數(shù)同步精致講義選修1-1北師大：第一章常用邏輯用語1Word含答案

1、§1命題學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)RuizeL 了解命題的概念及命題的構(gòu)成，會判斷一個命題的真假2理解四種命題及其關(guān)系，掌握互為逆否命題的等價關(guān)系及真假判斷.知識點一命題的概念及命題的形式思考給出下列語句：若直線。瓦則直線。和直線6無公共點： 3 + 6=7；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱：5能被4整除.請你找出上述語句的共同特點.答案 上述語句有兩個特點：都是陳述句；能夠判斷真假.梳理(1)定義可以判斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題.(2)分類真命題：判斷為真的語句叫作其命題;假命題：判斷為假的語句叫作假命題.命題的形式：”若p,則g"，其中命題的條件是p,結(jié)論是q.由P能推出如 則

2、為真命題.能舉一反例即可確定為假命題.知識點二四種命題思考給出以下四個命題：若x=2,則爐-3x+2=0：(2)若爐一3x+2=0,則 x=2：(3)若 xH2,則 2 3x+2W0：(4)若 x2-3x+2W0,則 xW2.你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？答案 命題(1)的條件和結(jié)論與命題(2)的條件和結(jié)論恰好互換了.命題(1)的條件與結(jié)論恰 好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件 的否定.梳理 一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件, 那么把這兩個命題叫作互逆命題，如果是另一

3、個命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把這兩個命題叫作互否命題，如果是另一個命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這兩個命題叫作互為逆否命題.把第一個叫作原命題時，另三個可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題.知識點三四種命題的關(guān)系及其真假判斷思考 如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的否命題呢？它的逆否命題呢？ 答案 原命題為真，其逆命題不一定為真，其否命題不一定為真，其逆否命題一定是真 命題.梳理(1)四種命題的相互關(guān)系(2)在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題其假性相同的是逆否命題.(3)兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的其假性沒有關(guān)系.(4)四種命題中，真命題都

4、是成對出現(xiàn)，即真命題的個數(shù)為?；?或4.1 .有些命題的真假性不能確定.(X )2 .有的命題沒有逆命題.(X )3 .原命題的否命題的逆命題就是原命題的逆否命題.(V )類型一命題的概念例1下列語句：(1)也是無限循環(huán)小數(shù)；(2焜 一 3、+2=0：(3)當(dāng) x=4 時，2x0：(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？(5)一個正整數(shù)不是合數(shù)就是素數(shù)：(6)作AJBCg，:T B' C ：(7)二次函數(shù)的圖像太美了！(8)4是集合1,2,3中的元素.其中是命題的是.(填序號)考點命題的概念及分類題點命題概念的理解答案 (5)解析本題主要考查命題的判斷，判斷依據(jù)：看能否判斷真假.(1

5、)是命題，能判斷真假；(2) 不是命題，因為語句中含有變量x,在沒給變量x賦值前，我們無法判斷語句的真假；(3)是 命題；(4)不是命題，因為并沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷；(5)是命 題；(6)不是命題;(7)不是命題；(8)是命題.故答案為(1)(3)(5)(8).反思與感悟一般地，判斷一個語句是不是命題，要看這個語句能不能判斷真假.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列語句是否為命題，若是，請判斷真假并改寫成“若，則”的形式.(1)垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？(2)三角形中，大角所對的邊大于小角所對的邊；(3)當(dāng)x+是有理數(shù)時，x, 都是有理數(shù)；(4)1+2+341-2 014；(

6、5)這盆花長得太好了！考點命題的概念及分類題點命題概念的理解解(1)(4)(5)未涉及真假，都不是命題.(2)是真命題.此命題可寫成“在三角形中，若一條邊所對的角大于另一邊所對的角，則這條 邊大于另一邊. “(3)是假命題.此命題可寫成“若x+j，是有理數(shù)，則x, 1y都是有理數(shù)”.類型二四種命題及其相互關(guān)系命題角度1四種命題的概念例2寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)若7M »<0,則方程7WA2x + ?7 = 0有實數(shù)根；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的??；若刑W0或則(4)在八/。中，若則NON3考點四種命題題點四種命題概念的理

7、解解(1)逆命題：若方程加t2x+=0有實數(shù)根，則”0,假命題.否命題：若則方程7n爐一x+=0沒有實數(shù)根，假命題.逆否命題：若方程式2x+=0沒有實數(shù)根，則.>0,真命題.(2)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的瓠，則這條直線是弦的垂直平分線，真命 題.否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧，真命 題.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的瓠，則這條直線不是弦的垂直平分線， 真命題.(3)逆命題：若?+W0,則川W0或W0,真命題.否命題：若切>0且>0,則i+>0,真命題.逆否命題:若川+>0,則相>0

