大腦的耳葉中,有一部分叫做海馬,它是記憶中樞有

1、1 大腦的耳葉中，有一部分叫做大腦的耳葉中，有一部分叫做“海馬海馬”，它是記憶中樞。有趣的是：，它是記憶中樞。有趣的是：左腦的海馬，是記憶最近的事情，記左腦的海馬，是記憶最近的事情，記得快忘得也快（短時記憶）；右腦的得快忘得也快（短時記憶）；右腦的海馬，是保存自出生以來的一切事物，海馬，是保存自出生以來的一切事物，而且永不丟失（永久記憶）。不過，而且永不丟失（永久記憶）。不過，它卻象是被擠在了倉庫的角落里，塵它卻象是被擠在了倉庫的角落里，塵封了起來。封了起來。2dxxfVba2)( dcdyyV2)( badxxAV)(一、旋轉體的體積一、旋轉體的體積 二、平行截面面積為已知二、平行截面面積為

2、已知 的立體的體積的立體的體積xyoabxdxx )(xAxyoabxdxx )(xfy xyo)(yxcd3這直線叫做這直線叫做旋轉軸旋轉軸。 就是由一個平面圖形繞平就是由一個平面圖形繞平 面內一條直線旋轉一周而成的立體，面內一條直線旋轉一周而成的立體， 及球體都是旋轉體。及球體都是旋轉體。 如圖所示圓柱體、圓臺體、圓錐、如圖所示圓柱體、圓臺體、圓錐、 4dxxfVba2)( 所以所以 dxxfdV2)( 圍成的曲邊梯形繞圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋軸旋轉一周轉一周 0,),(ybxaxxfy求由求由而成的而成的立體的體積。立體的體積。 積分變量為積分變量為 ,x積分區(qū)間為積分區(qū)間為 ,b,a

3、在在 b,a上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,dxx,x 相應的窄曲邊梯形相應的窄曲邊梯形 繞繞x軸旋轉而成的薄片的體積，軸旋轉而成的薄片的體積， 用圓柱體的體積近似代替，用圓柱體的體積近似代替， 圓柱體的體積即圓柱體的體積即： yOb)(xfy xaxdxx yOab)(xfy xxdxx 5xyo)(yx cddcdyyV2)( )(yx 由曲線由曲線 和直線和直線 dy,cy 與與 y 軸所圍成的曲邊梯形，軸所圍成的曲邊梯形， 旋轉一周而成的旋轉體的體積為：旋轉一周而成的旋轉體的體積為： 繞繞 y 軸軸 例例1 求以求以 為底半徑，為底半徑， 為高的圓錐的體積為高的圓錐的體積 。 rh當然這個

4、題可以用元素法來解。當然這個題可以用元素法來解。xhry OP的直線方程為：的直線方程為： 于是所求圓錐體的體積為：于是所求圓錐體的體積為： 3032322hrhxhr hdxxhrV02 rOhxyP(h,r)建立坐標系如圖建立坐標系如圖 解：解：6當當 a=b時，旋轉橢球體就成為半徑為時，旋轉橢球體就成為半徑為 a 的球體的球體,它的體積為它的體積為 334aV 例例2 2 計算由橢圓計算由橢圓 12222 byax所圍成的圖形繞所圍成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體軸旋轉而成的旋轉體 （叫做旋轉橢球體）的體積。（叫做旋轉橢球體）的體積。 及及 x 軸圍成的圖形繞軸圍成的圖形繞 x 軸旋轉而成

5、的立體，軸旋轉而成的立體， 這個橢球體可以看作是由上半個橢圓這個橢球體可以看作是由上半個橢圓解：解：22xaaby上半個橢圓的方程為：上半個橢圓的方程為： 23222343abaaxxaab 所以：所以： aadxyV2 aadxxaab)(2222 若繞若繞 y 軸旋轉軸旋轉 baV234 x xy yo o7 2200)cos1(.cos1 )sin(taxtxdttadxtayttax時，時，當當時，時，當當則則，令令圖形繞圖形繞 x 軸旋轉而成的旋轉體的體積為軸旋轉而成的旋轉體的體積為 20323)coscos3cos31(dtttta 解：解： axdxxyV 202)( 2022)

