高中數(shù)學(xué)圓錐曲線重要結(jié)論總結(jié)

1、圓錐曲線重要結(jié)論1 .點(diǎn)P處的切線PT平分 PFi F2在點(diǎn)P處的外角.2 . PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.225.若Po(Xo,yo)在橢圓與+與=1上，則過Po的橢圓的切線方程是 x2x+M2y =1. a ba b226 .若Po(Xo,yo)在橢圓 + 2r=1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 x2x+當(dāng)y = 1.a ba bx2y227 .橢圓+q=1 (a

2、>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn) /FFF2=¥，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為際產(chǎn)2 = b2 tan.a b1 2222x y8 . 橢圓二十%=1 (a>b>0)的焦半徑公式： a b|MF1| = a e% JMF2尸a-ex ( F1(-c,0) , F2(c,0) M (x°, y°).9 .設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.10 .過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的

3、頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MF ± NF.22b211 . AB是橢圓xy+*=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，”(*0,丫0)為人3的中點(diǎn)，則koM ab = -二，aba即Kab_b2xo一 2a y。雙曲線1 .點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2 . PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4 .以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)225.若Po(Xo,yo)在雙曲線 與4=1 (

4、a>0,b>0)上，則過P。的雙曲線的切線方程是 粵岑 =1. a ba b226.若Po(Xo,yo)在雙曲線 與一4=1 (a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pr P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 安一岑a ba b227.雙曲線 一1=1 (a>0,b>。)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)/F1PF2 =¥，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為a bc.2，S.F1PF2 - b cot 2 .22. X y8 .雙曲線 三一二=1 (a>0,b>o)的焦半彳5公式：(F1(一c,0) , F2(c,

5、0) a b當(dāng) M (Xo, yo)在右支上時(shí)，| MF1一ex +a ,| MF?-ex -a.當(dāng) M (Xo, yo)在左支上時(shí)，| MF11 =飛Xo + a, | MF21= e% a9 .設(shè)過雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則MFXNF.10 .過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M, A2P和A1Q交于點(diǎn)N,則MFLNF.11.12.13.22AB是雙曲線一2" 一匕a2 b2若Po（xo, y0）在雙曲線二

6、1（a>0,b>0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M （Xo, y0）為AB的中點(diǎn)，則224=1 （a>0,b>0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是 a bKOMxox yoy _a2 一 b2 一b2Xo KAB = 2a v。22X。y。-2 -；.abb2x。-2a vo2222若Po（Xo,y。）在雙曲線、與=1 （a>0,b>。）內(nèi)，則過Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 三=窖-姆 a ba b a b橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-橢圓22, 一 x y1 .橢圓+2 =1 （a> b> o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（a,。），A2（a,。），與y軸平行的直線父橢

7、圓于 a b222.過橢圓 與+匕=1 （a>ab>。）上任一點(diǎn)A（xo,y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于a b22P1 P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 與一當(dāng)=1 . a bb2xB,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBc=B （常數(shù)）. a Vo3.若P為橢圓22xy=12, 2ab（a>b>。）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2 是焦點(diǎn) , PF1F2 a - c:工1：,/PF2F1 = P ，貝U= tancot.a c224.22一 .一 x y .設(shè)橢圓=1 （ a> b >。） a b的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P （異于長軸端點(diǎn)）為

8、橢圓上任意一點(diǎn)，在 PF1 F2中，記 F1PF2 二二/PF1F2 =P，/F1F2P =不，則有sin 二c：=e.sin - sina225.若橢圓與+4=1（a>b>。）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)Ovew J2 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PF是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)a2 b2線距離d與PF2的比例中項(xiàng)22x y6.P為橢圓 +彳=1 (a>b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 2a|人52代下人| 十下522+小巳|,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2, P a b點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立7.橢圓(x -x。)2(y - y0)2+ - 2。)= 1

9、與直線Ax + By + C = 0有公共點(diǎn)的充要條件是 b22 2_22_2A a B b _ (Ax。 By。 C).8. x已知橢圓a2+ )=1 (a> b> 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且 b211OP_LOQ. (1) 2 +2|OP|2 |OQ |211=-2 +-2 ； (2)a2b2|OP|2+|OQ|2 的9.10.4a2b2最大彳1為 萼二；(3) SaPQ的最小值是 a b22一 x y過橢圓 +22 =1 (a>b>0)的右焦點(diǎn) a b22x y已知橢圓一2+2"=1 ( a>b>0),A、a b2, 2a