8、且>0,假命題.(4)逆命題：在ZUBC中，若則心從真命題.否命題：在八43。中，若aWb,則NXWN3,真命題.逆否命題：在,"C中，若NKWN3,則真命題.反思與感悟四種命題的轉(zhuǎn)換方法(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的逆命題.(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得命題是原命題的否命題.(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得命題是原命題的逆否命題.跟蹤訓(xùn)練2分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.(1)若而=0,則。=0：(2)已知a, b, c為實數(shù),若a=b,則c=6c.考點四種命題題點四種命題概念的理解解(1)逆命題：若=0,貝

9、。6=0,真命題.否命題：若則工0,真命題.逆否命題：若aKO,則HHO,假命題.(2)逆命題：已知a, b, c為實數(shù)，若=兒，則。=瓦 假命題.否命題：已知a, b, c為實數(shù)，若。工瓦 則acWbc,假命題.逆否命題：已知a, b, c為實數(shù)，若雨¥%,則。Wb,真命題.命題角度2四種命題的相互關(guān)系例3若命題?“若x+j，=O,則x, 7互為相反數(shù)”的否命題為q,命題q的逆命題為r, 則，與p的逆命題的關(guān)系是()A.互為逆命題B.互為否命題C.互為逆否命題D.同一命題考點四種命題的相互關(guān)系題點四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案 B解析 已知命題p：若x+y=O,則x, y互為相反數(shù).命

10、題R的否命題：若x+yWO,則x, y不互為相反數(shù)，命題g的逆命題r：若x, y不互為相反數(shù)，則x+y¥O,；r是P的逆否命題,是的逆命題的否命題，故選B.反思與感悟1.判斷四種命題之間四種關(guān)系的兩種方法(1)利用四種命題的定義判斷.(2)巧用“逆、否”兩字進行判斷，如“逆命題”與“逆否命題”中不同有“否” 一個字，是 互否關(guān)系；而“逆命題”與“否命題”中不同有“逆、否”二字，其關(guān)系為逆否關(guān)系.2.要判斷四種命題的真假：首先，要熟悉四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性：其 次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關(guān)知識熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練3有下列四個命題：“若x+y=O,則x, y互

11、為相反數(shù)”的否命題：一個實數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；“若xW-3,則必一、一6>0”的否命題:“同位角相等”的逆命題.其中真命題的個數(shù)是.考點四種命題的真假判斷題點四種命題的概念及真假判斷的綜合應(yīng)用答案 1解析''若x+j，WO,則x, y不互為相反數(shù)”，是真命題.實數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，所以原命題是假命題.“若、>一3,則/一X-6W0”，解不等式/一X-6W0可得一2WxW3,而x=4>3不是不等式的解，故是假命題.“相等的角是同位角”，是假命題.類型三等價命題的應(yīng)用例4判斷命題”已知a, x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2W0的解集

12、非空, 則的逆否命題的真假.考點四種命題的相互關(guān)系題點逆否證法解 方法一 原命題的逆否命題：已知dx為實數(shù)，若則關(guān)于工的不等式1+(20+ 1)+3+2五0的解集為0,判斷如下：二次函數(shù)y=x2+(2a+l)x+，+2的開口向上，令 x2+(2a+l)x+a2+2=0,則=(2a+1)?4(02+2)=4。-7.因為"1,所以4°-7<0,即關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2W0的解集為。.故此命題為真命題.方法二利用原命題的真假去判斷逆否命題的真假.因為關(guān)于x的不等式始+(2。+1)工+°2+20的解集非空.所以(20+1)24(+2)，0,即

13、4。-7、0,解得所以原命題為真，故其逆否命題為真.引申探究判斷命題“已知O,x為實數(shù)，若關(guān)于X的不等式爐+(2。+1我+小+2>0的解集為R,則的逆否命題的真假.解先判斷原命題的真假如下：因為x為實數(shù)，關(guān)于x的不等式9+(2。+ 1)小+病+2>0的解集為R,且二次函數(shù)y=N+ (2a+l)x+2+2 的開口 向上，所以= (2a+l)24(a2+2)=4a 7v0,7所以"不所以原命題是真命題.因為互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題.反思與感悟 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的兩個命題具有 等價性，所以我們在直接證明某

