有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算

1、1.6有理數(shù)的乘方及混合運(yùn)算式子特點(diǎn)也可按大括號(hào)、 中括號(hào)、小括號(hào)的順序 進(jìn)行.(3)在運(yùn)算過程中注意運(yùn)算律的運(yùn)用.【典型例題】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解有理數(shù)乘方的定義；2 .掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則，并能 熟練進(jìn)行乘方運(yùn)算；3 .進(jìn)一步掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)的乘方定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方， 乘方的結(jié)果叫做哥(power).類型一、有理數(shù)乘方1.把下列各式寫成哥的形式:(1)即有:an.在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)乘方與哥不同，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算，哥是乘方運(yùn)算的結(jié)果.(2)底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不 是單純的一個(gè)數(shù)

2、時(shí)，要用括號(hào)括起來.(3) 一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方.例如，5就是51,指數(shù)1通常省略不寫.要點(diǎn)二、乘方運(yùn)算的符號(hào)法則(1)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)；(2)負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)；(3) 0的任何正整數(shù)次哥都是 0; (4)任何一個(gè)數(shù)的偶(2)(- 3.7) X (- 3. 7) X(-3. 7) X(- 3. 7) X5X5；(3) xxxxxxyy.【答案與解析】(1)22225555指數(shù)底數(shù)42 455(2)(- 3.7) X (- 3.7) X (- 3. 7) X (- 3. 7) X 5X5=(- 3.7)4X52；6 2(3) xxxxxxyy x y【總結(jié)

3、升華】 乘方時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)時(shí),應(yīng)加上括號(hào)次哥都是非負(fù)數(shù)，即 以之0 .(D ( 4)3(2) 43(3)要點(diǎn)詮釋：(1)有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘 除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定哥的符號(hào)， 然后再計(jì)算 哥的絕對(duì)值.(2)任何數(shù)的偶次哥都是非負(fù)數(shù).要點(diǎn)三、有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘 除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行； (3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、 中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.要點(diǎn)詮釋：(1)有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，并且從高級(jí)到低級(jí)進(jìn)行 運(yùn)算，加減法是第一級(jí)運(yùn)算， 乘除法是第二級(jí) 運(yùn)算，乘方和開方(以后學(xué)習(xí))是第三級(jí)運(yùn)算； (2)在含有多重括號(hào)的

4、混合運(yùn)算中，有時(shí)根據(jù)(3)4(4)343 33533 (6)5(2X3) 22(8) 2X3【答案與解析】3(1) ( 4)( 4) ( 4) ( 4)64 .3(2) 434 4 464 .(3)_ 4-一(3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 81.0；結(jié)一4一 一 一 一一33 3 3 381 .3333327(5)5555125272o(2 3)62 36;(8) 2X32 2 9 18-(-2) 2010【答案與解析】根據(jù)乘方的符號(hào)法則直接判斷，可得：(-2)7運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)；(-3) 24運(yùn)算的結(jié)果55為正；(-1. 0009)2009運(yùn)算的結(jié)果是負(fù)；- 運(yùn)3算的結(jié)果是正；

5、-(-2) 2010運(yùn)算的結(jié)果是負(fù).【總結(jié)升華】“一看底數(shù)，二看指數(shù)”，當(dāng)?shù)讛?shù)是 正數(shù)時(shí)，結(jié)果為正；當(dāng)?shù)讛?shù)是 0時(shí)，結(jié)果是 當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，再看指數(shù)，若指數(shù)為偶數(shù), 果為正；若指數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果為負(fù).n .n【總結(jié)升華】(a)與 a不同，(a)n 1 加北/)4g4 43a 而n【變式】(南充)計(jì)算：(-1) 2009的結(jié)果是A. -l B. 1 C. -2009【答案】A類型三、有理數(shù)的混合運(yùn)算(D.).20094. 計(jì)算an 114 g 4 43a表示a的n次幕的相n反數(shù).舉一反三/， c 1C1- 1- 0.5X- X 232-31 】計(jì)算：(1)(- 4)43(2)2(3) 2 2(2)