10、 b22 .a2b2F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn),弦MN的垂直平分線交x軸于P,B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(Xo,0),皿 |PF | e貝U二一|MN | 22,2a -b2,2a - b:二 Xo：二2211.設(shè)P點(diǎn)是橢圓 二十彳=1 ( a>b>0)上異 于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) a2b22b2,F1、F2 為其焦點(diǎn)記 /F1PF2=8 ,則(1)|PF111PF2|= .(2)1 COSFS PF1F2 =b tan.22/ PBA= P / BPA =尸，c、e分別是橢圓的半焦距x y12.設(shè)A、B是橢圓 二十=1 ( a>b>0)

11、的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)， /PAB=aa2 b22ab2 | cos - |：22a2b2離心率，則有(1)|PA| = -222 .(2) tan ： tan - =1-e .(3) S-PAB = -2 cot .a -c cosb -a22x y一八一13 .已知橢圓=+2r=1（ a>b>0）的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC_Lx a b軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢

12、圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16 .橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .）17 .橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-雙曲線X2 y21 .雙曲線 -=1 （a> 0,b>0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（a,0） ,A2（a,0）,與y軸平行的直線交雙曲線于R、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是a b222.過雙曲線x2 -

13、2=1 (a>0,b>o)上任一點(diǎn)A(xo,y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于 a bB,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBCb2%2a V。，,一 ，x yc-a ：工 P3 .若P為雙曲線 二 = 1 (a> 0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是焦點(diǎn)，/PF1F2=a, /PF2F1 = P，則=a -tco a2 b21 221 c a 22c -a(或=tan cot一).c a 22x2 y24 .設(shè)雙曲線二一22=1 (a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P(異于長軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，

14、記NF1PF2=ot ,a bsin .3 cNPF1F2 = P ,NF1F2P = ¥ ,則有e- = 一 =e.-(sin -sin：) a22_5 .若雙曲線xy匕=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,則當(dāng)1vewJ2十1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF是a bP到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng)226 .P為雙曲線 與一,=1(a> 0,b>0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則| AF2| -2a M| PA | + |PF1| ,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)a b共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成

15、立2x7. 雙曲線-2"a8.已知雙曲線2 y b22xa12 22. 22=1 (a>0,b>0)與直線Ax + By+C =0有公共點(diǎn)的充要條件是 A a -B b <C .b2=1 (b>a >0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且 OP_LOQ.9.過雙曲線10.|OQ|2已知雙曲線2 y_ b22x 一a22a2 b2Xo a.2.22. 2二二；(2) |OP|2+|OQ|2的最小值為 1-;(3) S*pq的最小值是 一a-.2 2 2 2 2 2a bb - ab - a |PF | e=1 (a>0,b>0)的右焦

16、點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 x軸于P,則=-.| MN | 2222ya b ,三=1 (a>0,b>0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 x軸相交于點(diǎn) P(x0,0),則x0之或ba11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線y22b24=1 (a> 0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2為其焦點(diǎn)記/FFF2=8 ,則(1) | PFi |PF2 |= .(2)b1 - cos12.c.2，S.PF1F2 =b cot&.2x設(shè)A、B是雙曲線xy a2 y b2=1 (a>0,b>0)的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上

17、的一點(diǎn)，/PAB=u , /PBA = P，/BPA = ¥, c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(2) tan 二 tan : =1 - e2 .(3)2 .2ab | cos - |(1)|PA尸廠22.| a - c cos |2, 22a bS. PAB -，22 cOtb a13.22x y已知雙曲線一2-f=1 (a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l與x軸相父于點(diǎn)E,過雙曲線右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相父于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線la b上，且BC _Lx軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14 .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與

18、相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15 .過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16 .雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) ）.17 .雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18 .雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)圓錐曲線問題解題方法題,圓錐曲線中的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)、采用多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅

19、速、準(zhǔn)確解 還須掌握一些方法和技巧。.緊扣定義，靈活解題 靈活運(yùn)用定義，方法往往直接又明了2一 一， 2 y ,例1.已知點(diǎn)A (3, 2), F (2, 0),雙曲線X -L- = 1 , P為雙曲線上一點(diǎn)。71.求|PA|+一|PF|的最小值。2解析：如圖所示,臼雙曲線離心率為2, F為右焦點(diǎn)，由第二定律知_1 _5. |PA| | PFU PA| |PE| 一 AM =' 22二.引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2.求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線回的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線屏的距離為p (定值)，橢圓中心坐標(biāo)為

20、M (t, 0) (t為參數(shù))p p =,而|c= t|c.2,二 b = pc = pt產(chǎn)設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)1標(biāo)為 P (x, y),則X =C = t< y = b = q pt. 一一 、一 2 消去t,得軌跡方程 y = px三.數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常 能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。y yy 3例3.已知x, y = R ,且滿足萬程 x2 + y2 =3（ y至0）,又m =-,求m范圍。 x + 3y 322解析： m的幾何意

21、義為，曲線|x-y2 =3（y之0）|上的點(diǎn)與點(diǎn)（3, -3）連線的斜率，如圖所示k PA - m 一 k PB3-323 .5三m 四.應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問題就會(huì)迎刃而解例4.已知圓（x3）2 +y2 =4和直線區(qū)三mx的交點(diǎn)為P、Q,則|OP|OQ/勺值為 解：卜 1OMP AOQN |OP|OQ|=|OM|ON| = 5五.應(yīng)用平面向量，簡化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識(shí)的有力工具。-22,當(dāng)點(diǎn)p在m上移動(dòng)時(shí)，求例5.已知

22、橢圓：3-十工=1,直線同：十'=1, P是同上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于一點(diǎn)R,點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|OP| = |OR|2241612 8點(diǎn)Q的軌跡方程。解：如圖，OQ, OR, OP共線，設(shè)OR = KOQ ,N H H 2|OQ|QP|：|OR| TT二 N|OQ|2 =，/|OQ|2二 N =九2丁1點(diǎn)r在橢圓上，p點(diǎn)巳直線U上口2 2 口2 2IIII九x九y收 N+ =1,二 +，= 12416| |12822x . yx , y即十=十 一2416128OP = >OQ , OQ = (x, y),則 OR= (%x, *y) , OP = (%, Ny)分析：考

23、生到此題基本上用的都是解析幾何為，給解題帶來了很內(nèi)的難度，而如向量共線的條件e可簡廠地解出。_三 三 ttt?；喺淼命c(diǎn)Q的軌跡方程為:(直線2y 一 x3上方部分)22（x二 1）. （y二 1）5523六.應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運(yùn)用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。_，、一，一一 22_22_ _：T-I例6.求經(jīng)過兩圓x +y +6x4=0和x +y + 6y 28 = 0的交點(diǎn)，且圓心在直線 x y 4 = 0上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：-2222x 十 y 十 6x4 + Mx +y +6y28) = 0.2-

24、2-(1 + J)x2 +(1 +4)y2 +6x +6色 (28y4)二033 九；ki .則圓心為(,)，在直線x y4 = 0上'1 + ,1+/|I，廨得九=-72 .2. _故所求的萬程為x +y x+7y32=0七.巧用點(diǎn)差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采用點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7.相交于兩點(diǎn)<2> <1>得P1、P2,求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程。,y o 1又 kAM =，而 Pi、A、M、P2共線xo -2解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題,1個(gè)填空題,1個(gè)解答題)，共計(jì)30分左右，考查的知識(shí)

25、點(diǎn)約為20個(gè)左右.其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查.選擇題和填空題考查直線，圓，圓錐曲線，參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí).解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)，這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.例1 已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t 半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 .(0<t<1),以AB為直腰作直角梯形 AA'B 'B，使AA'垂直且等于AT,使BB '垂直且等于BT, A'B'交(1)寫出直線 AB

26、'的方程；(2)計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；(3)證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng) AB反射后，反射光線通過點(diǎn) Q.講解：通過t圖，看出A , B點(diǎn)的坐標(biāo).(1 )顯然 A(1,1 -t ), B (-1,1 +t )于是直線 A 'B '的方程為y = tx+1 ；(2)由方程組2y-tx1,P(0,1)、Q(2t1 -t2t2-t2(3) k ptk QT-t22t1 t22t(1 -12)由直線PT的斜率和直線 QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)反射，反射光線通過點(diǎn) Q.需要注意的是，Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式，有趣嗎？22例2已知直線l與橢圓 =1(a &

