最詳細(xì)全面六年級奧數(shù)-數(shù)論教師版word

1、數(shù)論問題本身范圍很廣，我們考察小學(xué)奧數(shù)的內(nèi)容，完全平方數(shù)等知識點跟基礎(chǔ)課內(nèi)容結(jié)合很緊密，但又是小 奧的重難點，我們有必要加以重視本講需要學(xué)生掌握的知識點有：平方數(shù)性質(zhì)、平方差公式、約數(shù)個數(shù)定理、約數(shù) 和定理、輾轉(zhuǎn)相除法等本講內(nèi)容中，平方數(shù)部分是數(shù)論中最基本的部分，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)會熟練運用平方差公式，對于約數(shù)和倍數(shù)部分， 老師應(yīng)當(dāng)更注重其中的邏輯過程，可以適當(dāng)用一些代數(shù)的方法將題目講的更明白和透徹【例1】一個5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為43,且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù).【分析】現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運用要有具體的數(shù)字，而現(xiàn)在

2、沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手.5位數(shù)數(shù)字和最大的為9 >5=45,這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, &這樣我們接著 用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979, 97999 , 98989.【例2】已知ABCA是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)AB是一個質(zhì)數(shù)，BC是一個完全平方數(shù)，CA是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是.【分析】本題綜合利用數(shù)論知識，因為 AB是一個質(zhì)數(shù)，所以B不能為偶數(shù)，且同時BC是一個完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅為16、36,當(dāng)B1時，滿足AB是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有11 , 31 , 41 , 61, 7

3、1,時， 此時同時保證CA是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，只有3163符合；當(dāng)B3,滿足AB是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有13, 23, 43, 53, 73, 83,此時同時保證CA是一個質(zhì) 數(shù)與一個 不為1的完全平方數(shù)之積，只有8368符合.專題精講分解質(zhì)因數(shù)【例1】2001個連續(xù)的自然數(shù)之和為abed,若a、b、c、d都是質(zhì)數(shù)，則abed的最小值是多少?【分析】遇到等量關(guān)系的表述時，先將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.設(shè)這2001個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是A,則A A 2000 2001A 10002001 A 10003 23 29,貝 UA 1000 是質(zhì)數(shù)，所以 A 的最大的一個是A 2000(遇到多

4、個連續(xù)自然數(shù)問題，轉(zhuǎn)化時一般均采用假設(shè)法，自己需要的量，題目中沒有 時，可以設(shè)未知數(shù)),則它們的和是：2最小值是9. a bed的最小值是：1009 3 23 29 1064.拓展101個連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個不同的質(zhì)數(shù)的積，那么這個最小的和應(yīng)該是分析設(shè)這101個自然數(shù)中最小的數(shù)為 a,則101個連續(xù)自然數(shù)的和為：a+( a +1)+( a +2)+( a +100)=(a+ a+100) M012=( a+50) M01因為101是質(zhì)數(shù)，所以a+50必須是3個質(zhì)數(shù)的乘積，要使和最小.經(jīng)檢驗a+50=66=2 3F1最小，所以和最小為66為01=6666.鋪墊已知口=口口 口,其中口、

5、。、分別表示不同的數(shù)字，那么四位數(shù)?？谑嵌嗌伲糠治鲆驗榭?、口工 口 10101，所以在題述等式的兩邊同時約去口即得Zx口八©10101 .作質(zhì)因數(shù)分解得10101 3 7 13 37,由此可知該數(shù)分解為3個兩位數(shù)乘積的方 法僅有2113 37.注意到兩位數(shù)匚的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別在另外的兩位數(shù)和中出現(xiàn)，所以 口=3, 口。=37,=21 .即 0=7, =1 , 口=， =2,所求的四位數(shù)是 7132.【例2】N為自然數(shù)，且N1, N2、N 9與690都有大于I的公約數(shù).N的最小值為.【分析】690 2 3 523,連續(xù)9個數(shù)中，最多有5個是2的倍數(shù)，也有可能有4個是2的倍數(shù)，如果