14、一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為 真命題來間接地證明原命題為真命題.跟蹤訓(xùn)練4證明:若后一4拄-2a+lW0,則W26+L考點四種命題的相互關(guān)系題點逆否證法證明 “若42424+1X0,則。#26+1”的逆否命題為“若4=26+1,則。:一防一2 + 1 = 0” .，=26+1,，a2-4b2-2a+1 =(26+ l)2-462-2(2Z>+1)+1=4按+1 +464/462+1=0.命題"若a=2b+L則標(biāo)-4622。+1 = 0”為真命題.由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確.1.命題“若x>l，則4一 1”的否命題是()A.若

15、*>1,則 xW-lB.若xWl,則4一1C.若 xWl,則 xW 1D.若xvl,則二一1考點四種命題概念的理解題點四種命題概念的理解答案 C解析 原命題的否命題是對條件“x>l”和結(jié)論、>一1"同時否定, 即“若xWl,則xW - l"，故選C.2.命題“垂直于同一條直線的兩個平面平行”的條件是（）A.兩個平面B. 一條直線C.垂直D.兩個平面垂直于同一條直線考點命題的概念及分類題點命題的結(jié)構(gòu)答案 D解析只要分清命題中的條件和結(jié)論即可.3 .命題“若_/（、）是奇函數(shù)，則大一X）是奇函數(shù)”的否命題是（）A.若危）是偶函數(shù)，則大-x）是偶函數(shù)B.若加）不

16、是奇函數(shù)，則大一x）不是奇函數(shù)C.若大-x）是奇函數(shù)，則危）是奇函數(shù)D.若逐一x）不是奇函數(shù)，則人、）不是奇函數(shù)考點四種命題題點四種命題概念的理解答案 B解析否命題是既否定條件又否定結(jié)論.因此否命題應(yīng)為“若加）不是奇函數(shù)，則逐一、）不是奇函數(shù)”.4 .命題“若ab,則啟加2（°,6c£R）”與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題 的個數(shù)為（）A. 0B. 2C. 3D. 4考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析 命題“若心b,則2慶2（°, b, c£R）"是假命題，則其逆否命題是假命題.該命題的逆命題為“若。4瓦”

17、則。6（。，b, cCR）”是真命題，則其否命題是真命題.故 選B.5.給出以下命題：“若爐+爐工0,則x, y不全為零”的否命題；“正多邊形都相似”的逆命題：“若心0,貝lJF+x7 = 0有實根”的逆否命題.其中為真命題的是.(填序號)考點四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 ®解析 否命題是“若公+產(chǎn)=0,則x, j，全為零”，真命題.逆命題是“若兩個多邊形相似，則這兩個多邊形為正多邊形”，假命題./ = 1+4處 當(dāng)加0時，A0,，爐+工一加=0有實根，即原命題為真.，逆否命題為真.1 .可以判斷真假、用文字或符號表述的語句是命題，命題的條件與結(jié)論之間屬于因果

18、關(guān)系， 真命題可以給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.2 .任何命題都是由條件和結(jié)論構(gòu)成的，可以寫成“若夕，則q”的形式.含有大前提的命題 寫成''若“則q”的形式時，大前提應(yīng)保持不變.3 .寫四種命題時，可以按下列步驟進行(1)找出命題的條件P和結(jié)論q.(2)寫出條件?的否定和結(jié)論g的否定.(3)按照四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所有命題.4 .判斷命題的真假可以根據(jù)互為逆否的命題真假性相同來判斷，這也是反證法的理論基礎(chǔ).課時對點練注56雙基強化落實一、選擇題1.下列說法正確的是()A.命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”B.語句“最高氣溫30時我就開空調(diào)”是命題C.命

19、題“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是真命題D.語句“當(dāng)。>4時，方程1-4工+。=0有實根”是假命題考點命題的概念及分類題點命題真假性的判斷答案 D解析 對于A,改寫成“若口,則q”的形式應(yīng)為“若有兩個角是直角，則這兩個角相等”； B所紿語句不是命題；C的反例可以是“用邊長為3的等邊三角形與底邊為3,腰為2的等 腰三角形拼成的四邊形不是菱形”來說明.故選D.2 .給出下列三個命題：（）“全等三角形的面積相等”的否命題；"若1g爐=0,則x=-l”的逆命題；“若xWy或xW-y,則|x|WW'的逆否命題.其中真命題的個數(shù)是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3考點四種

