3-（3-H）是一次函數(shù)，則此函數(shù)的解析式為；解：由一次函數(shù)的定義，知2m+3J解之得m=-l.故所求函數(shù)解析武為 y=-3%-4.當m二時，函數(shù)j3-m ）* J+”計1是一次函數(shù). （提示：妥注意尤項前的系數(shù)不能為0）例2.已知一次函數(shù)y = lcx+b伙HO）的圖像經過A（l,2）、B （-1, 一4）兩點，求這個一次函數(shù)的解析 式；分析：由于一次函數(shù)y=kxb中有兩個待定的系數(shù)仁E,所以求其解 析式需兩個條件、而“過4、B兩點”就是兩個條件.把/I、B兩點的坐標分 別代入解析氏屮，得關于斤的方程組，于是可求

2、出k、b的值.解：略.例3.直線1與直線,y = 2x+l的交點的橫坐標是2,與直線.y = -x + 2的交點的縱坐標為1,求直線1對應的函數(shù)解析式；解：設直線I對應的函數(shù)解析式為y=kx.-b.由X=2代入y2x+1中， 得尸5,即求得直線I上的個點（2,5）（因它是/與v=2x + l的交點）； 又由y=l代入尸-2中，得存1,即求得宜線/上的另一個點（1,1）.將點（2,5）和點（1）代入y=kx-+b中，得解得L-4L :故直線Z b=-3,的對應的函數(shù)解析式為y=4r-3.例4正比例函數(shù)y1 = kx與一次函數(shù)y2=k2x + b的圖像如下圖，它們的交點P的坐標是（4,3）點Q在y

3、軸的負半軸上且OQ=OP,求這兩個函數(shù)的解析式; 簡析 易知V.*r如圖1-/ OArAP = 3rA OF = OQ = 5故Q（O, 5兒再由Pal,3）,可求得例5.試確定k的范圍，使一次函數(shù)y = （3-幻兀+伙一 2）的圖像和方程 - 2y = 4表示的宜線平行;0y隨X的增大而減小;通過第1. 2、3象限.解 將方程化從y=*r-2 根據(jù)l線平行的特點右 3一後=E2 寺.故當2號時“線 y=(3-A)x+(2)和直線72y4 f ff.當30.U-20.解得23.故當 20,則其圖像大致是直線（） A. aB. bC. CD d解 由FV0， rnn Ao ,知力V 0因 此、-

4、次函數(shù)圖象過 2.3.4象限故應選 （C）.例7 （99年全國競賽）設ba,將一次函數(shù)y = bx + a與ym + b的圖像畫在平面直角坐標系內，則有一組db的取值，使得下列四個圖中的一個為正確的是（）奧數(shù)教程，初三年級P52,例2；或初中數(shù)學競賽同步輔導，初三P99,例2例8. （14屆江蘇省初中數(shù)學競賽）已知一次函數(shù)y = d + b ,肋0,則這樣的一次函數(shù)的圖像必經過的公共象限有個，即第象限.解：由肋v.知上、b異號.當20V O時.它的圖像經過一、三、四象限；（2）當k 0時.它的圖像經過一、二、四象限.所以,該一次函數(shù)的圖像必經過的公共 象限有兩個即第一、四象限.例9（98年全國

5、競賽）已知dbcH,= = =/7,那么直線y=px+p 定通過（）CabA.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限初中數(shù)學競賽同步輔導，初三P99,例1例10.如果一條直線1經過不同的三點A （a,b） ,Ba）,C（a-b,b-a）,那么直線1經過（）A.第二、四象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限奧數(shù)教程，初三年級P51,例1一次函數(shù)圖像的特殊點以及面積問題例11.（15屆江蘇省數(shù)學競賽）函數(shù)y = 3-x-2的圖像如圖所示，則點A和B的坐標分別是解頑已知可得= x5(x 翅) t,r+ l(x2 )山圖2可知:7. B/丟點A是直線T

6、= - .Y + 5與X軸的交點, 有 A (5 Q): B是直線y = - X + 5與y = X + 1的交 點Iy=X-I解得 B (2 ,3).故 A(50)、E(2 3)例12.（2000年全國初中數(shù)學聯(lián)賽）在宜角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（15,6）,宜線y = -+b恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b=B(I5.6)O解：由矩形的對稱性可知平分其面積的 直線必過其中心（即對角線交點）設中心為點o,.山 E（156） 則 O .3 代入y =十X +得3 =十X17 + b.解 得b = 例13.（2001年河北省競賽）設直線LV + （7 + l）y =

