數(shù)列型不等式恒成立條件下確定參數(shù)范圍問題解題策略

1、數(shù)列型不等式恒成立條件下確定參數(shù)范圍問題解題策略【摘要】不等式地恒成立問題是學生較難理解和掌握地一個難 點，以數(shù)列為載體地不等式恒成立條件下確定參數(shù)范圍問題具綜合 性更強，它是一類常見地考試卷型，常出現(xiàn)在高考壓軸題中，它與函 數(shù)恒成立問題既有類似之處，又有一些差別，學生容易出錯，甚至不 知所措.這里通過幾個例子歸納這類問題地幾種常用解法和需要注 意地問題.【關鍵詞】不等式恒成立問題；數(shù)列；參數(shù)范圍問題不等式地恒成立問題是學生較難理解和掌握地一個難點，以數(shù)列 為載體地不等式恒成立條件下確定參數(shù)范圍問題具綜合性更強，它 是一類常見地考試卷型，常出現(xiàn)在高考壓軸題中，它與函數(shù)恒成立 問題既有類似之處，

2、又有一些差別，學生容易出錯，甚至不知所措. 這里通過幾個例子歸納這類問題地幾種常用解法和需要注意地問 題.1最值策咯最值法是解數(shù)列型不等式恒成立求參數(shù)地取值范圍問題地一種非常重要地方法，其解題原理是f(n>>m恒成立 f(n> min>m,f(n>0. an>0, .只需 lga n(a-1>+a >0.<1)當 a>1 時,lga>0,只要 n(a-1>+a>0, 解得 n>a1-a.<2)當 0a1-a.為了使b n+1>b n對任何正整數(shù)n都成立，只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或

3、0 評析 以上兩例是綜合性極強地好題 是數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)地取值范圍，轉化為解不等式或求函數(shù) 地最值,這是高中數(shù)學中有關確定參數(shù)范圍題目地涅槃.2 變量分離策略數(shù)列型不等式恒成立求參數(shù)地取值范圍問題，對于某些最值不容 易求出地問題，我們可以考慮先實行變量分離，再求其最值.所謂變 量分離,是指在含有參數(shù)地數(shù)列不等式中，通過恒等變形，使參數(shù)與 主元分離于不等式兩端，則所蘊涵地數(shù)列關系便由隱變顯，從而問 題轉化為求主元函數(shù)地值域或上，下限(上限為最大值地臨界值、 下限為最小值地臨界值 >，進而求出參數(shù)范圍.這種方法由于思路清 晰、規(guī)律明顯、操作性強，因而應是一種較好地求參方法.例3 <

4、;2003年新教材高考題改編題)設a 0為常數(shù)，數(shù)列an地通項公式 a n=15 3n+(-1>n-12n +(-1>n2na0(n n*>,若對任意nA 1不等式a n>a n-1恒成立，求a0地取值范圍.解 a n-a n-1=2 x 3n-1+(-1>n-13 X2n-15+(-1>n3 X2n-1a 0,故 a n>a n-1 等價于(-1>n-1(5a0-1>-15 x322k-2+15.此式對k=1,2,恒成立，有a 0>-15X 322X 1-3+15=0.綜上所述，式對任意n 6 n+ 成立，有0 故a0地取值范圍為0

5、,13.例4 <2008年全國ii)設數(shù)列a n地前n項和為s n,已知 a 1=a,an+1=s n+3n<n n+).<1)設b n=s n-3n,求數(shù)列b n地通項公式；<2)若a n+1> a n(n 6 n+>,求a地取值范圍.分析 第<1)小題利用s n與a n地關系可求得數(shù)列地通項 公式；第<2)小題將a n+1>a n轉化為關于n與a地關系， 再利用aWf(n“tS成立等價于a<f(n> min求解.解 <1 )依題意，s n+1-s n=a n+1=sn+3n,.sn+1=2sn+3n,s n+1-3n+

6、1=2(sn-3n>.s n-3n為等比數(shù)列，公比為q=2,首項為s 1-3=a-3,.s n-3n=(s1-3>2n-1=(a-3>2n-1.即 b n=(a-3> x 2n-1(n n+>.<2)由 <1)知 s n-3n=(a-3> X2n-1(n n+>.于是，當nA2時，a n=s n-s n-1=3n+(a-3> x 2n-1-3n-1-(a-3> x 2n-2, .a n+1-an=2x 3n+(a-3> x2n-1-2 x 3n-1-(a-3> x2n-2=4X3n-1+(a-3> x2n-2=

