極坐標(biāo)系與參數(shù)方程一輪復(fù)習(xí)(你值得擁有).docx

1、極坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)梳理一、極坐標(biāo)1、極坐標(biāo)定義：M是平面上一點(diǎn)，表示OM的長度， 是MOx,則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì)(,),叫極徑， 叫極角；一般地，0,2 ) ,0 oV COSY2c +口祖士一曲古右八土一 = /八T或2, 的象限由點(diǎn) / v 、八所2、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式：y sin tan y(x 0)( X, y)X在象限確定.二、常見曲線的極坐標(biāo)方程1、圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是 ；(2)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程是 ；(3)圓心在點(diǎn)(a,一)處且過極點(diǎn)的圓。的極坐標(biāo)方程是 。 22、直線的極坐標(biāo)方程(1)過極點(diǎn)且傾斜

2、角為的直線的極坐標(biāo)方程是 ； (2)過點(diǎn)(a,0),且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是 三、常見曲線的參數(shù)方程直線圓橢圓雙曲線拋物線過點(diǎn)(X0 , yo ),傾斜角為圓心在點(diǎn)(a, b), 半徑為f中心在原點(diǎn)，長、短軸分別為2a、2b中心在原點(diǎn)，長y2短軸分別為 2a > 2b2 px(p 0)第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮、平移變換【知識(shí)點(diǎn)】定義1：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：X' x("的作用下，y* y( o)點(diǎn)P(x, y)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P。稱 為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換。定義2：在平面內(nèi)，將圖形F上所有點(diǎn)按照同一個(gè)方向，移動(dòng)同樣長度，稱為圖形

3、F的平移。若以向量a表示移動(dòng)的方向和長度，我們也稱圖形F按向量a平移.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圖形F上任意一點(diǎn) P的坐標(biāo)為(X, y),向量a (h, k),平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P ( x , y ).則有：(x, y) (h,k) (x , y )即有：x x h , y y k X X在平面直角坐標(biāo)系中，由h所確定的變換是一個(gè)平移變換。y y k因?yàn)槠揭谱儞Q僅改變圖形的位置，不改變它的形狀和大小.所以，在平移變換作用下，曲線上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。【典例1 (2014年高考遼寧卷(文)將圓x?+y2 = l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(I)寫出C的參數(shù)方程；(

4、II)設(shè)直線1： 2x+y2=0與C的交點(diǎn)為Pi, P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與1垂直的直線的極坐標(biāo)方程.練習(xí):X1X1x 3xA.TxB.1xC.1D. X3xy 2yy2 .在同一直角坐標(biāo)系中，3y將直線9 yyy 2jx 2y 2變成直線2 x12y y' 4 ,1.將點(diǎn)P(2, 2)變換為點(diǎn)P(6, 1)所用的伸縮變換公式是換公式是則滿足圖象變換的伸縮變3 .在平面直角坐標(biāo)系中將曲線22 按照變換C : x y 1x ' 4x得到的曲線C，的方程為y' 3 y2X cos4.已知曲線Ci :(為參數(shù)).若把曲

5、線Ci上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的一，縱坐標(biāo)y sin2壓縮為原來的4，得到曲線C2 ,則曲線C2的參數(shù)方程為,普通方程為2【典例2】把圓C(x 3)2 (y I)2 4先向下平移1個(gè)單位長度，再向右平移 3個(gè)單位長度后得到圓C2,求圓C2的普通方程。練習(xí)：1 .點(diǎn)P(2, 3)先向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后得到點(diǎn)P'的坐標(biāo)是 O2 .拋物線x2 4y先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 O3 .將曲線C：X2 y2 2x 4 y 。先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移 2個(gè)單位長度后得 到的曲線的方程是。第二節(jié)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化【知

6、識(shí)點(diǎn)】ycos2 X2 y2. 或VSin tan (x 0)x的象限由點(diǎn)（x,y）所在象限確定.練習(xí)一：把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(3) (4.2（4）（三）；（ 5）（6工）26練習(xí)二：把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(6) (1A)4 .(1)(3,/)；（2）（o, g）3(4) (3,0)(5) (3, C)(6)(2, /3)考點(diǎn)二：曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化練習(xí)一：把下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(1)cos2 sin 10 L(2)4 cos(-J 340:(3)4sin(4)2sin(5)4cos2s in(6)4cos（7）直線（8）射線(9)1223cosJ

