計(jì)算n階固有頻率的一個(gè)簡(jiǎn)便公式

1、第23卷第3期2003年9月西安科技學(xué)院學(xué)報(bào)JOURNALOFXIANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY文章編號(hào):1671-1912(2003)03-0354-03計(jì)算n階固有頻率的一個(gè)簡(jiǎn)便公式郭志勇(西安科技大學(xué)基礎(chǔ)課部,陜西西安710054)摘要:對(duì)多自由度無(wú)阻線性正定系統(tǒng)固有頻率的特征方程利用根與系數(shù)的關(guān)系,給出了一個(gè)計(jì)算多自由度系統(tǒng)n階固有頻率的簡(jiǎn)便公式,并結(jié)合實(shí)例說(shuō)明該式精度較高,具有一定的實(shí)用價(jià)值。關(guān)鍵詞:振動(dòng)系統(tǒng);固有頻率;計(jì)算方法中圖分類(lèi)號(hào):O321文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A動(dòng)系統(tǒng),(Rayleigh)法、鄧克萊(Dunkerley)法、李茲(Ritz)法、子

2、空間迭代法、1,但瑞雷法需要準(zhǔn)確的估計(jì)主振型列陣A,導(dǎo)出了一個(gè)計(jì)算多自由度系統(tǒng)基頻的近似公式。本文將文獻(xiàn)3,給出了一個(gè)計(jì)算多自由度系統(tǒng)各階固有頻率的近似公式。并用實(shí)例說(shuō)明了應(yīng)用本公式其計(jì)算過(guò)程較瑞雷法簡(jiǎn)便,精度與瑞雷法相當(dāng)。因此,本文所推出的公式在理論和實(shí)際中均有一定的實(shí)用價(jià)值。1振動(dòng)系統(tǒng)的基本方程設(shè)有n個(gè)自由度的無(wú)阻尼線性正定振動(dòng)系統(tǒng),其振動(dòng)微分方程為MX+KX=0(1)若以各質(zhì)量的靜平衡位置作為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn),則質(zhì)量陣M為一對(duì)角陣,剛度陣K為一對(duì)稱陣,X,X均為列陣。設(shè)其振型列陣為A,則振型方程為-MpA+KA=02(2)(3)式中p為系統(tǒng)的固有頻率。頻率方程為|K-Mp|=022計(jì)算固有

3、頻率的近似公式將(3)式展開(kāi),則有np2n-i=12(n-1)p+mini=1j=2ijkmi2(n-2)-p+=0mimjmimj2(4)22設(shè)(4)式有n個(gè)不相等的實(shí)根,由小到大其依次為p2則由根與系數(shù)的關(guān)系有1,p2,pn。n2p12p1+2p22p2+pn=2p122i=1(5)n+pn+pn-1pn=22i=1j=2ij-mimjmimj2(6)收稿日期:2002-06-06作者簡(jiǎn)介:郭志勇(1958-),男,陜西扶風(fēng)人,副教授,主要從事工程力學(xué)教學(xué)與研究.第3期郭志勇計(jì)算n階固有頻率的一個(gè)簡(jiǎn)便公式(5)式兩端平方后減去(6)式兩端的2倍有n3554p1+4p2+pn=(4i=1)-

4、2mini=1j=2ijn-mimjmimjn=i=1()2+2mii=1j=2ij()mimj(7)由于p1p2pnn因而可在(7)式左端依次略去前n-1項(xiàng)小量,得到pn=4i=1()2+2mini=1j=2ij()mimj(8)為了能一次求得最高兩階固有頻率,保留(5)式和(7)式等號(hào)左邊的最大兩項(xiàng),寫(xiě)為npn-1+pn=4422i=1mni=1in(9)pn-1+pn=(9)式和(10)式聯(lián)立消去p4n-1,得到nk2)-2mii=1j=2ijkkkmijij(10)pn-42imini=1j=2ij-mijmimj=0(11)解(11)式得到2npn-1=2ni=1mini=1)-4m

5、ini=1j=2ij-mimjmimj(12)(12)式即為計(jì)算最高二階固有頻率的近似公式,(12)式根號(hào)前取正號(hào)為n階,根號(hào)前取負(fù)號(hào)為n-1階。當(dāng)當(dāng)n=3時(shí),由(12)式可計(jì)算出二、三階固有n=2時(shí),(12)式即為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的精確計(jì)算公式。頻率,其近似程度很高。隨著系統(tǒng)自由度數(shù)的增大,其更高階固有頻率的誤差也隨之增大,但始終與瑞雷法求基頻的精度相當(dāng),而比其它近似方法的精確度高。3應(yīng)用實(shí)例如圖1所示,簡(jiǎn)支梁的質(zhì)量不計(jì),沿梁長(zhǎng)均勻地作用3個(gè)集中質(zhì)量,梁的跨度為l,抗彎剛度為EJ。求梁作橫向振動(dòng)時(shí)的各階固有頻率1。解:系統(tǒng)的質(zhì)量陣為mM=02m系統(tǒng)的柔度陣為=系統(tǒng)的剛度陣為-1K=3

6、9117111611711923-22768EJ圖1梁的橫向振動(dòng)Fig.1Transversevibrationofbeam-2228l3992232-22有關(guān)各量計(jì)算如下3i=1=3(23+32+23)=mi28ml28ml3356=其中328ml3西安科技學(xué)院學(xué)報(bào)2003年i=1j=2ijkk22=(2332+2323+3223)=2001mimjk22222=(-22)+9+(-22)=1049mimj23i=1j=2ij將上述各量代入(12)式解得3p1=4.9383mlml參考文獻(xiàn):1清華大學(xué)工程力學(xué)系振動(dòng)組.機(jī)械振動(dòng)(上冊(cè))M.北京:2米羅維奇L.振動(dòng)分析基礎(chǔ)(下冊(cè))M.上海:1-

7、3郭志勇.計(jì)算基頻的一個(gè)簡(jiǎn)便公式J.)Asimplefn2ordernaturalfrequencyGUOZhi2yong(ofBasicCourses,XianUniversityofScienceandTechnology,Xian710054,China)Abstract:Asimpleformulaforfindingn2ordernaturalfrequencyisderivedbyuseofrelationofrootandcoef2ficient,andanexampleisenumeratedtoillustrateitsapplication.Keywords:vibrati

8、onsystem;naturalfrequency;calculationmethod(上接第353頁(yè))參考文獻(xiàn):1徐玉蘭.非物理專業(yè)“基礎(chǔ)物理”課程教學(xué)現(xiàn)代化的嘗試J.大學(xué)物理,2002,21(7):36-39.2黃國(guó)良.物理實(shí)驗(yàn)M.西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社,1997.153-160.3萬(wàn)雄.夫蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)中影響曲線形狀的因素分析J.南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2001,3(15):82-85.4郝迎吉.煤炭鐵路專線調(diào)度指揮系統(tǒng)的研制J.煤炭學(xué)報(bào),2002,5(27):548-552.5陳國(guó)杰.智能夫蘭克-赫茲實(shí)驗(yàn)測(cè)量?jī)xJ.大學(xué)物理,2002,6(21):36-39.StudyonteachingmodelofthephysicsexperimentWANGRui2ping,YANXiao2le,SHUQin(Dept.ofBasic