27、gt; b > 0)有且僅有一個(gè)交點(diǎn) Q,且與x軸、y軸分別交于R、S,求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程. a2 b2講解：從直線l所處的位置，設(shè)出直線l的方程，由已知，直線l不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線 l的方程為y = kx+m(k#0).代入橢圓方程 b2x2 +a2y2 =a2b2,得b2x2+a2(k2x2+2kmx+m2) =a2b2.化簡后，得關(guān)于 x 的一元二次方程(a2k2 +b2)x2 +2ka2mx+a2m2 a2b2 =0.2、22 222 22 22,2 2,222、十 te 其利力 式.：=(2ka m) -4(ak b )(a m

28、-ab)=4ab(ak b -m).由已知，得 =0.即a2k2+b2 =m2.在直線方程y =kx+m中，分別令y=0 , x=0 ,求得r(_ ,0), S(0,m).k '''令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由已知，得m : y x , kk解得( xy = m.m = y.代入式并整理，得2.2a- +2 =1,即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程.22x y=1形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能畫出它的圖形嗎？例3已知雙曲線b2一 2 3=1的離心率e = ，過A(a,0), B(Qb)的直線到原點(diǎn)的距離是 3.3(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y =kx+5(k ¥0

29、)交雙曲線于不同的點(diǎn) C, D且C, D都在以B為圓心的圓上，求k的值.abab 3講解：( 1)J = 2 73 原點(diǎn)到直線AB :'=1的距離d =2 2 . . 2' =,a b c 2a 3a bb = 1, a = 3 .故所求雙曲線方程為-y 2 =1.(2 )把y = kx +5代入22_ _x2 3y2 =3 中消去 y,整理得(1 3k )x -30kx-78 = 0 .設(shè)C(x1, y1), D(x2,y2),CD 的中點(diǎn)是 E(x0,y0),則x1x215 k5 yo 11xo 二二r y。= kx。5 =r , kBE =-21 -3k1 - 3kx。k

30、15 k5k ,，二 x0 +ky0 +k = 0,即2- + 2- + k01 - 3k 21 - 3k 2故所求k= ± J7為了求出k的值，需要通過消元，想法設(shè)法建構(gòu)k的方程.例4已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn) Fi、F2在X軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/ F1PF2的最大值為90° ,直線1過左焦點(diǎn)Fl與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，AABF2的面積 最大值為12 .(1)求橢圓C的離心率；(2)求橢圓C的方程.講解：(1)設(shè) | PF1 | = r1,| PF2 |=r2,| F1F2 |=2c,對(duì) APF1F2,由余弦定理，得r11 r22 -4c2(r1 r2)2 -

31、2r1r2 -4c2cos. F1PF222122124a2 -4c22酬24a2 - 4c2r1r22( J_2 2-1)2解出e二 2(2)考慮直線l的斜率的存在性，可分兩種情況:i)當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)1的方程為y = k( x + c)222a =2c ,b于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為2 y2 -2c2 =0將代入，消去y得整理為X的一元二次方程，得2k2 (X c)2 -2c2 =0,22222(1 2k )x 4ck x 2c (k-1) =0.則Xi、X2是上述方程的兩根.且| X2 -Xi 尸2 2c 1 k21 2k2| AB |= 1 - k2 | X2 -X1 匚也可這樣求解：242c

32、(1+k2),15二”尼| yy2|二c| k | |X1 X2 |AB 邊上的高 h =|F1F2|sinZBF1F2 =2cM |k| .1 k22i 1cc/1k2、 |k I cS 2 2a2)2c212k i k2=2岳2 UJ1 =2標(biāo)2舊/=20j I，夜c 24 k4 k2ii）當(dāng)k不存在時(shí)，把直線 x = -c代入橢圓方程得 y =±Y2c,| AB |= J2c, S =J2cM J2c2 22由知S的最大值為J2c2由題意得；2c2=12所以c2 =6瓢=b2a2 =12;2故當(dāng) ABF 2面積最大時(shí)橢圓的方程為：x2y2I .12.2 6 2下面給出本題的另一