20、命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析 的否命題是“不全等的三角形面積不相等”，它是假命題；的逆命題是“若x= -1,則lg=0"，它是真命題；的逆否命題是“若卜|=M，則x=y且x=-y"，它是假 命題，故選B.3 .已知命題“若就<0,貝iJaWO或b0”，則下列結(jié)論正確的是（）A.真命題，否命題：“若而>0,則心0或b>0”B.真命題，否命題：“若06>0,則心0且b>0”C.假命題，否命題：“若帥>0,則00或b>0”D.假命題,否命題:“若而命,則心0且b>0”考點四種命題題點四種命題概念的理解答案

21、 B解析 “若且6X）,則就>0”是真命題，又“若心0且A0,貝iJaAO"是''若而W0, 則。0或6W0”的逆否命題，故原命題為真命題.已知命題的否命題是“若。6>0,則。>0 且 b>0,f .4 .下列命題中為真命題的是（）A. “若x>2 016,則x>0”的逆命題B. “若孫=0,則x=0或y=0”的逆否命題C.若好+%2=0,則 x=lD. “若則x21”的逆否命題考點 四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析 A選項，"若*>2 016,則x>0”的逆命題為“若xX）,則x&

22、gt;2 016”是假命題；B選項, “若孫=0,則x=0或7=0”的逆否命題為“若xWO且yWO,則不，WO”是真命題；C選項, 由K+x2 = 0,得x=l或x=-2,故C是假命題；D選項，“若犬1,則x21”是假命 題，故其逆否命題是假命題.5.已知叫6CR,命題“若。+6=1,則標(biāo)+方>”的否命題是（）A.若公+濟受,則a+bWlB.若 a+6=l,則東+,C.若 a+bHl,則東 + ,D.若十月2,則a+6=l考點四種命題題點四種命題概念的理解答案 C解析 “。+6=1” , “病+/沾的否定分別是“。+獷1”, “標(biāo)十%；”，故否命題為 “若0+”1,則東+尻” .6.有下

23、列三個命題：“若x+y=O,則x, y互為相反數(shù)”的逆命題:“若方，則Kb”的否命題：“若qWl,則必+ 2%+=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題.其中真命題為（）A.B.C.D.考點 四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 c解析 命題：“若互為相反數(shù)，則x+y=O”是真命題；命題：“若宗尻，則 是假命題；命題：“若qWl,則F+2x+q=0有實根”是真命題，則其逆否命題也為真命 題；命題是假命題.7.已知命題“若外b, c成等比數(shù)列，則，在它的逆命題、否命題、逆否命題中， 真命題的個數(shù)是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3考點四種命題的真假判

24、斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析 命題“若。，b, c成等比數(shù)列，則/=今”是真命題，故其逆否命題是真命題.該命題的逆命題為“若則a, b, c成等比數(shù)列”是假命題，故其否命題也是假命題, 故選B.8 .原命題為5c中，若cosHvO,則八43。為鈍角三角形”，關(guān)于其逆命題、否命題、 逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.真，假，假考點 四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析若cos,4V0, .4為鈍角，則&"。為鈍角三角形，所以原命題為真，則逆否命題也為 真；,"C為鈍角三角形，

25、可能是8或者C為鈍角，4可能為銳角，cos H>0.所以逆命題為 假，則否命題也為假.故選B.9 .已知命題：若XI,則。-I,則下列說法正確的是（）A.命題p是真命題B.命題p的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若“I,則病，1”D.命題p的逆否命題是“若°221,則qvl”考點 四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B解析 若。=一2,則（一2）2>1,.命康p為假命題，A不正確；命題0的逆命題是“若則K1”，為真命題，.*.B正確；命題0的否命題是''若。21,則排21"，.c不正確；命題p的逆否命題是“若標(biāo)1,則“21”，

26、D不正確.故選B.二、填空題10 .已知命題p的逆命題是“若實數(shù)。，6滿足。=1且b=2,則a+b<4"，則命題p的否 命題是考點四種命題的相互關(guān)系題點四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用答案 若實數(shù)。，6滿足。+624,則aWl或6W2解析由命題0的逆命題與其否命題互為逆否命題可得.11 .在命題“若拋物線 =。必+8+。的開口向下，則x|ax2 + bx+c<OW0”的逆命題、否 命題、逆否命題中結(jié)論成立的個數(shù)是.考點 四種命題的真假判斷題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 1解析原命題是真命題，則其逆否命題是真命題，該命題的逆命題是假命題，則其否命題也 是假命題，故答案為1.12.給定下列命題：若A0,則方程爐一2x一左=0有實數(shù)根：若 x+j，W8,則 xW2 或 yW6：“矩形的對角線相等”的逆命題：“若不，=0,則x, >中至少有一個為零”的否命題.其中真命題