四年級奧數(shù)：速算與巧算

1、四年級奧數(shù)：速算與巧算（一）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的訃算本領(lǐng).準(zhǔn)確、 快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì) 算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展.我們在三年級已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主 要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法.例I四年級一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的成績（分?jǐn)?shù)）如下：86, 78, 77, 83, 91, 74, 92, 69, 84, 75.求這10名同學(xué)的總分.分析與解：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加 既繁且易錯(cuò)

2、觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大.我們可以 選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6,-2,-3, 3, 11, -6, 12, -11, 4, -5,其中號表示這個(gè)數(shù)比 80 小.于 是得到總和=80×10+ （6-2-3+3+11-= 800+9 = 809.實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加.為了清楚起見，將這一 過程表示如下：36 78 83 91 74 92 69 S4 75與冊的差數(shù)+6 -2 -3a+3 a+11-a+12 -LJ +4 -56A4AV5Ay4h通過口算，得到差數(shù)累加為9,再加上80x1

3、0,就可口算出結(jié)果為809.例1所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有 的加數(shù)相差不大的情況.作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例1的80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基 準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做扇計(jì)差.曲例1得到：總和數(shù)二基準(zhǔn)數(shù)X加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差， 平均數(shù)二基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差÷加數(shù)的個(gè)數(shù).在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì) 算累訃差同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地訃算出來，所以基準(zhǔn) 數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù).例2某農(nóng)場有10塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下(單位：千克)：462, 480, 443, 420, 473, 429, 468, 439, 475,

4、461.求平均每塊麥田的 產(chǎn)量.解：選基準(zhǔn)數(shù)為450,則累計(jì)差=12+30-7-30+23-21 + 18-11 +25+11= 50,平均每塊產(chǎn)量=450÷50÷10=455 (千克).答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為455千克.求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7×7=49(七 七四十九)對于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了 1020的平方，而21 99的平方就不大熟悉了.有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里 向同學(xué)們介紹一種方法湊整補(bǔ)零法所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接 近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以

5、另一數(shù)，再加 上零頭的平方數(shù)下面通過例題來說明這一方法.例3求29?和吃2的值.解：292=29×29=(29÷1) X (29-1) +12= 30x28+1= 840+1= 841.822=82x82=(82-2) × (82+2) +22= 80×84+4=6720+4= 6724.由上例看出,因?yàn)?9比30少1,所以給29“補(bǔ)T,這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?2比 80多2,所以從82中“移走”2,這叫“移多”.因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對其中 一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”.本例中，給一個(gè)29補(bǔ)1,就 要給另一個(gè)29減1；給一個(gè)82減了

6、 2,就要給另一個(gè)82加上2.最后，還要加上 “移多補(bǔ)少"的數(shù)的平方.由湊整補(bǔ)零法計(jì)算352,得35x35=40x30+52=1225.這與三年級學(xué)的個(gè)位數(shù)是5的數(shù)的平方的速算方法 結(jié)果相同.這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位數(shù)或更多位數(shù)的平 方值.例4求9932和20042的值.解：9932=993x993=(993+7) X (993-7) +72= I(Xx)×986+49=986000+49=986049.20042=2004×2004=(2004-4) × (2004+4) +42= 2000x2008+16=4016000+1

7、6=4016016.下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法請看下面的算式：66×46, 73×88, 19x44.這兒道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與 個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10.這類算式有非常簡便的速算 方法.例 5 88×64= ?分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到88×64=(80÷8) × (60+4)=(80÷8) ×60+ (80÷8) ×4=80×60+8×6O+80×4 ÷8×

8、;4=80×60 ÷80×6+80×4+8 ×4= 8O× (60+6÷4) ÷8×4= 80x (60÷10) +8×4=8× (6+1) ×100+8×4.于是，我們得到下面的速算式：8X4rI88 X 64 = 56. 32 o1I1了8×(6÷1)由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為8x4：積中從 百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)''的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的 因數(shù)”的十位數(shù)加1的