33、解法，請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：x = myc（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）22橢圓的方程為：。WfAgyOBM"） a b由e=、2.得：a2 =2c2,b2 =c2,于是橢圓方程可化為：x2+2y22c2=02把代入并整理得：（m2 _2）y2 _2mcy -c2 =0于是y1, y2是上述方程的兩根.I AB 1= J(X -X2)2+(yy2)2 =，彳m21 y2 y | 一近近三(ZU) ;隹匕m) m2 - 2m2 2AB邊上的高h(yuǎn)=2c ,1 - m21 2 2c(1 m2)2c2m2 21 m2=2 2 c2二2、Ec2

34、 '1- <v'2c2.m2 -1 - J二2m2 - 1當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即Smax=J2c2.由題思知 V2c之=12,于是 b2 =c2 =6%2, a2 =12 v12 .22故當(dāng) ABF2面積最大時(shí)橢圓的萬程為：x + y1.12、2 6 222xy例5已知直線y =x+1與橢圓 F + =1(a >b > 0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l : x 2y = 0上.(i)求此橢圓的離心率; ab22.(2)若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x +y =4上，求此橢圓的方程y - -x 1,講解：(1)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A

35、(x1,y1),B(x2,y2).則由 x2 a2 £=1 b2(a2 b2)x2 -2a2x a2 -a2b2 =0, . 、 一2a2根據(jù)韋達(dá)定理，得 x1 . x2 = 22a 2 , y1 a b2b2Xi x2) 2 =2u2. a b、二線段 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為( -2,i廠).a2 b2 a2 b2由已知得2a2 b22b22222-0,. a2 -2b2 =2(a222222-c ),-, a =2c ,故橢圓的離心率為 e = 2(2)由(1)知 b=c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),設(shè)F (b,0)關(guān)于直線l : x - 2 y = 0的對(duì)稱點(diǎn)為(x0, y0

36、),則y0 - 0 1 l x0 by0-一 = 1 且一0- -2x = 0,解得X0 - b 23, 口 4,x0 = b且 y0 = b55由已知得y2 =4,. (3b)2 +(4b)2 =4二b2 = 4,故所求的橢圓方程為 55已知。m： x2+(y2)2 =1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QAQB分別切。(1)4、2如果| AB |=,求直線MQ的方程;3(2)求動(dòng)弦ABI1 .B兩點(diǎn),的中點(diǎn)P的軌跡方程.一 一 4、. 2講解：(1)由| AB |=,可得3|MP|= ,|MA|2 -()2 = 12-()213,影定理，得RtAMOQ 中,A| MB |2=| MP | | MQ |,

37、得 | MQ |= 3,在|OQ|二 J MQ |2 -| MO |2 =V32 -22 =45 ,故 a =用或a = V5 ,所以直線 ab 方程是 2x + J5y 2，5 =0或2* ，5丫+2，5 =0;、_ 口 2 y - 2(2)連接mb, mq,設(shè)P(x,y),Q(a,0),由點(diǎn)m, p, Q在一直線上，得 =-，(*)一 a x由射影定理得 | MB |2 =|MP | | MQ |,即 xx2 +(y-2)2 Va2 +4 = 1, (*)27 21 z 八、把(*)及(*)消去a,并注意到y(tǒng) <2,可得x2 +(y-)2 = (y 02).416適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)

38、，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙2如圖，在 RtAABC 中，/ CBA=90 ° , AB=2 , AC=。DO ±AB 于。點(diǎn)OA=OB , DO=2 ,曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |的值不變.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線 E的方程;(2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn) M、N且M在D、N之間，設(shè) W-=九，試確定實(shí)數(shù) 九的取值范圍.DN講解：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:i軌跡是橢圓< a = J2,b =1,c =1 曲線E的方程是(2)設(shè)直線L的方程為 y =kx +2，代入曲線2y2 =12PA |+| PB |=| CA22E的方程x +2y2 2_ 2 . >22_ _ 一 一y=+、22 + ()2 =2守 2：動(dòng)點(diǎn) p 的2222(2k +1)x +8kx + 6=0 設(shè) mi(為 yjN(x2，y2),則_2.: =(8k