高等數學第一講（4學分）

1、編輯ppt1高高 等等 數數 學學授課教師授課教師: : 徐徐 大大 豐豐公共郵箱：公共郵箱：密密 碼：碼： math_2012編輯ppt2教材：大學數學文科簡明教程（上冊）教材：大學數學文科簡明教程（上冊）姚孟臣編著，北京大學出版社姚孟臣編著，北京大學出版社編輯ppt3參考書目參考書目1：高等數學高等數學（第六版）（第六版）,同濟大學應同濟大學應用數學系用數學系 主編主編,高等教育出版社高等教育出版社參考書目參考書目2 高等數學習題全解指南高等數學習題全解指南（同濟六版）（同濟六版）同濟大學數學系，高等教育出版社同濟大學數學系，高等教育出版社.參考書目參考書目3：數學分析數學分析習題集（習題

2、集（共六冊）共六冊）,吉米吉米多維奇，多維奇， 費定暉，周學圣編，郭大鈞，邵品琮主審費定暉，周學圣編，郭大鈞，邵品琮主審 山東科學技術出版社。山東科學技術出版社。參考書目參考書目4：微積分學教程微積分學教程(全三卷全三卷,共八冊共八冊) 菲菲赫金哥爾茨，人民教育出版社。赫金哥爾茨，人民教育出版社。編輯ppt4考核：期中考試與平時占考核：期中考試與平時占30，期末考試占，期末考試占70。答疑時間：答疑時間：周三下午周三下午2點到點到3點、周四下午點、周四下午1點到點到2點點答疑地點：集英樓答疑地點：集英樓A101。注意事項：注意事項：課堂要求：課堂要求：不得遲到、不得早退、不得隨意講話、不得走動

3、不得遲到、不得早退、不得隨意講話、不得走動編輯ppt5第一節(jié)第一節(jié) 函函 數數第一章第一章 函數與極限函數與極限預備知識：預備知識：1.1 實數、區(qū)間和鄰域實數、區(qū)間和鄰域編輯ppt6有限區(qū)間與無限區(qū)間有限區(qū)間與無限區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間 ),(xba閉區(qū)間閉區(qū)間 ,xbabxabxa ),xbabxa ,(xbabxa半開區(qū)間半開區(qū)間有限區(qū)間：有限區(qū)間：編輯ppt7無限區(qū)間無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx編輯ppt8點點a的的 h鄰域鄰域：特殊的開區(qū)間特殊的開區(qū)間 )(xaUh haxha xhax 其中其中, a 稱為鄰域中心稱為鄰域中心 , h稱為鄰域半徑稱為鄰域半徑 .編

4、輯ppt9點點a的空心的空心h 鄰域鄰域點點a的左的左 h 鄰域鄰域 :,(aha 點點a的右的右 h 鄰域鄰域 :. ),haa )(Uxah hax 0空心鄰域不含鄰域的中心空心鄰域不含鄰域的中心.注意：一點的任何兩個鄰域都有公共部分，注意：一點的任何兩個鄰域都有公共部分，其交集仍為此點的鄰域。其交集仍為此點的鄰域。編輯ppt10實數集實數集R與數軸上的點的對應關系與數軸上的點的對應關系 a鄰域的數軸表示：鄰域的數軸表示：a a編輯ppt111.2、函數的概念、函數的概念1、映射與對應、映射與對應如：學生與教官如：學生與教官居民與身份證號居民與身份證號物理學的例子：自由下落的物體，下落物理

5、學的例子：自由下落的物體，下落的路程與下落的時間的關系。的路程與下落的時間的關系。221gts 編輯ppt12函數函數:RXf:1. 函數的概念函數的概念 定義定義. 設設X是一個非空數集，是一個非空數集， f是一個確定的對是一個確定的對應關系，如果對于應關系，如果對于X中的每一個元素中的每一個元素x,通過通過f都都有內的唯一確定的一個元素有內的唯一確定的一個元素y與之對應，那與之對應，那么這個關系么這個關系f 就叫做到的函數關系，記為就叫做到的函數關系，記為x稱為自變量，稱為自變量，y 稱為因變量。稱為因變量。注意：單值函數與多值函數注意：單值函數與多值函數)(xfy 編輯ppt13定義域定