7、4s in；(10)21 cos注意：極：直線o或射線o直：ykx (或 y kx ( x 0 )或 y kx練習(xí)二：把下列曲線的 直角坐標(biāo)方程化為 極坐標(biāo)方程:(1 ) x y 2 0 : ;(2) y/3 x y 1 :;(3).4 y 1: 4 3x 2 y 6 : ;(5 )22；( )22x y 6x 0 : 6 (x 3) y 4 : ；高考再現(xiàn)1. ( 2013年高考遼寧卷(文)在直角坐標(biāo)系xoy中以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圓Ci ,直線C2的極坐標(biāo)方程分別4sin , cos 272.4(I)求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (H)設(shè)P為C1的圓心，Q為Ci與C2交點(diǎn)

8、連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為x t3 at R為參數(shù)，求a, b的值.y b_t3 122. ( 2014年高考廣東卷(文)在極坐標(biāo)系中，曲線 Ci與C2的方程分別為2 COS2 Sin與cos 1。以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸，建 立平面直角坐標(biāo)系，則曲線 。與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.JI。一% = 1的距離是3. ( 2014年高考陜西卷(文)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)2,一到直線P sin4. (2015年高考湖南卷(文)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為2sin，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為第三節(jié)參數(shù)方程與普通方程

9、互化【知識(shí)點(diǎn)】常見曲線的參數(shù)方程直線橢圓雙曲線拋物線過點(diǎn)(xo , yo ),傾斜角為圓心在點(diǎn)(a, b),半徑 為r中心在原點(diǎn)，長、短軸分別為2a、2b中心在原點(diǎn)，長短軸分別為2a、2by2 2 px（ p o）把參數(shù)方程化為普通方程的常用方法:(1)代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù);(2)三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)，如平方關(guān)系sin 2cos21；(3)整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去。練習(xí)一：把下列曲線的直角坐標(biāo)(普通)方程化為參數(shù)坐標(biāo)方程(1) C :二/ 1 , C :；25 1622X V (2) C : 1， C ：. 9 34(3)

10、C (: x 2)2(yI)24, C : ;(4) C : x2 y24 x2 y11 0 , C : (5) )C : x2 y24 y0 , C : ；3(6)直線1的傾斜角為_，且過點(diǎn)p( 4,2),則1：.4(7)直線1過點(diǎn)M(4, 1),傾斜角為則1： .2練習(xí)二：把下列參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程(普通方程)x 5 2t（DC:（ t ：參數(shù)），C:y 1 2tx 1 112（2） C :廣。為參數(shù)）C; ；y t2x 2 At（3） C :（ t：參數(shù)），C :y 13t5（4） C ： * 2 £os （:參數(shù)），c . y 3 3 sin2cos tWsin t（6）

11、（7）（8）C ： x 5cos （：參數(shù)），C : y 4s inC : X p2 （ p ：參數(shù)）,C :y 2P_4cos / 介跖、 C ： X 3sin（:參數(shù)），C :y 4s in3cos高考再現(xiàn)1 . （2013年高考廣東卷（文）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程。 x 2s 1,2 .（2013年高考湖南（文11）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若直線h :（s為參數(shù)）y sx at, 和直線12 :（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為y 2t 13 . （2013年高考陜西卷（文15）圓錐曲線* l （t為參數(shù)）的焦點(diǎn)

12、坐標(biāo)是y 2t正x= 2+ 2 t,4 . （2014年高考湖南卷（文）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 C：廠（t為參數(shù)）的史y= 1+ 2 t普通方程為.x 4 5cos t5 . （2013年高考課標(biāo)I卷（文）已知曲線Ci的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以y 5 5sin t坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2s in（I）把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程II求與 交點(diǎn)的極坐標(biāo)Cl;（） Cl C2（0,02 ）.6.（2014年高考新課標(biāo)卷2 （文）在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C的極坐標(biāo)方程為ji2cos '