6、有5個連續(xù)奇數(shù)，這5個連續(xù)奇數(shù)中最多有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，所以必然 有一個數(shù)不是2、3、5、23的倍數(shù)，即與690沒有大于I的公約數(shù).所以9個數(shù)中只有4個奇數(shù)，這個數(shù)中，有2個3的倍數(shù)，1個5的倍數(shù)，1個23的倍數(shù)，則N1、N3、N5、N7、N 9是偶數(shù)，剩下的4個數(shù)中N 2、N 8是3的倍數(shù)(5個偶數(shù)當(dāng)中只有N 5是3的倍數(shù))，還有N4、N 6一個是5的倍數(shù)，一個是23的倍數(shù).剩下的可以用中國剩余定理求解, 一個是5的倍數(shù)，顯然N5約數(shù)、倍數(shù)23的倍數(shù)，另N 5是2和3的倍數(shù)，且相鄰兩個數(shù)中一個是 24是最小解，所以N的最小值為19.288,最大公約數(shù)是4,甲乙兩數(shù)不

7、是288和4中的數(shù)，那么甲甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是 乙兩數(shù)的乘積為多少？和為多少？【分析】設(shè)甲乙兩個數(shù)為4x, 4y, （X和y都不等于1或72）,則X, y兩數(shù)互質(zhì)，于是4x , 4y的最小公28832倍數(shù)為4xy,所以xy72, 72 23 32,由于x, y互質(zhì)，所以2或3不可能在x, y的因子中都出現(xiàn)，所以x, y一個是81個是9,所以兩數(shù)的乘積等于4y 4x 4 4xy 1152,和為4x4y4 8 968.【例4】有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號，它們是1號到15號.1號同學(xué)寫了一個自然數(shù)， 2號說：這個數(shù)能被2整除” 3號說這個數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個數(shù)能被 他的

8、編號數(shù)整 除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學(xué)說得不對，其余同學(xué)都對，問：說得不對的兩位同學(xué)， 他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù). 【分析】首先可以斷定編號是2, 3, 4, 5, 6, 7號的同學(xué)說的一定都對.不然，其中說的不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對，這樣就與只有編號相鄰的兩位同學(xué)說的不對”不符合因此，這個數(shù)能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除.其次利用整除性質(zhì)可知，這個數(shù)也能被2 >5, 3 >4, 2 >7都整除，即編號為10, 12, 14的同學(xué)說的也對.從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9.這個數(shù)

9、是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15 的公倍數(shù),由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060,因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號同學(xué)寫的數(shù)就是60060.拓展一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)和為10,那么此數(shù)為幾？分析最小的三個約數(shù)中必然包括約數(shù)1,除去1以外另外兩個約數(shù)和是9,由于9是1個奇數(shù)，所以這兩個約數(shù)的奇偶性質(zhì)一定是相反的，其中一定有一個是偶數(shù)，如果一個數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)于是顯然的，2是這個數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是乙所以這個兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個

10、兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6,所以這個數(shù)只能是14或98,其中有6個約數(shù)的是98.約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如a% a31 -OnPnD . d d I那么n的約數(shù)個數(shù)為dn1a2 1a31 L an 1自然數(shù)n的約數(shù)和為SnRa Ra11 L 2 p p 1 R a2 P?321 LP22 P211 Lan 121L Pnan Pnn L R Pn 1【例5兩數(shù)乘積為2800,而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多1 ,那么這兩個數(shù)分別是【分析】2800 24 52 7 ,由于其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多1 ,所以這兩個數(shù)中有一個數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個，這個數(shù)為完

