高考一輪復(fù)習(xí)正態(tài)分布

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第7講正態(tài)分布【20XX年高考會(huì)這樣考】利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】掌握好正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)，尤其是其中的參數(shù)四的含義，會(huì)由其對(duì)稱性求解隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率.基礎(chǔ)梳理1.正態(tài)曲線及性質(zhì)正態(tài)曲線的定義一、,1x 口2函數(shù)如外)=不一2 2 ,V2 Tt(T2XC ( 00, +00),其中實(shí)數(shù)以和60)為參數(shù)，我們稱 如x)的圖象(如圖)為正(1)正態(tài)分布的定義及表示公書布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.如果冽才任何2察a, b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X&b)= b正態(tài)曲線的解濟(jì)式2.回撤樹d變串蛔久

2、健吸Q再曲價(jià)Xfe (記明 用多.)21廊態(tài)山林御印灘殊區(qū)聞加以喊蛔微理數(shù).網(wǎng)P(或中海X兩命參數(shù)上0.682 %其中以可取任意實(shí)數(shù)，o>0這是正態(tài)分布的WP(W2V<X< 葉2(yA0.954 4;稀P(我1加育X小*3為A0997務(wù)面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式, 212調(diào)2幕指數(shù)為專產(chǎn).六條性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)1 X J正態(tài)曲線強(qiáng)(x) = fe- 'o' 2 ', X爪有以下性質(zhì): 42.迪 2立 (1)曲線位于 X軸上方，與 X軸不相交； (2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x= 對(duì)稱;(3)曲線在x= 口處達(dá)到峰值 (4)曲線與x軸圍成的圖形的

3、面積為 1;(5)當(dāng)。一定時(shí)，曲線隨著 u的變化而沿x軸平移;(6)為一2二定叱一曲線的形狀由一一"確定,一口越小曲線越一二瘦高二一表丞總他的分一 布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概 率.落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù).f(x)的圖象,且f(x)卡雙基自測(cè)1. 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)x10解析 二尸2,由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于 x=2對(duì)稱，于是人 ，上八 一I,)土十一,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是8A. 10 與 8 B.

4、10 與 2 C. 8 與 10D. 2 與 101x 10 21x_ J解析由府一8二星T,可知戶2,尸10.答案 B2. （2011湖北）已知隨機(jī)變量 己服從正態(tài)分布N（2,，），且P（4） = 0.8,則P（02）等于（）.A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3D. 0.2解析 由 P(&4) = 0.8 知 P(E>4)=P(0) = 0.2, 故 P(0< & 2) = 0.3.故選 C.答案 C3. (2010廣東)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(2&X&4) = 0.682 6, 則P(X>4)等于().A. 0.

5、158 8 B. 0.158 7 C. 0.158 6 D. 0.158 51解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，.P(X>4) = 0.5 51_P(2< X0 4) = 0.5 2 X 0.682 6= 0.158 7.故選 B.答案 B4. (2010山東)已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(0,)，若P(X>2) = 0.023,則 P( 20*02)等于().A. 0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977解析 P( 2<X<2) = 1-2P(X>2) = 0.954.答案 C5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2

6、,9),若P(X>c+ 1)=P(X<c 1),則c等于().c+ 1 + c 1A. 1B. 2C. 3D. 4=2, c=2.答案 B考向一正態(tài)曲線的性質(zhì)【例11 ?若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為_1_4叵n .(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(一4,4的概率.審題視點(diǎn)要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中 的兩個(gè)參數(shù)內(nèi)6的值，其中以決定曲線的對(duì)稱軸的位置，6則與曲線的形狀和 最大值有關(guān).解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于 y軸對(duì),1,11稱，即 尸0.由亞=-=亞4，得

7、 戶4,故該正態(tài)分布的概率餐'度函數(shù)的解析式+ 0° )1X.，冊(cè) *)= 427.32, XC(一°°, P( 4<X04)=P(04<X00 + 4)=P(廠(<X< 葉 4=0.682 6.解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響.【訓(xùn)練1】 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（曲，軟d>0）和N（窿，2）（2>0）的密度函數(shù)圖象 如圖所示，則有（）.A .血 % d <（2B.世 < 陛，d> 2C.在> 凡 d< 2D .以 > 陛，d

