高中平面幾何常用定理總結(jié)

1、（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識（基本定理、基本性質(zhì)）1. 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）（1）銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.（2）鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和， 加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.2. 射影定理（歐幾里得定理）3. 中線定理（巴布斯定理）設(shè)4ABC的邊BC的中點(diǎn)為P,則有AB2 AC2 2(AP2 BP2)；中線長:ma.2b2 2c2 a2bcsin A csin B bsinC . a4. 垂線定理： AB CD AC2 AD2 BC2 BD2 .局線長：ha2 J p( p_a)(

2、pb)( pc)a5. 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例.6. 如ABC, AD平分/BAC則更 空；（外角平分線定理）.DC AC角平分線長：ta -2Jbcp（p a） -2bc- cos（其中p為周長一i半）. b cb c 27. 正弦定理：bJ 2R,（其中R為三角形外接圓半徑）. sin A sin B sin C8. 余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC .9. 張角定理：麗 BAC sin BAD sin DACADACAB10. 斯特瓦爾特（Stewart）定理：設(shè)已知 ABm其底邊上 B C兩點(diǎn)間的一點(diǎn) D,則有 AB D

3、GAC BD- AD BC= BC- DC BD11. 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半.（圓外角如何轉(zhuǎn)化）12. 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角13. 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理： ）14. 布拉美古塔（Brahmagupta定理：在圓內(nèi)接四邊形 ABC沖，AdBD 自對角線的交點(diǎn)P 向一邊作垂線，其延長線必平分對邊15. 點(diǎn)到圓的哥：設(shè)P為。所在平面上任意一點(diǎn)，PGd,。的半徑為r, 則d2 r2就是點(diǎn)P對于。的哥.過P任作一直線與。O交于點(diǎn)A B,則 PAPB= | d2r2 . “到兩圓等哥的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線

4、垂直的一 條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論這條直線稱為兩圓的“根軸”三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”三個(gè)圓的根心對于三個(gè)圓等冪當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦（就是兩兩的根軸）所在直線交于一點(diǎn)16. 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積 之和，即 AC- BD=AB- CDADBG （逆命題成立）.（廣義托勒密定理） AB- CD-AtD- BO AC- BD17. 蝴蝶定理：AB是。的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD EF經(jīng)過點(diǎn)M CF DE 交AB于P、Q求證：MPQM18. 費(fèi)馬點(diǎn)： 定理 1

5、等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離定理 2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為 “費(fèi)馬點(diǎn)”， 當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)19. 拿破侖三角形：在任意 ABC勺外側(cè)，分別作等邊 ABDzBCEzCAF 則AE AB CD三線共點(diǎn)，并且AE= BF= CD這個(gè)命題稱為拿破侖定理.以 ABC勺三條邊分別向外作等邊 ABDzBCEzCAF它們的外接圓。G

6、、 GA、OB的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形，O C、OA、OB 三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形； ABC的三條邊分別向4 ABC的內(nèi)側(cè)作等邊 ABD ABCE CAF它們的外接圓。G、OA、。 B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，O G、OA、OB三圓共點(diǎn)，內(nèi) 拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中 心20. 九點(diǎn)圓（ Nine point round 或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、 從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì), 例如 :21. （ 1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接

7、圓半徑之半;（ 2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上, 且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);（ 3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓, 三個(gè)旁切圓均相切費(fèi)爾巴哈定理 22. 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上.23. 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為 R內(nèi)切圓半徑為r, 外心與內(nèi)心的距離為d,則d2=R 2Rr.24. 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和.25. 重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2: 1的兩部分； G（xA xB_xc yA yB_莊）3'3重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為ABC勺重心，

8、連結(jié)AG延長交BC于D,則D為BC的中點(diǎn)，則AG :GD 2:1 ；(2)設(shè) G為ABC勺重心S 則 S ABG S BCG SaCG - S ABC ；3(3)設(shè)G為ABC勺重心，過 G作DEI BC交AB于D,交AC于E,過G作PF/ AC交AB于P,交BC于F,過G作HK/ AB交AC于K,交FP KH 2 DE FP KH -, CA AB 3 BC CA AB（4）設(shè)G為 ABC勺重心，則 BC2 3GA2 CA2 3GB2 AB2 3GC2 ; GA2GB2 GC23(AB2 BC2CA2);D PA2 PB2 PC2 GA2 GB2 GC2 3PG2 (P為 ABCft任意一點(diǎn))

9、；到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即GA2 GB2 GC2最?。蝗切蝺?nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為 ABC勺重心）.26. 垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)； abcabcrxA xb -;rxc : Va -yB - ycH( cos Acos Bcos Ccos Acos Bcos C)a b c , a b ccos A cos B cos Ccos A cos B cos C垂心性質(zhì)：(1)三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；(2)垂心H關(guān)于ABC勺三邊的對稱點(diǎn)，均在 ABC勺外接圓上；(3) ABC勺垂心為H,則AAB

