數(shù)列通項(xiàng)公式求法大全

1、最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。 而作為給出數(shù)列的一種形式一一通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng) 公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)Sn 若已知數(shù)列的前項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)a0可用公式加& Sni n 2 求解.（注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng) ）例1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 2an （ 1）n,n 1 .求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn n2 n 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)

2、公式. 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1 1,公比0 q 1 ,設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn an 1 an 2求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式。三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想 出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。四、累加（乘）法對(duì)于形如an 1 an f（n）型或形如an 1 f（n）an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出 n取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式。例4. 若在數(shù)列an中，a1 3, an1 an n ,求通項(xiàng)an。例5.在數(shù)列an中，a1 1 , an 1

3、2nan (n N ),求通項(xiàng)an。五、取倒（對(duì)）數(shù)法a、am pa；這種類型一般是等式 兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為a。1 paq ,再利用待定系數(shù)法求解1 1 .b、數(shù)列有形如f (an，an i，anani) 0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以 ,先求出，再求得an. anan 1anc、an 1 fna一解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為an 1pan Q。g(n)an h(n)例 6.設(shè)數(shù)列an滿足 a1 2, an 1 一an一(n N),求 an.an 3例7設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11, an2a2 1 (n2).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.變式：1 .已知數(shù)列 an滿足：a1=.,且 an

4、=3nan1 (n 2, n N)2 2an 1+ n 1求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；3、已知數(shù)列an滿足a1 1,n2、若數(shù)列的遞推公式為a1 3, 2(n ),則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 an 1an2時(shí)，an 1 an 2an 1an ,求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列 an滿足：an %1,a1 1 ,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式3 an1 15、若數(shù)列 an 中，a1=1, an 1=-2aJ n N ,求通項(xiàng) an .an 2六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計(jì)算 七、待定系數(shù)法：1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如an 1 =P an+q(P*1,pqw0)型的

5、遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù) q分解法：設(shè)an i+k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得pk-k=q,即k=-q,從而得等比數(shù)列an+k。P 11例9、數(shù)列an酒足a二1, an=-an i+1 (n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2練習(xí)、1數(shù)列an滿足ai=1, 3an1 an 7 0,求數(shù)列a0的通項(xiàng)公式。2、已知數(shù)列an滿足a1 1 ,且an 1 3an 2 ,求an .2、遞推式為an 1 pan qn1 (p、q為常數(shù))時(shí)，可同除qn1,得幫 2之1,令腦 之 q q qq從而化歸為an 1 pan q (p、q為常數(shù))型.、例 10.已知數(shù)列 an 滿足 a1 1 , an 3n

6、2an 1 (n 2),求 an .3、形如 an 1 pan an b (p 1、0, a 0)解法：這種類型一般利用 待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an1 x(n 1) y p(axn y),與已知遞推式比較，解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為an xn y是公比為p的等比數(shù)列。例 11:設(shè)數(shù)列 an : a1 4, an 3an 1 2n 1,(n 2),求 an.4、形如 an 1panan2bn c(p 1、0,a 0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令斗1 x(n1)2y(n1) c p(anxn2 ync),與已知遞推式比較，解出x,y,z.從2而轉(zhuǎn)化為an xn yn c是公比為p的等比數(shù)列。例 12：設(shè)數(shù)列 an : a1 4,an 3an 1 2n2 1,(n 2),求 an.八：不動(dòng)點(diǎn)法，形如 an 1pan q ran h解法：如果數(shù)列an滿足下列條件：已知ai的值且對(duì)于n N ,都有an 1 pan q (其中p、q、 ran hr、h均為常數(shù)，且ph qr,r 0冏 也)，那么，可作特征方程x衛(wèi)2 ,當(dāng)特征方程有且僅 rrx h有一根X0時(shí)，則- 是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根Xi、X2時(shí)，則 目是等比 an X0an X2數(shù)列。a 4例15:已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于n N,ani 烏一，且 3,求an的通項(xiàng)公式.2an