6、cos1()cos1(dttata例例3 3 計算由擺線計算由擺線 )cos1()sin(tayttax的一拱、直線的一拱、直線 y =0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸、軸、y 軸旋轉而成的軸旋轉而成的 旋轉體的體積。旋轉體的體積。a2a a 2a2)(xyy xyO325a 8 aydyyxV2022 2 22sinsintdtatta 2023sin)sin(tdttta adyyx2021 0 22sinsintdtatta圖形圖形繞繞 y 軸軸旋轉而成的旋轉而成的 旋轉體的體積為旋轉體的體積為 a a 2ACx =x1(y) x=x2(y) x yO Btdtadytta

7、xtaysinsin )cos1(則則，令令 taytyyxx時，時，當當時，時，當當對于對于2001 .2;20,2 taytyyxx時，時，當當時，時，當當對于對于 2032022023sinsin2sintdttdtttdtta 2 22sinsintdtatta周期函數周期函數奇函數奇函數)2sin2sin(21sin2sin262020202023 tdttttdttta336a 9所以所以 badxxAV)(dxxAdV)(則體積元素為：則體積元素為： )(xA表示過點表示過點 x 且垂直于且垂直于x 軸的截面面積（已知）。軸的截面面積（已知）。 用用 積分變量為積分變量為 ,x積

8、分區(qū)間為積分區(qū)間為 ,b,a,dxx,x在在 上任取上任取小區(qū)間小區(qū)間 ba,)(xAxbx+dxxaOy10圓柱體所得立體的體積。圓柱體所得立體的體積。例例4 4 一平面經過半徑為一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角底面交成角 , 計算這平面截計算這平面截因而截面積為因而截面積為 tan)(21)(22xRxA 解：解：222Ryx建立直角坐標系如圖：建立直角坐標系如圖：則底圓的方程為：則底圓的方程為：作垂直于作垂直于 x 軸的截面，軸的截面，過任意點過任意點,RRx截面為一直角三角形，截面為一直角三角形，,22xR 它的兩條直角邊的長分別為它的兩條直

9、角邊的長分別為,tan22 xR 及及于是所求立體體積為：于是所求立體體積為：RRdxxRV tan)(2122 tan3231tan21332RRRxxR222Ryx XRR-R-RO OYx11例例5 5 求以半徑為求以半徑為R的圓為底，的圓為底， 平行且等于底圓直徑的線段為頂、平行且等于底圓直徑的線段為頂、 高為高為h的正劈錐體的體積。的正劈錐體的體積。 解：解： 使使 x 軸與正劈錐的頂平行，軸與正劈錐的頂平行， 建立底面直角坐標系如圖，建立底面直角坐標系如圖， 222Ryx則底圓的方程為：則底圓的方程為： 22)(xRhyhxA這截面的面積為：這截面的面積為：過過 x軸上的點軸上的點

10、 x 作垂直于作垂直于 x 軸的平面，軸的平面， 截正劈錐體得等腰三角形。截正劈錐體得等腰三角形。 正劈錐體的體積等于同底同高的圓柱體體積的一半。正劈錐體的體積等于同底同高的圓柱體體積的一半。 于是所求正劈錐體得體積為：于是所求正劈錐體得體積為： 2cos220222hRdhR RRRRdxxRhdxxAV22)(-RRRRYYO OXxh h12一、平面曲線弧長的概念一、平面曲線弧長的概念AB在弧在弧 上任取分點上任取分點 設設A、B是曲線弧上的兩個端點，是曲線弧上的兩個端點， 并依并依 次連接相鄰的分點得一內接折線。次連接相鄰的分點得一內接折線。 當分點的數目無限增加且每個小段當分點的數目