9、乘積，本例為8x(6+1).例 6 77x91 = ?解：山例3的解法得到TrX T Il=iX77 X 91 =70 07 Q7X<9 + 1)由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè)0, 本例為7x1=07.用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法訃算.練習(xí)11. 求下面10個(gè)數(shù)的總和：165, 152, 168, 171, 148, 156, 169, 161, 157, 149.2. 農(nóng)業(yè)科研小組測定麥苗的生長悄況，量出12株麥苗的高度分別為(單位： 厘米)：26, 25, 25, 23, 27, 28, 26, 24, 29, 27, 27,

10、 25.求這批麥苗的平均高 度.3. 某車間有9個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68, 91, 84, 75, 78, 81, 83, 72, 79.他們共加工了多少個(gè)零件？4計(jì)算：13÷16+10+ll + 17÷12+15÷12+16÷13+12.5計(jì)算下列各題：( 1 ) 372；(2) 532；(3)9卩；(4) 682：(5) 1O82：(6) 3972.6.計(jì)算下列各題：(1) 77x28：(2)66x55：(3) 33x19；(4)82x44：(5) 37x33；(6)46×99.練習(xí)1答案1.1596. 2.26 厘米

11、.3.711 個(gè).4.147.5. (1) 1369；(2) 2809；(3) 8281；(4) 4624；(5) 11664；(6) 157609.6. (1) 2156；(2) 3630；(3) 627；(4) 3608；(5) 1221：(6) 4554.第2講速算與巧算(二)上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)” 與“補(bǔ)同”速算法.兩個(gè)數(shù)之和等于10,則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會遇到像 72x78, 26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位 數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況.72x78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互

12、補(bǔ), 這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型:26x86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、 個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型.計(jì)算這兩類題日，有非 常簡捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法.例 1(1) 76x74=?(2) 31×39=?分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型.(1)由乘法分配律和結(jié)合律，得到76×74=(7+6) × (70+4)=(70÷6) ×70+ (7÷6) ×4=70×70÷6×70+70×4+6×4= 70&#

13、215; (70+6+4) ÷6×4= 70× (70+10) +6×4=7× (7+1) ×100+6×4.于是，我們得到下面的速算式：6X4II=；176 X 74 = 56 24 oIV 7×<7+l)(2)與(1)類似可得到下面的速算式：1 X 91f=.131 X 39 = 12”9 "3 X(3 + 1)山例I看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩 個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積(不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0,如1 ×9=09),積中從百位起前面 的數(shù)是被乘數(shù)(或乘數(shù))的十位

14、數(shù)與十位數(shù)加1的乘積.“同補(bǔ)”速算法簡單地說 就是：積的末兩位是“尾X尾”，前面是“頭X (頭+1) ”.我們在三年級時(shí)學(xué)到的15×15, 25x25 95x95的速算,實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法.例 2 (1) 78×38= ?(2) 43x63 = ?分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型.(I) Ill乘法分配律和結(jié)合律，得到78×38=(70÷8) X (30÷8)=(70+8) ×30÷ (70÷8) ×8=70×30+8×30+70×8 + 8×8=

15、 70×30+8× (30÷70) +8x8 =7×3×100+8×100+8×8 =(7×3 + 8) ×100+8×8.于是，我們得到下面的速算式:8X8Ic=;I78 X 38 = 29 64 o7X 3+8(2)與(1)類似可得到下面的速算式:3X3r-c=I43 × S3 = .27 09 o1I1下4 X 6÷3山例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因 數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0,如3x3=09）,積中從白位起前面的數(shù) 是兩

16、個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)“補(bǔ)同"速算法簡單地 說就是：積的末兩位數(shù)是“尾X尾”，前面是“頭X頭+尾”例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法.當(dāng)被乘數(shù)和 乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10, 100, 1000, .時(shí)，這兩個(gè)數(shù) 互為補(bǔ)數(shù)，簡稱互補(bǔ)如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ).在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的兒位數(shù)相同，后面的兒位數(shù)互補(bǔ) 時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型例如70 77X70 23,因?yàn)?被乘數(shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70,后兩位數(shù)互補(bǔ)，77+23=100,所以是 “同補(bǔ)”型.乂如丄4×± 52, 23 1× 23L ,等都是“同補(bǔ)”型.當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的兒位數(shù)互補(bǔ)，后面的兒位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ) 同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型.例如，73 1X27 1，586 IjX 586業(yè)等都是“補(bǔ)同”型.在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用.例 3 （1） 7