6、 -14(4)(- 1.5) 21x 22 -63-3-2(3) 5253(-0.1)(-0.2)2+1-23|(4) (-1.5)2=(-1.5) X(-1.5)=2.25【變式2】比較(-5) 3與-5 3的異同.【答案】相同點(diǎn)：它們的結(jié)果相同，指數(shù)相同；不同點(diǎn)：(-5) 3表示-5的3次方，即(-5) X (-5) X (-5) =-125 ,而-5 3表示5的3次方的相反數(shù)， 即-53=-(5 X5X5).因此，它們的底數(shù)不同， 表示的意義不同.【答案與解析】(1(16)法7)法6(7)=(1 1類型二、乘方的符號(hào)法則.不做運(yùn)算，判斷下列各運(yùn)算結(jié)果的符號(hào).=-1-3)22-(29)-2

7、7=-1-原(7) i原1 2義 29 =-6工,35655(- 2)7, (- 3) 24 , (- 1.0009) 2009 ,311、,-)X(-24)-1-8 =-32-3+66-9=22【答 案】 (1)(- 4)4=(- 4) X (- 4) X (- 4) X (-4)=256;(2)23=2X 2X2=8112011(13 /-2.75) X(-24)+(-1)原式11-+|-8 - 3|-0.0010.04 = -1000-25+11 =-1014【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算，確定運(yùn) 算順序是關(guān)鍵，細(xì)心計(jì)算是運(yùn)算正確的前 提.舉一反三：1C【變式1】計(jì)算：14 (1 0.5)

8、 2 ( 3)23案】 原 式111-(2 9)1-(7)1 -3 66，1c【變式2】計(jì)算：(2)4 ( 4)112【答 案】 原 二11116 ( 4)116124 4 4Q 5.( 2 ) 2003 ( 2 ) 2004( )(A)2(B) ( 2)4007(C)22003(D)22003逆用分配律可得2003200420032003、(2)( 2)(2)1( 2)( 2),所以答案為：C【總結(jié)升華】當(dāng)幾項(xiàng)均為哥的形式，逆用分配律 提出共同的因數(shù)時(shí)，要提指數(shù)較小的哥的形式【變式】計(jì)算：(3 r【答案】(3)73)7( 4)743(4)7 ( 4) ( 3)7類型四、探索規(guī)律C 6.你見過

9、拉面館的師傅拉面嗎？他 們用一根粗的面條，第1次把兩頭捏在一 起抻拉得到兩根面條，再把兩頭捏在一起 抻拉，反復(fù)數(shù)次，就能拉出許多根細(xì)面條， 如下圖，第3次捏合抻拉得到 根 面條，第5次捏合抻拉得到 根面 條，第n次捏合抻拉得到根面條,要想得到64根細(xì)面條，需 次捏合抻 拉.第 1 次 第2次第3次7 哈案】8; 32;2n; 6【解析】由題意可知，每次捏合后所得面 條數(shù)是捏合前面條數(shù)的2倍,所以可得到：第1次：21 2;第2次：22 4;第 3 次：23 8;；第 n 次：2n.第3次捏合抻拉得到面條根數(shù)：23,即8 根；第5次得到：25,即32根；第n次捏 合抻拉得到2n ;因?yàn)?6 64

10、,所以要想得到64根面條， 需要6次捏合抻拉.【總結(jié)升華】解答此類問題的方法一般是：從所 給的特殊情形入手， 再經(jīng)過猜想歸納，從看似雜 亂的問題中找出內(nèi)在的規(guī)律，使問題變得有章可 22003.舉一反三：【變式】(2009 肇慶)已知21 = 2, 22 = 4, 23 =8, 24= 16, 25 = 32,，觀察上面的規(guī)律， 試猜想22008的末位數(shù)字是.【答案】6【鞏固練習(xí)】一、選擇題1 .下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為().對(duì)于任何有理數(shù)my都有m20;對(duì)于任何有理數(shù) m,都有吊=(、2m);2,-4, 8, -16, 32, -64,對(duì)于任何有理數(shù)(m n)20；對(duì)于任何有理數(shù) m都有m3=