7、2n-212X32n-2+a-3 .當 nA2 時,a n+1>a n,即 2n-212X32n-2+a-3 >0,12X32n-2+a-3 >0, /. a>3-12 x 32n-2.3構造單說數(shù)列策略例 5 設 a 0 為常數(shù)，且 a n=15 3n-(-1>n-12n +(-1>n2na0(n n 1>,假設對任意地nA1,有a n>a n-1,求a 0地取 值范圍.解由a n地通項公式，a n-a n-1=2x 3n-1+(-1>n-1 x3X2n-15+(-1>n x3X2n-1a0,貝U a n>a n-1(n n*

8、> 等價于(-1>n-1(5a0-1>0.綜上可知：<*)式對任何n6n*成立，得a0地取值范圍是0 說明 本題是與數(shù)列有關地恒成立問題，確定數(shù)列32n,實 質是利用了 a n=32n地單調性，從而為確定a0地范圍作鋪墊.4 數(shù)學歸納法策略例 6 已知數(shù)列a n滿足 a 1=1,an+1=18(a2 n+a>(n6 n*>,a>0,若a n+1>a n對一切n 6 n*成立，求a地取值范圍.解抓住a n+1>an實施賦值推理有a 2>a1,得a>7,它僅保證命題a n+1>a n對n=1成立.假設n=k時命題a n+1&g

9、t;a n 成立，即 a k+1>ak>0,則 a k+1-ak=18a2k+1+a-18(a2k+a>=18(a2k+1-a2k>>0,這說明 n=k+1 時命題a n+1>an也成立.綜上所述,a>7時命題a n+1>a n恒成立,故a地取值范圍是 <7,+ °°).評注 運用賦值法抓住結論成立地一個必要條件，并以此作為思 維地新起點，借助于數(shù)學歸納法順序地完成了充分地證明，求解過 程給人以“起死回生”之感.例 7 已知數(shù)列an滿足 a 1=12,a nan+1=1214n(nn+) .(1>求數(shù)列an地通項公

10、式；<2)設a>0,數(shù)列b n滿足 b 1=1a(a-1>,bn+1=-b na(b n+a>,若|b n| <a n對n 6 n+成立，試求a地取值范圍.解 <1 ) a n+1a n+2a nan+1=1214n+11214n,. an+2a n=14.又a 1=12,a 1a 2=1214,.a 2=14,.a n是公比為12地等比數(shù)列，.a n=12n.<2) |b 1| < 121a(a-1><12a>1,a(a-1>A2 或 0現(xiàn)證：aA2時,|b n| < a n對n6n+成立.n=1時,|b1| &l

11、t;a 1成立。 假設n=k(k n 1>時,|b k| < a k成立，則|b k+1|=|b k|a|b k+a| < |b k|a(a-|b k|> < 12ka(a-1> < 12k+1,即 n=k+1 時,|bk+1| < ak+1 也成立，n n+0t,|b n|<a n,.a地取值范圍是2,+ oo>.例8 <2009年安徽卷理）首項為正數(shù)地數(shù)列a n滿足an+1=14（a2n+3>,n 6 n +.<1）證明：若a 1為奇數(shù)，則對一切n>2,a n都是奇數(shù).<2）若對一切n n +都有an

12、+1>a n,求a 1地取值范圍.解<1 ）已知a 1是奇數(shù)，假設a k=2m-1是奇數(shù)，其中m為 正整數(shù)，則由遞推關系得a k+1=a2k+34=m（m-1>+1是奇數(shù).根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何n 6 n +,an都是奇數(shù).<2）方法一：由 a n+1-an=14（an-1>（an-3>知,an+1>a n當且僅當a n3.另一方面，若 0 若 a k>3,則 a k+1>32+34=3.根據(jù)數(shù)學歸納法，03 a n>3, n 6 n +.綜合所述，對一切n6n+都有a n+1>an地充要條件是03.方法二：由 a 2=a21+

13、34>a1,得 a2 1-4a1+3>0,于是03.a n+1-a n=a2 n+34-a2n-1+34=(a n+a n-1>(an-a n-1>4.因為a 1>0,an+1=a2n+34,所以所有地a n均大于0,因止匕a n+1-a n與a n-a n-1同號.根據(jù)數(shù)學歸納法，n n +,an+1-a n與a 2-a1同 號.因此，對一切n6n+ 都有an+1>a n地充要條件是03.5反證法策略例 9 已知數(shù)列a n中 a 1=a（a>0>,an+1=a n-1a n是否存在正數(shù)a,使得對任意n6n*都有a na n+1>0?若存在， 求出a地值；若不存在，請說明理由.解 假設存在正數(shù)a使a na n+1>0恒成立，則a n>0,運用 賦值法推理得a 2>0,即a-1a>0,解得a>1.以此為思維地新起點， 便可導致矛盾地結論.因為 a n+1-an=-1ana2+1 時，有an<a-n-1