7、2 （n為自然數(shù)）與兩坐標軸圍成的三角形面積為二(n=l, 2,3,2000),則S+S? + + S2000 的值為多少？解:直線MX + (刃+ Dy-Ji與兩坐標軸的交點分別彳O 捕 彳.0 1 X2+則S7r=因此5i S2 + S2OEIOGo 2 OOl_2 OoO=2 0Or例14(2001全國初中數(shù)學競賽天津賽區(qū)初賽)如圖,直線y =gx + l與X軸、y軸分別交于點A、B,以AB為直角邊在第-象限內作等腰直角且ZBAC=9。如果在第二象限內有-點P(T),且AABP的面積與RtABC的面積相等,求a的值.解:由已知可得A(Ji ?0)(0 4) ,OA =、OB = 故 AB

8、 =- OB =2.因此,Ss=十 X2 2=2.連2則S 二 S 二費0 S SQ - S Ab?=十 Xl Kd + XlX/5 + M #_ 22 4 .4/CI74x =S jsc所以-4-f =2.故斗例15.(北京市西城區(qū)2006年抽樣測試八年級(上)數(shù)學試卷)在直角坐標系中，有兩個點A(-6), B(-2,5)(1) 在丿軸上找一個點C ,在X軸上找一個點D,畫出四邊形ABCD,使其周長最短(保留作圖痕跡)；(2) 在(1)的情況下，求出C,D兩點的坐標.解答：(1) GD兩點應落在過點從-6廠3),歹(2,5)的直線上，如圖所示（2）過點A,（-6-3）,B,（2,5）的直線的

9、解析式為y = x + 3,故C點坐標為（0, 3）, D點坐標為（-3, 0） 例16.（懷柔區(qū)八年級下學期期末質量檢測數(shù)學試卷）已知一次函數(shù)7 =（加-3）x + 2的函數(shù)值隨著X的增大而減小，且一次函數(shù)J = （2 + 3）x-3的函數(shù)值隨著X的增大而增大，則同時滿足上述條件的加的取值范圍是（）解答：C例17.（北京市西城區(qū)2006年抽樣測試八年級（上）數(shù)學試卷）如圖，邊長為2的正方形ABcQ中，頂點4的坐標是（0, 2）, 一次函數(shù)yx+t的圖像/隨/的不同取值變化時，位于/的右下方由/和正 方形的邊圍成的圖形面積（陰影部分）為S.（1）當f取何值時，S=3；（2）在/移動過程中，寫出

10、S與/的函數(shù)關系式（其中0r4）解答：Sr2,(02)4-l(4-n2,(2r O ,所以 S=LoCxOE=-2 2OvOES2,所以一2SS = SMAB4 + 3 一 2(l + )由于D在AB ,所以它的橫縱坐標要適合;0 2ITl1 + a0 2l + 解、a0所以斜（心2或心。）綜合（1） （2）,可知:一一(一2 SdVo)2A + % 0)2(1 + )一.練習題5951. （2000年全國初中數(shù)學竟賽）一個一次函數(shù)的圖像與直線y = -x + -平行，與X軸，y軸的交點分別44為A、B,并且過點（一1,一25）,則在線段AB上（包括端點A, B）,橫、縱坐標均為整數(shù)的點有（）

11、 A. 4個B. 5個C. 6個D. 7個答案：B2. （1999年湖北省黃岡市初中數(shù)學競賽）如圖，宜線y = -2x + 10與X軸，y軸分別交于A、B兩點，把ZAOB沿AB翻折，點O落在C處，則點C的坐標是；3. （2001年Tl杯）在直角坐標系XOy中，X軸上的動點M（x, 0）到定點P（5, 5）、Q（2, 1）的距離分別為MP和MQ,當MP+MQ取最小值時，點IVl的橫坐標X=；答案號4. （第12屆江蘇數(shù)學競賽）求證：不論k為何值，一次函數(shù)（2k-Y）x-伙+ 3），-伙-II） = O的圖像恒過一定點；（提示:此題是“直線束”問題可先由兩條特殊直線求得交點坐標,再證明共他直線必經

12、過此交 點）5. （2000年湖北省初中數(shù)學競賽選拔題）設直線上Y +伙+ l）y = l （k為自然數(shù)）與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為SJt （k=l, 2, 3,2000）,則S1+S2+.+S2（IOo等于多少？案 1 000.6（1994年天津中招）直線y = （m + ）x-3與y = （2-3）x + 5及y軸圍成的三角形面積為16,求m的值.W來鉗趣怠LHri岀G胸.Ih力和紐 y=5 十 1）工一3, y= CD=16即 8l = ,613無命 rn = -trntf 7已知直線y=S +勺過點（一 1, -4） 距為3.（0求兩直線交點的坐標；當y2y,時，求啲范圍.解?？司€m=