11、( m)3.A. 1 B . 2 C . 32.下列說法中，正確的是()A. 一個(gè)數(shù)的平方一定大于這個(gè)數(shù)；B . 一個(gè)數(shù)的平方一定是正數(shù)；C. 一個(gè)數(shù)的平方一定小于這個(gè)數(shù)；D . 一個(gè)數(shù)的平方不可能是負(fù)數(shù).3.下列各組數(shù)中，計(jì)算結(jié)果相等的是().A . -23 與(-2)3 B . -22 與(-2)22 o , 22C. (-)2 與-D.( 2)與 | 2552. 一個(gè)數(shù)的平方等于它本身的數(shù)是數(shù)的立方等于它本身的數(shù)是D. 0 3.3；251 322=； 354.(3)3 32 ( 2)3 25.13 ,1 3 54 .式子的意義是()5A. 4與5商的立方的相反數(shù)B.4 的立方與5的商的相

12、反數(shù)C.4的立方的相 反數(shù)除54 一 、D. -的立方55 . (2010浙江杭州)計(jì)算(-1)2+(- 1)3=()A. -2 B. - 1C. 0 D. 26 .觀察下列等式：71=7, 72 = 49, 73=343, 74 = 2401, 75= 16807, 76 = 117649由此可判斷 7100的個(gè)位數(shù)字是().A. 7 B. 9C. 3 D. 17 .一根1米長的繩子，第一次剪去一半，第二 次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的 繩子的長度為().56B.1米 C.1米22D.一 米2二、填空題1 .在(-2)4中，指數(shù)是,底數(shù)是,在-23中，指數(shù)是,底數(shù)是1 3 5 7

13、 ,從而猜想：1 3 52005 2.1 26. ( 21)2 3三、解答題1 .計(jì)算下列各式：(1)- 23+(3-6) 2-8X(- 1)4;2(2) ( 3)3 2-4 221 ;433(3) ( 5)110,8 ( 2.25) 7 ;(4) 18 1.45 6 3.95 6 9 6 182.已知x的倒數(shù)和絕對(duì)值都是它本身，y、z是有理數(shù)，并且|y 3| (2x 3z)2 0 ,求5x 2yz 皿土一3/一的值.x y 53.探索規(guī)律：觀察下面三行數(shù)，-2,-8,4,-20,28,-68,-1,2,-4,8,-16,32,(1)第行第10個(gè)數(shù)是多少？(2)第行數(shù)與第行數(shù)分別有什么關(guān)系？(

14、3)取每行第10個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和.【答案與解析】一、選擇題1 .【答案】B【解析】錯(cuò)：當(dāng)m為。時(shí)，不滿足；對(duì)； 錯(cuò)：次數(shù)為3,互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次 方的結(jié)果也互為相反數(shù).2 .【答案】 D【解析】一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的大小不定，一， 212112例如：242；而(萬)-；00,從而A, C均錯(cuò)；一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)或 0,即非負(fù)數(shù)， 所以B錯(cuò)，只有DX.3 .【答案】A【解析】-23=-8, (-2) 3= -8.4 .【答案】B43 , 一 【斛析】一表小4的立方與5的商的相反5數(shù)5 .【答案】C【解析】(- 1)2=1, (- 1)3=- 16 .【答案】D【解析】個(gè)位上的數(shù)字每

15、 4個(gè)一循環(huán)，100是 、_25.【答案】1003【解析】1 3 221 3 5 7 42,從而猜想：每組數(shù)中，右邊的哥的底數(shù)a與左邊的最后一個(gè)數(shù)n的關(guān)系2005 (1 200522)1003 .254 91 2(2-)(23解1)2(f)2析499三、解答題1.【解析】(1)- 23+(3-6)2-8X (- 1)4 = -8+9-8=-7;(2) ( 3)3(3)( 5)24221630;1270.8 (2.25)(4) - 59 62181；181.456 3.95 64的倍數(shù)，所以7100的個(gè)位數(shù)字應(yīng)為1.7.【答案】C二、填空題1 .【答案】4 , -2 , 3 , 2,2,2【解析】依據(jù)乘方的定義解答2 .【答案】0,1 ; 0,1,-1;1 43 .【答案】3,-32,27 51415 22.51 15 16 .2.【解析】因?yàn)閤的倒數(shù)和絕對(duì)值都是它本身,所以 x=1,又因?yàn)?|y+3|+(2x+3z)2=0, y+3 = 0 且 2x+3z = 0.所以y=-3.5x 2yz-2Zx y 5所以當(dāng)x= 1時(shí),2x+3z = 0, z5 2(3)2 八、一代入得：34.【答案】-27, 72313 ( 3)2 51 9 533.【