10、C AABfH ABCH ACH勺外接圓是等圓；(4 ) 設(shè) O , H分別為zABC的外心和垂心，則BAO HAC, CBO ABH, BCO HCA .27. 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)一內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等;I JXa bxB cxcayA byB cyC)a b c內(nèi)心性質(zhì)：(1)設(shè)I為ABC勺內(nèi)心，則I到ABCS邊的距離相等，反之亦然;-1BIC 90- A2設(shè) I 為-1AIC 90 B, AIB2ABC的 內(nèi)190 C ；2，(3)三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若 A平分線交AB6卜接圓于點(diǎn)K, I為線段AK上的

11、點(diǎn)且滿足KI=KB則I為ABC勺內(nèi)心；(4)設(shè) I 為AABC勺內(nèi)心，BC a,AC b,AB c, a平分線交 BCT D,交AABC外接圓于點(diǎn)k則松篝擊t ；設(shè)I為4ABC勺內(nèi)心，BC a, AC b, AB c, I在BCAC,AB上的射影分別為D,E,F ,內(nèi)切圓半徑為r ,令p 1(a b c),則S abc pr ；AE AF p a; BD BF p b;CE CD pc； abcr p AI BI CI .28. 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)一一外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等;0(sin2A sin2B sin2csin 2A sin2B sin 2Csin 2Ax

12、A sin 2BxB sin 2CxC sin 2AyA sin2ByB sin 2CyC外心性質(zhì)：(1)外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等;設(shè)O為ABC勺外心，則 BOC 2 A或BOC 360 2 A；(3) r些J ； (4)銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其 4s內(nèi)切圓與外接圓半徑之和.29. 旁心：外內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)一一旁切圓圓心；設(shè)A ABC勺三邊BC a, AC b,AB c,令p 1(a b c),分別與BC,AC, AB外側(cè)相切的旁切圓 2圓心記為Ia,Ib,Ic,其半徑分別記為aJbJc.旁心性質(zhì)：(1) BIaC 90 1 A, BIbCBIcC 1 A,(對于頂

13、角B, C也有類似的式子)；1 I aIbIc -( a C)；(3)設(shè)AIa的連線交 ABC的外接圓于Q則DIa DB DC (對于BIb,CIc有同樣的結(jié)論)；(4) AABCg zI aIbIc的垂足三角形，且 aIbIc的外接圓半徑R'等于AABC的直徑為2R30. 三4(cot A cot B cotC)S ABC - aha absinC abc 2R2sin Asin Bsin C 224Rpr %，p(pa)(pb)(p c),其中ha表水BC邊上的局，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p 1ab c).31.三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系:4Rsin.Bs

14、inC;ra 4RsinAcosBcosC,rb 4RcosAsinlosC,rc 4RcosAcosBsinC;222 a222 b222 c222'b7C ,rb"a"_C,rtan tan - tan tan 一 2222r 1111c*Z7-；,A . B ra " r。rtan tan a b2232.梅涅勞斯(Menelaus定理：設(shè) ABC勺三邊BC CA AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有HQARr 1-(逆定理也成立)33. 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1:設(shè)ABC勺/ A的外角平分線交邊CA于Q/C的平分線

15、交邊AB于R /B的平分線交邊CA于Q則P、QR三點(diǎn)共線.34. 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2:過任意ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)A BC作它的外接圓的切線，分別和BC CA AB的延長線交于點(diǎn)P、Q R,則 P、Q R三點(diǎn)共線.35. 塞瓦(Ceva定理：設(shè)X、Y、Z分別為ABC勺邊BCCA AB上的一點(diǎn),則AX BY CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是AZ BXCYZB. XC. YA=1,36. 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于 ABC勺邊BC的直線與兩邊AB AC的交點(diǎn)分別是DX E,又設(shè)BE和C位于S,則AS一定過邊BC的中點(diǎn)M37. 塞瓦定理的逆定理：（略）38. 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1： 三角形

16、的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)39. 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理 2:設(shè) ABC的內(nèi)切圓和邊 BG CA AB分別相切于點(diǎn)R、S、T,則AR BS C位于一點(diǎn).40. 西摩松（Simson）定理：從4 ABC的外接圓上任意一點(diǎn) P向三邊BC CA AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是 DX E、R,則H E、R共線， （這條直線叫西摩松線Simson line ） 41. 西摩松定理的逆定理：（略）42. 關(guān)于西摩松線的定理1: ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上43. 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一