13、76; G 0，2 一求c的參數(shù)方程；（D ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線1： y= Ux+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).7. （2015年高考廣東卷（文）在平面直角坐標(biāo)系 x y中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線Ci的極坐標(biāo)方程為cos sin 2 ,曲線C2的參數(shù)方程x t2為 _ （t為參數(shù)），則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為一.y 2如第四節(jié)極坐標(biāo)和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一：曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值問題常用參數(shù)方程和三角恒等變換的知識(shí)解決。步驟：（1）利用曲線的參數(shù)方程把曲線上的動(dòng)點(diǎn) P的坐標(biāo)設(shè)出來；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出曲線上

14、的動(dòng)點(diǎn)P到直線1的距離d；b（3）利用輔助角公式 a sin x b cos x sin（ x ）（其中 tan ），把第（2）a步求出的距離d的右邊化為d I Asin（ xpJ （ t 0 ）的模式。t（4）利用三角函數(shù)的有界性求出距離 d的最值?！镜淅?】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為X ' a，'（為參數(shù)），在以原y sin點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 Sin（ -） 4/2 o4（I）求曲線Ci的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（n）設(shè)p為曲線ci上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)p到c2的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn) p的坐標(biāo)。(II)

15、P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).考點(diǎn)二：標(biāo)準(zhǔn)直線參數(shù)方程中參數(shù) t的幾何意義【知識(shí)梳理】若X xo at (t ：參數(shù))已是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，即2 21： y y0 bt a b 1 ,且 1 和曲線 C(圓、橢圓、拋物線)交于A、B兩點(diǎn)，則：把1中的x、y代入曲線 C的直角坐標(biāo) 方程，整理 at2 bt c 0 (其中，P(x ,y)； t、t為方程、的兩根(即、口兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t、t ) 0012()A12btl t2 ，-Caa由(的幾何意義，得:公式1:長度之積：I PA II PB I I tit J ；，式2: 長度之和：I PAI I PB I I

16、ti t 2 1( ac 0 )；或 I P A I I PB I I ti t2 I J (h t2 )2 4tit2 ( ac 0 ：；公式3: 弦長I AB I Iti t2l /itz4t3 ；但若是 和圓可不用此公式，而用h .I AB I 2.2 cP 更簡單;說明：上述合聲中的兩條線段為1所過的點(diǎn)M(P,A,QL)分別和曲線C兩交點(diǎn)|A, B(M,NL)的連線段；公式4:線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t史t,【典例】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線1的參數(shù)方程為2(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系75 At(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點(diǎn) O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為

17、2 5 sirtT(I )求圓C的直角坐標(biāo)方程；(II )設(shè)圓C與直線I交于點(diǎn)A、B,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (3,6，求一L 的值.I PAI I PB I練習(xí)：1,已知過點(diǎn)P ( 3,1)的直線1: x 3 t與曲線C: x 4cos交于A、B y 1 ty 4s in兩點(diǎn)，求 I PAI I PB I , I AB I ；Y2.經(jīng)過點(diǎn)M (2,1)作直線1,交橢圓_2416 4中點(diǎn)，求直線1的方程。1于A、B兩點(diǎn)。如果點(diǎn)M恰好為線段AB的xOy中，已知直線 1的參數(shù)方程為3. (2014年高考江蘇卷(文)在平面直角坐標(biāo)系電= 123正y=2+ 2 t(t為參數(shù))，直線1與拋物線y2=4x相交于A

18、, B兩點(diǎn)，求線段AB的長.考點(diǎn)三：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題求曲線的極坐標(biāo)方程的方法和步驟：建、設(shè)、限、代、化(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè) M(,)是一曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角 之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線上的極坐標(biāo)方程；(4)證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程.2cos t ”,【典例】(2013年高考課標(biāo)H卷(文)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:X(t為參數(shù))上,y 2sin t對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t 2 (02 ),M為PQ的中點(diǎn).(I )求M的軌跡的參數(shù)方程；(II)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為 的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否