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文檔簡介
1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學中求極限的方法小結(jié)2.求極限的常用方法2.1 利用等價無窮小求極限這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括:(1)有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4)等價無窮小代換(當求兩個無窮小之比的極限時,分子與分母都可用等價無窮小代替).3設(shè)、且;則:與是等價無窮小的充分必要條件為:常用等價無窮?。寒斪兞繒r,例1 求解 , 故,原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ,故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 試確定常數(shù)與,使得當時,與為等價無窮小解 而左邊,故 即 2.2 利用洛必達法則求極限利用這一法則的
2、前提是:函數(shù)的導數(shù)要存在;為0比0型或者型等未定式類型.洛必達法則分為3種情況:(1)0比0,無窮比無窮的時候直接用.(2)0乘以無窮,無窮減去無窮(無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系時)通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式,通項之后,就能變成(1)中形式了.(3)0的0次方,1的無窮次方,無窮的0次方,對于(指數(shù),冪函數(shù))形式的方法主要是取指數(shù)的方法,這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了,就是寫成0與無窮的形式了.洛必達法則中還有一個定理:當時,函數(shù)及都趨于0;在點的某去心鄰域內(nèi),的導數(shù)都存在且的導數(shù)不等于0;存在,那么 . 1求極限有很多種方法如洛必達法則,夾逼定理求極限的秘訣是:強行代入,先定型后定
3、法. 3例6 求.分析 秘訣強行代入,先定型后定法.(此為強行代入以定型).可能是比高階的無窮小,倘若不這樣,或 或. 解 ,由洛必達法則的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.(二次使用洛必達法則).例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型:例14 求.解 原式.“”型:例15 求 .解 ,故原式.“”型:例16 求.解 原式.“”型:例17 求.解 原式. “”型:例18 求.解 原式,而,因此:原式=1.2.3 泰勒公式(含有的次方的時候,尤其是含有正、余弦的加減的時候要特別注意)泰勒中值定理定理:如果函數(shù)在含
4、有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導數(shù),則對任一,有+(-)+(-)+(-)+()其中,這里是與之間的某個值. 1例19 利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式,求極限.解 由于公式的分母,我們只需將分子中的代入計算,于是 ,對上式做運算時,把兩個高階的無窮小的代數(shù)和還是記作.例20 , , .2.4 無窮小與有界函數(shù)的處理方法 面對復雜函數(shù),尤其是正、余弦的復雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的時候,一定要注意這個方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夾逼定理主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限,這個主要是看見極限中的通項是方式和的形式,對之放縮或擴大.1例22 求.解 , ,根據(jù)夾逼定理 .2.6 等比等差數(shù)列公式
5、(的絕對值要小于) 1例23 設(shè),證等比數(shù)列1,的極限為0.證 任取,為使,而,使,即,當,當時,即,即,由定義知.因此,很顯然有:.2.7 各項以拆分相加3將待求的和式子的各項拆分相加來消除中間的大多數(shù),主要應用于數(shù)列極限,可以使用待定系數(shù)來拆分簡化函數(shù).例24 求.解 原式 =.2.8 求左右極限的方式例25 求函數(shù),求時,的極限.解 ,因為,所以,當時,的極限不存在.例26 .解 ,因為,所以,原式=0.2.9 應用兩個重要極限,例27 求.解 記 ,則原式= .例28 求.解 原式=.例29 求.解 原式=.2.10 根據(jù)增長速度 例30 求.解 原式=.例31 求.解 .同函數(shù)趨近于
6、無窮的速度是不一樣的,的次方快于(的階乘)快于指數(shù)函數(shù),快于冪函數(shù),快于對數(shù)函數(shù).所以增長速度: .故以后上述結(jié)論可直接在極限計算中運用.2.11 換元法例32 .解 令,則原式=2.12 利用極限的運算法則1利用如下的極限運算法則來求極限:(1) 如果那么若又有,則(2)如果存在,而為常數(shù),則(3)如果存在,而為正整數(shù),則(4)如果,而,則(5)設(shè)有數(shù)列和,如果那么,當且時,2.13 求數(shù)列極限的時候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分1例33 已知 ,在區(qū)間上求(其中將分為個小區(qū)間,,為中的最大值).解 由已知得: .(注釋:由已知可以清楚的知道,該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)在區(qū)間上的面積).在有
7、的極限的計算中,需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法:(1)定積分中值定理:如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù),則在上至少有一個點,使下列公式成立: ;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取,如果極限 存在,則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分,記作,即;設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且,求以曲線為曲線,底為的曲邊梯形的面積,把這個面積表示為定積分: 的步驟是:首先,用任意一組的點把區(qū)間分成長度為的個小區(qū)間,相應地把曲線梯形分成個窄曲邊梯形,第個窄曲邊梯形的面積設(shè)為,于是有;其次,計算的近似值 ;然后,求和,得的近似值 ;最后,求極限,得.例34 設(shè)函數(shù)連續(xù),且,求極限 .解 =,.例35 計算反常積分: .解 =.2.14
8、利用函數(shù)有界原理證明極限的存在性,利用數(shù)列的逆推求極限(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限;(2)單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限,單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.3例36 數(shù)列:,極限存在嗎?解 由已知可得單調(diào)遞增且有界,由單調(diào)有界原理,知 存在又,記,即可證,得到 .2.15 直接使用求導的定義求極限當題目中告訴你時,的導數(shù)等于0的時候,就是暗示你一定要用導數(shù)定義:(1)設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,當自變量在處取得增量(點仍在該領(lǐng)域內(nèi))時,相應的函數(shù)取得增量;如果與之比時的極限存在,則稱函數(shù)在點處可導,并稱這個極限為函數(shù)在點處可導,并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù),記作,即 ;(2)在某點處可導的充分必要條件是左右導數(shù)都存在且相等.例36 ,求.解 .例37 若函數(shù)有連續(xù)二階導數(shù)且, 則 .A:不存在 B:0 C:-1 D:-2 解 .所以,答案為D.例38 若,求.解 .2.16 利用連續(xù)性求極限1例39 設(shè)在處有連續(xù)的一階導數(shù),且,求.解 原式 .
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