17、個(gè)圓周上有4 點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)44. 史坦納定理：設(shè) ABC勺垂心為H,其外接圓的任意點(diǎn)P,這時(shí)關(guān)于 ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心.45. 史坦納定理的應(yīng)用定理： ABC勺外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC CAAB的對稱點(diǎn)和 ABC勺垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上.這 條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于 ABC勺鏡象線.46. 牛頓定理1： 四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線47. 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線48. 笛

18、沙格定理1:平面上有兩個(gè)三角形 ABC ADEF設(shè)它們的對應(yīng)頂點(diǎn) （A和D B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長線相 交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線49. 笛沙格定理2:相異平面上有兩個(gè)三角形 ABC ADEF設(shè)它們的對應(yīng) 頂點(diǎn)（A和D B和E C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對應(yīng)邊或其延長 線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線50. 波朗杰、騰下定理：設(shè) ABC勺外接圓上的三點(diǎn)為P、Q R,則P、Q R關(guān)于4AB該于一點(diǎn)的充要條件是：弧 AP+弧BQ+弧CF=0（mod2 ）.51. 波朗杰、騰下定理推論1:設(shè)P、Q R為ABC勺外接圓上的三點(diǎn)，若 P、Q R關(guān)于 ABC勺西摩松線交于一點(diǎn)，則

19、A B C三點(diǎn)關(guān)于 PQR勺的 西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)52. 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1 中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、 B、C、 P、 Q、 R 六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的 垂心的連線段的中點(diǎn)53. 波朗杰、騰下定理推論3:考查ABC勺外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于 ABC 的西摩松線，如設(shè)Q時(shí)垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn) P、Q R的關(guān)于 ABC勺西摩松線交于一點(diǎn).54. 波朗杰、騰下定理推論 4:從 ABC的頂點(diǎn)向邊BC CA AB引垂線，設(shè)垂足分別是D E、F,且設(shè)邊BC CA AB的中點(diǎn)分別是L、M N,則D E、F、L、M N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

20、這時(shí)L、M N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于 ABC勺西摩 松線交于一點(diǎn)55. 卡諾定理：通過 ABC勺外接圓的一點(diǎn)P,引與ABC勺三邊BC CA AB分別成同向的等角的直線 PD PE PF,與三邊的交點(diǎn)分別是 D E、F, 則 D、 E、 F 三點(diǎn)共線56. 奧倍爾定理：通過 ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線， 設(shè)它們與 ABC勺外接圓的交點(diǎn)分別是L、M N,在 ABC勺外接圓上取一點(diǎn)P,則 PL、PM PN與 ABC勺三邊BC CA AB或其延長線的交點(diǎn)分別是 D E、F, 則 D、 E、 F 三點(diǎn)共線57. 清宮定理：設(shè)P、Q為4ABC勺外接圓的異于 A、B C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的 關(guān)于三邊BC CA AB

21、的對稱點(diǎn)分別是 J V、W這時(shí)，QU QV QW口邊 BC CA AB或其延長線的交點(diǎn)分別是 D E、F,則Q E、F三點(diǎn)共線.58. 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于 ABC勺外接圓的一對反點(diǎn)，點(diǎn) P的關(guān)于三 邊BC CA AB的對稱點(diǎn)分別是 U V W這時(shí)，如果QU QV QVW邊BC CA AB或其延長線的交點(diǎn)分別是 D E、F,則D E、F三點(diǎn)共線.（反點(diǎn)： P、Q分別為圓O的半徑OG口其延長線的兩點(diǎn)，如果O（2=OQ< OP則稱P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于圓?；榉袋c(diǎn)）59. 朗古來定理：在同一圓周上有 A、B、C、D四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三 角形，在圓周取一點(diǎn) P,彳P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松

22、線，再從 P向這 4 條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上60. 從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心61. 一個(gè)圓周上有n 個(gè)點(diǎn)，從其中任意n 1 個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)62. 康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n 個(gè)點(diǎn)，從其中任意n 2 個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)63. 康托爾定理2: 一個(gè)圓周上有 A B、C D四點(diǎn)及M N兩點(diǎn)，則M和N 點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形 BCD zCDA A DAB ABO的每一個(gè)的兩條西摩松 線的交點(diǎn)在同一直線上.這條直線叫做 M N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD勺康托 爾線64. 康托爾定理3: 一個(gè)圓周上有 A B、C D四點(diǎn)及M M L三點(diǎn)，則M N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD勺康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形 ABCD）康 托爾線、M L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD）康托爾線交于一點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)叫做M Z L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD）康托爾點(diǎn).65. 康托爾定理4: 一個(gè)圓周上有A、B C D E五點(diǎn)及M Z L三點(diǎn)，則 M Z L三點(diǎn)關(guān)于四