11、全平方數(shù).故這個數(shù)只能為22、2 52、22 52或2452 .經(jīng)檢驗，只有兩數(shù)分別為24和52 7時符合條件，所以這兩個數(shù)分別是 16和175.鋪墊在三位數(shù)中，恰好有9個約數(shù)的數(shù)有多少個？分析91933,所以9個約數(shù)的數(shù)可以表示為一個質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩個不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有256符合條件，后者中符合條件有 100、196、484、676、225、441, 所以符合條件的有7個【例6】兩個整數(shù)A、B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B, CD 187,那么AB等于多少？【分析】最大公約數(shù)C,當(dāng)然是最小公倍數(shù)D的約數(shù)，因此C是187的約數(shù)，1

12、8711 17, C不等于1,只能是 C11或者C17 .如果C11,那么D 187 11 176. A和B都是176的約數(shù)，A和B不能是11,只能是22, 44, 88, 176這四個數(shù)中的兩個，但是這四個數(shù)中任何兩個數(shù)的最大公約數(shù)都不是11,由此得出C不能是 11.現(xiàn)在考慮C 17,那么D 187 17 170, A和B是170的約數(shù)，又要是17的倍數(shù)，有34 , 85, 170三個 數(shù)，其中只有34和85的最大公約數(shù)是17,因 此，A和B分別是34和85, A B 34 85 119.【例7】已知A是一個有12個約數(shù)的合數(shù)，8A、10A有24個約數(shù)，12A有40個約數(shù)，求15A有多少個約

13、數(shù)?【分析】設(shè)A 2a 3b 5Cd, d中不含有2、3、5因子，那么A的約數(shù)個數(shù)有a1 b1 c1 N12LLLL（其中N為d的約數(shù)個數(shù)）a 48A的約數(shù)個數(shù)為a4b1 c1 N24,與比較得到2，于是a 2 ,a 13，于是C1, 2c210A的約數(shù)個數(shù)為a2b1c2N4b1c2N24,與比較c 112A的約數(shù)個數(shù)為a3b2c1N10b2N 40,與比較得到2,于是b 0 , b1 將a、b、c代入得到N2, 15A的約數(shù)個數(shù)為a 1 b 2 c 2 N 36.鋪墊已知偶數(shù)A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)為 12,求4A的約數(shù)的個數(shù)分析將A分解，A2B,其中B是奇數(shù)，它的約數(shù)的個數(shù)為1 1

14、 N12,（其中N為B的約數(shù)個數(shù)），則4A的約數(shù)個數(shù)為13N24.【例8】要使12m 9n這個積是65的倍數(shù)，并要使mn最小，貝U m _,n【分析】分析題意，為同一個數(shù)可以由兩種乘積的形式表示關(guān)于因數(shù)乘積表示形式，類比聯(lián)系我們所學(xué)的知識點：質(zhì)因數(shù)的唯一分解式:Pn、Pl,P2.Pn為質(zhì)因數(shù),bg.，bn為自則12m則得至I9n 22m 3m 2n 是 6525 35 的倍數(shù)，2m 5一 廠m. n為整數(shù)，使mn最小,m 2n 5番件完全平方數(shù)一【例9】從1到2008的所有自然數(shù)中，乘以72后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？ 【分析】完全平方數(shù)，所有質(zhì)因數(shù)必成對出現(xiàn).72 23 32 2 6 6,

15、所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的2倍，2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048,共 31 個.鋪墊有5個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為. 分析考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時候有技巧設(shè)中間數(shù)是x,則它們的和為5x,中間三數(shù)的和為3x - 5x是平方數(shù),設(shè)5x52a2,則22222x5a. 3x15a3 5a是立方數(shù)，所以a至少含有3和5的質(zhì)因數(shù)各2個，a至少是225,中間的數(shù)至少是1125 .最小數(shù)的最小值為1123.【例10】志誠小學(xué)三四年級的學(xué)生人數(shù)比一二年級的學(xué)生人數(shù)