6、義域Df使表達式及實際問題都有意義的自變量使表達式及實際問題都有意義的自變量取值的集合取值的集合.值域值域Y： fDxxfY | )(決定函數的要素：定義域與對應法則，決定函數的要素：定義域與對應法則，僅當定義域與對應法則都相同時，兩個僅當定義域與對應法則都相同時，兩個函數才相同。函數才相同。編輯ppt14defxxf)(1、絕對值函數、絕對值函數xyoxy 0,xx0,xx定義域定義域RD值值 域域),0)(Df函數的例子函數的例子：編輯ppt152、符號函數：、符號函數：xy010001)sgn(xxxxydef編輯ppt163、取整函數：、取整函數：xydef4、狄里克雷函數、狄里克雷函

7、數)(xfx 為有理數為有理數x 為無理數為無理數, 1,05、分段函數、分段函數40000200003625)20000(*25. 0200005000625)5000(*20. 050002000175)2000(*15. 0200050025)500(*1 . 05000*05. 0)(iiiiiiiiiiiT編輯ppt17)(),(max)(xhxfxg)(),(min)(xhxfxs6.最大值函數與最小值函數。最大值函數與最小值函數。編輯ppt18 上是有上界的。在數那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在X ,M)(, ,MX)(00 xfxfXxxfy有界性：有界性：函數在函數在

8、X上有上界上有上界函數若有上界函數若有上界,則必有無窮多個上界則必有無窮多個上界.1.3 函數的幾種特性函數的幾種特性編輯ppt19 上是有下界的。在數那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在X ,M)(, ,MX)(xfxfXxxfy函數在函數在X上有下界上有下界函數若有下界函數若有下界,則必有無窮多個下界則必有無窮多個下界.編輯ppt20 上是有界的。在數那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在X ,M|(x)|, , 0MX)(00 xffXxxfy函數在函數在X上有界上有界編輯ppt21當,21Ixx 任意任意21xx 時時, )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的,

9、)()(21xfxf若為為 I 上的上的單調減函數單調減函數 ;單調增函數單調增函數 .單調性單調性任意任意時時, )()(21xfxf 若若)(xf為為 I 上的不減函數上的不減函數21xx 時時, )()(21xfxf 若若)(xf任意任意為為 I 上的不增函數上的不增函數21xx )(xf稱稱 編輯ppt22奇偶性奇偶性,Dx 任任意意有有,Dx若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為為偶函數偶函數;若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x) 為為奇函數奇函數. 編輯ppt23 奇函數：圖象關于原點對稱。奇函數：圖象關于原點對稱。 偶函數：圖象關于縱軸對稱。偶函數：圖象關于縱軸

10、對稱。)(xf說明說明: 若若)(xf在在 x = 0 有定義有定義 ,. 0)0(f為奇函數時奇函數時,則當則當必有必有編輯ppt24周期性周期性周周期期函函數數。則則稱稱函函數數是是一一個個有有使使得得對對任任意意若若存存在在設設函函數數),()(,0,),( 00txfxfxtRxxfy xo2y2周期為周期為 to)(tf22周期為周期為?編輯ppt251.4 反函數、復合函數與初等函數反函數、復合函數與初等函數)(1yfx 1、反函數：給定函數反函數：給定函數y=f(x)，如果對于，如果對于Y中的中的每一個值每一個值y0而言，都有唯一一個值而言，都有唯一一個值x0使得使得y0=f(x

11、0).那么，我們就說在那么，我們就說在Y上定義了上定義了y=f(x)的的反函數。記作：反函數。記作：反函數的求法：反函數的求法：的反函數的反函數求求12 xy編輯ppt262、 復合函數復合函數 ,arcsinuy ,122xu 復合函數：復合函數：)12arcsin(2xy為為中中間間變變量量。為為內內層層函函數數。為為外外層層函函數數，合合函函數數。通通常常稱稱的的復復與與為為則則稱稱設設定定義義uxgufyxguufyxgfyXxxguUuufy)()()()()( )(),)( 1.7 編輯ppt27 復合的作用：視復雜函數為幾個復合的作用：視復雜函數為幾個簡單函數的復合。簡單函數的復