11、無限增加且每個小段 niiiMM11的極限存在，的極限存在，則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長，的弧長， 并稱此曲線弧并稱此曲線弧 AB是可求長的。是可求長的。 、210MMMA ,11BMMMMnnii、都縮向一點時，都縮向一點時，如果折線的長如果折線的長 iiMM1（0MA2M1M1nMnMB 1iMiMOxy光滑曲線弧光滑曲線弧( (即弧上任意點具有一階連續(xù)導數）即弧上任意點具有一階連續(xù)導數）是可求長的。是可求長的。 13于是所求于是所求弧長為弧長為 badxys21設曲線弧由設曲線弧由 )(xfy )(bxa給出，給出， 上具有一階連續(xù)導數，上具有一階連續(xù)導數，現在來現

12、在來 其中其中f（x）在在 a，b 上上 計算這計算這曲線弧的長度曲線弧的長度。 從而得從而得弧長元素：弧長元素： ba,在在 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 ,dxxxdx y21 ds 22dydx- -弧微分公式弧微分公式 dydxx)(xf)(xfy axbxyOdx14dxxdxxds1)(1221 21xy 解解因此所求弧長為：因此所求弧長為：abxdxxsba23)1(3212323)1()1(32ab例例1 1 計算曲線計算曲線 上相應于上相應于 從從 a 到到 b的一段弧的長度。的一段弧的長度。 2332xy 15(其中其中 c為常數為常數)方程為：方程為：cxchcy計算懸鏈線上

13、介于計算懸鏈線上介于 與與 之間一段弧的長度之間一段弧的長度.例例2 2 兩根電線桿之間的電線，由于其本身的重量，下垂成兩根電線桿之間的電線，由于其本身的重量，下垂成曲線形，這樣的曲線叫曲線形，這樣的曲線叫懸鏈線懸鏈線，適當選取坐標系后，懸鏈線的，適當選取坐標系后，懸鏈線的bxbx 解解 cxsh y dxcxchdxcxshds21因此所求弧長為：因此所求弧長為：bbcxdcxchcdxcxchs0022cbshcbcxshc202bbcX XYYO O16 于是所于是所求求弧長為弧長為 dttts22弧長元素為弧長元素為:dttt)()(22 22dydxds 2222dttdtt 取取

14、t 為積分變量，它的變化區(qū)間為為積分變量，它的變化區(qū)間為, 設曲線弧由參數方程設曲線弧由參數方程)()(tytx )( t給出，其中給出，其中)(t )(t ,現在來計算這現在來計算這曲線弧的長度曲線弧的長度。、在在上具有連續(xù)導數。上具有連續(xù)導數。 17aadas8022cos222sin220 解解: sin)cos1(ayax daads2222sin)cos1( dada2sin2)cos1(2例例3 3 計算擺線計算擺線 )20( )cos1()sin( ayax的長度。的長度。 的一拱的一拱 a2a a 2a2)(xyy xyO18弧長元素為：弧長元素為： drrdyxds2222所

15、求弧長為：所求弧長為： drrs22 cos)(sin)( sin)(cos)( rryrrx sin)(sincos)(cosrryrrx)( 現在來計算這曲線弧的長度，現在來計算這曲線弧的長度，由直角坐標與極坐標的關系可得：由直角坐標與極坐標的關系可得： , ryx, yxyOx r可看作可看作以以 為為參數的情形參數的情形設曲線弧由極坐標方程設曲線弧由極坐標方程 在在 ,)( )( rr )( r給出，其中給出，其中 上具有連續(xù)導數上具有連續(xù)導數 。 19xoa 2例例4 4 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 相應于相應于 從從 到到 )0( ,aar 0 2一段的弧長。一段的弧長。 于是所

16、求弧長為于是所求弧長為 2021das22412ln4122 a daads222弧長元素為弧長元素為解解a r da2120小小 結結 dxydxxfVbaba22)( 利利用用曲曲線線參參數數方方程程時時一、旋轉體的體積一、旋轉體的體積 繞繞x x軸旋轉軸旋轉 繞繞y y軸旋轉軸旋轉 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積badxxAV)(dyxdyyVdcdc22)( 利利用用曲曲線線參參數數方方程程時時換換限限按按照照)(tx 換換限限按按照照)(ty 21badxys21(1) 直角坐標直角坐標 dttts)()(22(2) 參數方程參數方程 drrs)()(22(3) 極坐標極坐標三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長思考題：思