16、多100人，但比五六年級的學(xué)生人數(shù)少53人，已知五六年級的學(xué)生人數(shù)和一二年級的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，那么志誠中學(xué)總的學(xué)生人數(shù)有多少人？（請寫出最現(xiàn)實的答案）【分析】五六年級的人數(shù)和一二年級的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，所以可以設(shè)五六年級的學(xué)生人數(shù)為A2,一二年級的學(xué)生人數(shù)為B2,貝U153ABAB,而15333 17,所以，AB與A B可能為153和1; 17和9 ； 51和3,由這三個答案得到的A和B的值分別為：77和76, 13和4, 27和24,顯然由前兩組答案得到的 學(xué)校人數(shù)不符合現(xiàn)實，所以A 27, B 24為最佳結(jié)果此時五六年級的學(xué)生人數(shù)為729人，一二年級的學(xué)生人數(shù)為576人，三四

17、年級的學(xué)生人數(shù)為676,學(xué)校的總?cè)藬?shù)為729 576 676 1981人鋪墊能否找到這么一個數(shù)，它加上24,和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？分析假設(shè)能找到，設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別為A?、B2,那么這兩個完全平方數(shù)的差為54ABAB,由于A B和A B的奇偶性質(zhì)相同，所以A B A B不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以54不可能 等于兩個平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到【例11】一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個數(shù)為 智慧數(shù)”比如16= 5232,16就是一個智慧數(shù)”那么從1開始的自然數(shù)列中，第2003個智慧數(shù)”是.【分析】a b = a b a b .因為a b與a b同奇同偶，所

18、以智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù).對于任何大于1的奇數(shù)2nl （ n 1）,當(dāng)a n 1 , b n時，都有a 有n個自然數(shù)相加：123Lnaaa （和恰好是三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)），那么n .【分析】1 23 L n凹耳aaa, n （n 1） 2aaa 2 111 a 2 3 37 a,由于a是個一位數(shù)，2n與n 1是兩個相鄰的整數(shù)，只有當(dāng)a 6, n 36時滿足題意，所以所求的n為36. 已知A有12個約數(shù)，9A有24個約數(shù)，15A有36個約數(shù)，5A有多少個約數(shù)？ b2 = （n 1） 2n2 = 2n 1,即任何大于1 的奇數(shù)都是智慧數(shù)”.2222對于任何大于4的4的倍數(shù)4n （n 2）

19、,當(dāng)a n 1 ,b n 1時，都有ab= （n 1） （n 1） =4n .即任何大于4 的4的倍數(shù)都是智慧數(shù)”除了 1和4以外，非智慧數(shù)”都是不能被4整除的33偶數(shù)，智慧數(shù)”約占全部正整數(shù)的2003 -2671,為2672 4 668,加上1和4這兩個非44智慧數(shù)”，在12672中共有非 智慧數(shù)” 668+2=670個），有智慧數(shù)” 2672 670=2002（個）.所以 第 2003個智慧數(shù)”是2673.【例12】（2008年清華附中入學(xué)考試題）有兩個兩位數(shù)，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)（個位數(shù)和十位數(shù)）相同，那么這兩個兩位數(shù)是 （請寫出所有可能的 答案）.

20、【分析】（法一）設(shè)這兩個數(shù)分別是a和a 14,則a?與a 14 2兩個數(shù)的末兩位相同，即a?與2a 28al96的末兩位相同，所以28al96是100的倍數(shù)，a個位只能是3或8 先設(shè)a 10k 3,貝ij 28al 96 280k 280,當(dāng)k 4,9時滿足條件，但k9時較大的兩位數(shù)大于100不合題意再設(shè)a10k8,可求得k1, 6時滿足條件.所以一共有（43,57）、（18,32）、（68,82）三組答案.（法二）a14 2a2 a 14aa14a 28 a 7,28a7是100的倍數(shù)，所以a7是25的倍數(shù)，符合條件的a只 有 18、43、68 .1.兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,又有三個連續(xù)自然數(shù)的平方和等于365,則這兩個連續(xù)自然數(shù)為，這三個連續(xù)自然數(shù)為.22222【分析】13 14365,所以這兩個連續(xù)自然數(shù)為13、14, 10 1112 365,所以這三個連續(xù)自