12、合。例：例：xy12sin5 編輯ppt283. 初等函數初等函數(1) 基本初等函數基本初等函數常函數、冪函數、常函數、冪函數、指數函數、指數函數、對數函數、對數函數、三角函數、三角函數、 反三角函數反三角函數基本初等函數的性質基本初等函數的性質自然對數函數：自然對數函數：.597182818284. 2,lnlogexyxe編輯ppt29反三角函數及其圖象：反三角函數及其圖象：2/, 2/,1 , 1,arcsinyxxy1-12/xy編輯ppt30反三角函數及其圖象：反三角函數及其圖象：, 0,1 , 1,arccosyxxy1-1xy2/編輯ppt31反三角函數及其圖象：反三角函數及其

13、圖象：)2/, 2/(,arctanyRxxyxy2/2/編輯ppt32反三角函數及其圖象：反三角函數及其圖象：), 0(,cotyRxxarcyxy2/編輯ppt33(2) 初等函數初等函數 由常數及基本初等函數經過有限次四則運算和有由常數及基本初等函數經過有限次四則運算和有限次復合所構成的函數限次復合所構成的函數 ,稱為初等函數。稱為初等函數。例如例如 ,2xy y0, xx0, xx可表為可表為故為初等函數故為初等函數.本課程的研究對象本課程的研究對象:初等函數初等函數.編輯ppt34 第一章 第二節(jié)第二節(jié)數列的極限數列的極限編輯ppt351、數列：、數列：按照一定的順序排成的一列數。按

14、照一定的順序排成的一列數。.nx123,.,.nx x xx記作：記作：其中其中n稱為項數，稱為項數，nx稱為數列的第稱為數列的第n項，或通項。項，或通項。數列的特性：有序性數列的特性：有序性一、數列極限的概念一、數列極限的概念編輯ppt362、數列的表示形式：、數列的表示形式： （1）、排列法，）、排列法， （2）、通項公式法。）、通項公式法。編輯ppt37數列的例子數列的例子用通項公式法表示：用通項公式法表示：)() 1(Nnxnn), 11(Nnqqxnn編輯ppt38寫出下列數列的通項公式：寫出下列數列的通項公式：2，3/4,4/9,5/16,.1/2,-1/4,1/6,-1/8,編輯

15、ppt39數列極限研究的問題：無限數列中數列極限研究的問題：無限數列中,當項數當項數n越來越大，乃至無限增大時，項的變化趨勢。越來越大，乃至無限增大時，項的變化趨勢。數列：有限數列與無限數列數列：有限數列與無限數列編輯ppt40例如：考察下列數列，當項數逐漸增大時，例如：考察下列數列，當項數逐漸增大時，數列項的變化趨勢。數列項的變化趨勢。1,1/2,1/3,.,1/ ,.n3122341, , ,.,.nn編輯ppt410 x12/33/41/2編輯ppt42數列極限的描述性定義：數列極限的描述性定義：對于數列對于數列xn而言，如果存在一個常數而言，如果存在一個常數A，當，當項數無限增加時，數

16、列中的項向項數無限增加時，數列中的項向A無限靠近，無限靠近，那么則稱那么則稱A為數列為數列xn的極限。的極限。若數列有極限若數列有極限,則稱數列收斂；否則則稱數列收斂；否則稱數列為發(fā)散。稱數列為發(fā)散。編輯ppt43例如例如,1nnxn)(1nnnxnn1) 1()(1nnnx2)(?n1) 1(nnx收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散獲得數列極限的方法：觀察獲得數列極限的方法：觀察)(?n編輯ppt44若數列若數列nx及常數及常數 A 有下列關系有下列關系 :,0,N正數當當 n N 時時,總有總有記作記作此時稱數列此時稱數列收斂收斂 , 否則稱數列極限不存在，數列否則稱數列極限不存在，數列發(fā)散發(fā)散 .幾何

17、解釋幾何解釋 :AA)(Axnnlim或或)(nAxnA1Nx2Nx Axn則稱該數列則稱該數列nx的極限為的極限為 A ,數列極限的數列極限的-N-N定義定義或稱數列收斂于或稱數列收斂于A.編輯ppt45例：證明：常數列的極限是常數本身。例：證明：常數列的極限是常數本身。編輯ppt46例例. 已知已知,) 1(nnxnn證明數列證明數列nx的極限為的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使欲使,1nx即即,1n只要只要1n因此因此 , 取取, 1N則當則當Nn 時時, 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn編輯ppt47例例. 設設0,1qq證明等比數

