高等數(shù)學(xué)教學(xué) 第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、. )() ()()() ( ()() (,),(0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最值定理一、有界性與最值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理*三、一致連續(xù)性三、一致連續(xù)性四、小四、小 結(jié)結(jié)2/11一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :,sgnxy 例如例如,),(上上在在 ,2max y; 1min y,), 0 (上上在在 .

2、 1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在 ;0min y, 1max ya3/11定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .b2 1 xyo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若) (xfy 注意注意: :1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.4/11yo) ( x f y 212 2 yo) ( x f y

3、, , ) (上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)b a x f2定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則則有有., )(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf5/11二、介值定理二、介值定理.) (, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx 定義定義: :.) , (0) (內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程 baxf 6/11bb3 1 1 .,) (軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲

4、軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxx f y 幾何解釋幾何解釋:1 yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若7/11幾何解釋幾何解釋:MBCAmab2 3 2x1x, ) ( ) ( Cx f x 設(shè)設(shè)yo) ( x f y ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使使得得則則若若證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,0)( , 0)

5、() ( Cf 即即.)(Cf .)(至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)直直線線與與水水平平連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧Cyxfy .)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx8/11推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1, 14)(23 xxxf令令證證, 1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf,01)0( f又又, 02)1( f使使),1 ,0( 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,0)( f, 01423 即即.) 1 , 0 (01423 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方

6、方程程 xxMm. ) (), , (. ) (, ) ( , , ) ( fb abb faa fb ax f使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)9/11例例2 2,)()(xxfxF 令令證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而,0 使使), (b a 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, 0)()( fFbbfbF )()(,0 .) ( f即即 如如 果果)( xf在在,ba上上 有有 定定 義義 ， 在在),(ba內(nèi)內(nèi) 連連 續(xù)續(xù) ， 且且0)()( bfaf， 那那 么么)( xf在在),(ba內(nèi)內(nèi) 必必 有有 零零 點(diǎn)點(diǎn) .10/11三、小結(jié)三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理;用時(shí)用時(shí)1課時(shí)課時(shí)11/11思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？業(yè)業(yè)作作;3;274P 0, 210,) (xxex f12/11思考