高等數(shù)學及其應用電子教案（第二版）（同濟大學數(shù)學系）ch(7)

1、編輯ppt第五節(jié)第五節(jié) 高階導數(shù)高階導數(shù)編輯ppt本節(jié)要點本節(jié)要點 本節(jié)引入高階導數(shù)的概念及相應的計算方法本節(jié)引入高階導數(shù)的概念及相應的計算方法.編輯ppt 我們知道我們知道, 速度速度 是位置函數(shù)是位置函數(shù) 對時間對時間 的導數(shù)的導數(shù), 即即vstd.dsvt而加速度又是速度函數(shù)關(guān)于時間而加速度又是速度函數(shù)關(guān)于時間 的導數(shù)的導數(shù), 即即td.dvat由此可見由此可見: 加速度加速度 是位置函數(shù)是位置函數(shù) 關(guān)于關(guān)于 求導后再一次求求導后再一次求tsa導導, 由此引出所謂的由此引出所謂的“二階導數(shù)二階導數(shù)”的概念的概念.編輯ppt在在 存在導數(shù)存在導數(shù), 則稱則稱記為記為 或或0(),fx000

2、2222ddd),.d(xxxxxxyfxyxx 若若 在在 處都可導處都可導, 則由極限則由極限,( )xI fx x0()( )lim,xfxxfxxIx 的可導性的可導性. fxxI fx0,xI 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 中處處可導中處處可導, 考慮導函數(shù)考慮導函數(shù)( )yf xI( )fx0 x的導數(shù)為的導數(shù)為 在在 的的二階二階( )f x0 x對于對于若若在在 處處0 x導數(shù)導數(shù), 編輯ppt2222ddd( ),( ),d.yfxyfxxx由定義由定義, 知知( )( ) .fxfx同樣可以定義三階、四階導數(shù)同樣可以定義三階、四階導數(shù), 及更高階的導數(shù)及更高階的導數(shù).(4)(

3、 )( ),( ),( ).nfxfxfx確定了一個以確定了一個以 為定義域的函數(shù)為定義域的函數(shù), 稱其為稱其為 的二階導的二階導( )f xI函數(shù)函數(shù), 簡稱為簡稱為二階導數(shù)二階導數(shù). 記為記為記為記為 編輯ppt 按照定義按照定義, 我們有我們有 1,2nnfxfxn為了記號上的方便為了記號上的方便, 我們約定我們約定 0.fxf x編輯ppt例例2.31 求函數(shù)求函數(shù)2exy 解解 22 e ,xyx222 12e ,xyx 23128e .xyxx的三階導數(shù)的三階導數(shù).編輯ppt例例2.32 求函數(shù)求函數(shù)1arctanyx解解 222111,111yxxx 的二階導數(shù)的二階導數(shù).222

4、.1xyx編輯ppt例例2.33 設設 與與 是常數(shù)是常數(shù), 證明函數(shù)證明函數(shù)a12,c c12cossinycaxcax滿足關(guān)系滿足關(guān)系20.ya y證證 因因 12sincos,yc aaxc aax 2212cossin,yc aaxc aax 所以所以20.ya y編輯ppt例例2.34 求函數(shù)求函數(shù)解解 exy e ,e ,e .nxxxyyyn的的 階導數(shù)階導數(shù).編輯ppt例例2.35 求求sinyx解解 cossin,2yxx cossin2,22yxx n的的 階導數(shù)階導數(shù). sin.2nyxn編輯ppt例例2.36 求求ln 1yx的的 階導數(shù)階導數(shù).n解解 1,1yx一般一

5、般, 若若 則則ln,yabx 111 !.nnnnnbyabx 111 !,.1nnnnyx21,1yx 31 2,1yx編輯ppt例例2.37 設設221,yxa求求 .ny解解 因因111,2yaxaxa所以所以 1112nnnyaxaxa111!1!12nnnnnnaxaxa編輯ppt111!11.2nnnnaxaxa編輯ppt例例2.38 計算由擺線的參數(shù)方程計算由擺線的參數(shù)方程sin1 cosxa ttyat解解 1 cossincot,1 cos2sinddatyattxata tt所確定的函數(shù)在所確定的函數(shù)在 處的二階導數(shù)處的二階導數(shù).xa編輯ppt22cot2sdddddddddddddidnytyyttxxxtxxa ttt2