8、> 2解析 根據(jù)正態(tài)分布 N（內(nèi)（2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x= N 對(duì)稱，在x=仙處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較 平緩；反過來， 越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選 A.答案 A考向二 服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】?設(shè)*N(1,2 解析 由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以P(E>2)=P(0)=0.3, P( 2)=10.3=07答案 0.7考向三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】？20XX年中國(guó)汽車銷售量達(dá)到1 700萬輛，汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種

9、型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量 朗艮從正態(tài)分布N(8,婿)， 已知耗油量氏7,9的概率為0.7,那么耗油量大于9升的汽車大約有 輛.審題視點(diǎn)根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解.解 由題意可知 1N(8, 9),故正態(tài)分布曲線以 尸8為對(duì)稱軸，又因?yàn)镻(7 0口 9) = 0.7,故 P(7< m 9) = 2P(80 m 9) = 0.7,所以 P(8< &C9) = 0.35,而 P(筍 8) = 0.5,所以P(0 9) = 0.15,故耗油量大于9升的汽車大約有1 200X0.15= 180)

10、,試求P(1<X03);(2)P(3<X<5);(3)P(X>5).審題視點(diǎn)將所求概率轉(zhuǎn)化到(四(T,四+ d.(四2 0；葉2 d或1 3(T,葉3寸上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解.解 XN(1,22),尸 1,戶2.P( 1<X< 3)= P(1 2<X< 1 + 2)=P(廠(<X< 葉 4=0.682 6.(2) = P(3<X< 5)=P(-3<X<- 1),1P(3<X< 5)=尹(一3<X 0 5) P( 1<X 0 3)1= P(1 -4<X< 1+

11、4) P(1-2<X< 1+2)1= 2P( 1- 2(<X0 四+ 2 ) P(1 c<X0 (Jrk ()1=2X (0.954 4-0.682 6)= 0.135 9.(3)P(X>5) = P(X0 3), 1P(X>5)=21 -P(-3<X<5)1= 21-P(1-4<X<1+4)1= 21 P(四一2 X< 什 2譏求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū) 間上.【訓(xùn)練2】 隨機(jī)變量己服從正態(tài)分布N(1, (2),已知P( 0)=0.3,則P( 2).輛

12、.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正X1 + X2態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)PG> X1)=P( X2)時(shí)必然有一=也這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論.【訓(xùn)練3】工廠制造的某機(jī)械零件尺寸 X服從正態(tài)分布N 4, 9 ,問在一次正常 9的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？一 一 11解 XN 4, 9 , 尸4, 0= 3.不屬于區(qū)間(3,5的概率為P(X< 3) + P(X>5) = 1 P(3<X< 5)= 1-P(4-1<X<4+ 1)

13、=1 P(廠 3o<X< 葉 3 )=1 0.997 4= 0.002 6= 0.003, . 1 000X 0.003= 3(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè).閱卷報(bào)告19正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤【問題診斷】 正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然 不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一 個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計(jì)算錯(cuò)誤.【防范措施】 對(duì)正態(tài)分布N（內(nèi)2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透 徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為 9而不是仿同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六 條性質(zhì).【示

14、例】？已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N（116, 64）,則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為（）.A. 0.3%B. 0.23%C. 1.5%D. 0.15%錯(cuò)因（1）不能正確得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)內(nèi)6導(dǎo)致計(jì)算無從下手.（2）對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).實(shí)錄同學(xué)甲 A同學(xué)乙 B同學(xué)丙 C正解 依題意，匹=116,戶8,所以p 3 <3= 92,葉3 <3= 140,而服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量在（廠3偽 葉3/內(nèi)取值的概率約為0.997,所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間（92,140） 內(nèi)的考生所占百分比約為99.7%,從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為199 7%1 99