18、列證明等比數列,112nqqq證證:0nx01nq0 欲使欲使,0nx只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln1, 則當則當 n N 時時,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的極限為的極限為 0 . 1nq編輯ppt480|lim nnx0lim nnx?結論：結論：)0(lim)0(|limaaxaaxnnnn)0(lim)0(|limaaxaaxnnnn/)0(|lim)0(limaaxaaxnnnn編輯ppt49數列收斂的判定：單調有界定理數列收斂的判定：單調有界定理定義：若存在實數定義：若存在實數M，使得對數列中的所有項，使得對

19、數列中的所有項，都有都有 （ ），則稱數列為有上），則稱數列為有上（下）界數列。（下）界數列。.321 nxxxx定義定義.11：若數列有性質：若數列有性質：.21 nxxx則稱數列是單調上升（或單調下降）則稱數列是單調上升（或單調下降）或或MxnMxn編輯ppt50定理：單調上升有上界的數列必有極限。單定理：單調上升有上界的數列必有極限。單調下降且有下界的數列必有極限。調下降且有下界的數列必有極限。編輯ppt51)(1Nnxnnn考察下列數列的極限考察下列數列的極限), 11(Nnqqxnn編輯ppt52 第一章第一章 函數的極限函數的極限 數列的極限：項數增加的時候，項如何變數列的極限：項

20、數增加的時候，項如何變化，有沒有向某個數靠近的趨勢？化，有沒有向某個數靠近的趨勢？函數的極限：自變量發(fā)生變化的時候，因變函數的極限：自變量發(fā)生變化的時候，因變量如何變化？有沒有向某個數靠近的趨勢？量如何變化？有沒有向某個數靠近的趨勢？編輯ppt53 第一章 ax )6( ax)4( ax)5( x)3(x)1(x)2(函數自變量變化的方式有很多，有六種情況函數自變量變化的方式有很多，有六種情況:編輯ppt54 Axf)(定義：給定函數定義：給定函數 f(x)，如果對于任意給定的，如果對于任意給定的正數正數，無論它怎樣小，都存在一正數，無論它怎樣小，都存在一正數X，當，當xX時，下式時，下式x

21、時函數的極限時函數的極限自變量自變量都成立都成立則稱常數則稱常數A 為函數為函數xxf當)(時的極限。時的極限。Axfx)(lim)()(xAxf當或記作記作編輯ppt55XAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:)(xfy 編輯ppt56x 時函數的極限時函數的極限自變量自變量定義：給定函數定義：給定函數 f(x)，如果對于任意給定，如果對于任意給定的正數的正數，無論它怎樣小，都存在一正數，無論它怎樣小，都存在一正數X，當當x-X時，下式時，下式 Axf)(都成立都成立則稱常數則稱常數A 為函數為函數xxf當)(時的極限時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當或記作記作編輯ppt57

22、XAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:)(xfy 編輯ppt58定義定義 . 設函數設函數f(x) 若若,)(,AxfXx有時當則稱常數則稱常數時的極限時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當或記作記作, 0X, 0 xxf當)(A 為函數為函數自變量自變量x 時函數的極限時函數的極限編輯ppt59XXAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:)(xfy 編輯ppt60結論：結論： lim( )xf xAlim( )xf xAlim( )xf xA的充要條件是的充要條件是且且編輯ppt61例例. 討論討論01limxx01limxx時的極限當,1)(xxxf01limxx編輯ppt

23、62討論函數討論函數：時的極限當,21)(xxfx1021limxxxx21lim不存在xx21lim不存在不存在編輯ppt63ax 時函數的極限時函數的極限編輯ppt64定義定義1.15 . 設函數設函數)(xf在點在點a的某去心鄰域內有定義的某去心鄰域內有定義 ,0,0當當 ax0時時, 有有 Axf)(則稱常數則稱常數 A 為函數為函數)(xf當當ax 時的極限時的極限,Axfax)(lim或或)()(axAxf當若若記作記作注意：上述定義中并沒有要求函數注意：上述定義中并沒有要求函數在在a處有定義。處有定義。編輯ppt65幾何解釋幾何解釋:aaAAAxay)(xfy 極限存在極限存在函數局部有界函數局部有界(P31性質性質4)這表明這表明: 編輯ppt66證明證明)(lim0為常數CCCxx 證證:Axf)(CC 0故故,0對任意的對任意的,0當00 xx時 , 0CC因此因此CCxx0lim總有總有編輯ppt67例：討論當討論當的極限。