熟練運用旋轉(zhuǎn)解決平面幾何中的問題

1、熟練運用旋轉(zhuǎn)解決平面幾何中的問題平面幾何的證題方法多種多樣利用旋轉(zhuǎn)來解決平面幾何問題，有時能收到事半功倍的效果 例 圖1中以ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形ABDE及正方形ACFG，連結(jié)BG、CE 求證：(1)BG=CE；(2)BGCE分析：一般的證法是證明ABG與AEC全等，然后應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)。而如果采用旋轉(zhuǎn)，則可以如下證明：由已知可知，點E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°為點B，點C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°為點G，從而知線段EC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°為線段BG，故有BG=CE，BGCE本文將從最常見的兩種旋轉(zhuǎn)出發(fā)，談?wù)勑D(zhuǎn)在平面幾何中的應(yīng)用。一、按旋轉(zhuǎn)的角度進

2、行區(qū)分 1、90°角旋轉(zhuǎn) 例1 如圖2，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD的BC、CD上的點，且CEF的周長是2求EAF的大小。解：將ABE繞點A作逆時針旋轉(zhuǎn)90°，則AB邊與AD邊重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)后EE，由條件CEF的周長為2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且顯然有BE=DE，故CE+ CF+FE=2從而必有EF=FE，又AE= AE，AF=AF，故AEFAE'F，EAF=E'AF，又從作圖知EAE=90°，故EAF=45°。例2（北京東城2010年上學期期末）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，若PA=a，PB=2

3、a，PC=3a(a0)，求:(1)APB的度數(shù);(2)正方形ABCD的面積 分析:三條已知的線段PA、PB、PC具有一個共公頂點，且它們不能構(gòu)成三角形但是當把ABP按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，即會出現(xiàn)等腰直角三角形，于是PA旋轉(zhuǎn)后的線段與PC構(gòu)成了一個新的三角形解:(1)將ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得CBQ則ABPCBQ且PBQB于是PB=QB=2a，PQ=2a在PQC中，PC2=9a2，PQ2QC2=9a2PC2=PQ2QC2 PQC=90°PBQ是等腰直角三角形，BPQ=BQP=45°故APB=CQB=90°45°=135&#

4、176;(2)APQ=APBBPQ=135°45°=180°，三點A、P、Q在同一直線上在RtAQC中，AC2=AQ2QC2=(a2a)2a2=(104)a2故S正方形ABCD=AC2=(52)a2思考 例2中，如果把CBP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得ABM，怎樣解以上問題?(答:(1)PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得APM=90°(2)過點B作BNAP，垂足為N則PN=BN=，于是在ABN中可求出邊長AB的平方，即得正方形的面積) 2、60°角旋轉(zhuǎn) 例1 如圖3，分別以ABC的邊AB、AC為一邊向外作等邊三角形ABD

5、及等邊三角形ACE。連結(jié)BE、CD。設(shè)M、N分別是BE、CD的中點。求證：AMN是等邊三角形。 證明：由條件可知，ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°為ABE。即線段CD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得BE中點M，故AN=AM，NAM二60°，即AMN是等邊三角形。 例2 如圖4，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=4，PC=5求APB的大小。 解：將APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，由ABC為等邊三角形知，此時所得新三角形邊與AB重合。設(shè)P旋轉(zhuǎn)后為P，則APP的邊長為3的等邊三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=PB2從而P&

6、#39;PB是以PPB為直角的直角三角形，從而APB=APP+P'PB=60°+90°=150°。例3 如圖，在凸四邊形ABCD中，ABC=30°，ADC=60°，AD=DC證明:BD2=AB2BC2分析:所證結(jié)論即是三條線段BD、AB、BC能構(gòu)成一個直角三角形因此需利用圖形變換把它們集中到一個三角形中證:連接AC AD=DC，ADC=60°，ADC是等邊三角形故將DCB繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時可得ACE連接BE于是DCBACE且CB=CE，BCE=60°BCE是等邊三角形，BC=BE，CBE=60&#

7、176;ABC=30°， ABE=90°故AB2BC2=AB2BE2=AE2=BD2練習已知：如圖，M是等邊ABC內(nèi)的一個點，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：ABC的邊AB的長度。3、旋轉(zhuǎn)到特殊位置例1 如圖，在ABC中，ACB=90°，A=25°，以點C為旋轉(zhuǎn)中心將ABC旋轉(zhuǎn)角到A1B1C的位置，使B點恰好落在A1B1上求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分析:將ABC旋轉(zhuǎn)到點B落在A1B1上的特殊位置時，即確定了旋轉(zhuǎn)角的大小于是A1BB1是平角，它是解題的切入點，通過平角可列方程求出角 解:ABCA1B1C(旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等)A=A1且CB=CB1ADC=

8、A1DB， A1BD= 在ABC中，ABC=90°25°=65°BCB1=(對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角)CBB1=(180°)點A1、B、B1在同一直線上， 65(180)=180解之得=50°思考 例1中，若A=，那么與有何數(shù)量關(guān)系?(答: =2)二、按計算要求進行區(qū)分1、求角度例1（青島）、如圖1，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，求APB的度數(shù)。分析：由題中已知條件中的6、8、10這組勾股數(shù)聯(lián)想到直角三角形，于是設(shè)法將PA、PB、PC集中到一個三角形中，可以將APC繞著A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°

9、;得到AFB， 圖1 圖2從而可得APB=APF+BPF，然后設(shè)法求出APF、BPF的度數(shù)即可。解：將APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得AFB，連接FP（如圖2），則FB=PC=10，F(xiàn)A=PA=6，F(xiàn)AP=60°。FAP是正三角形，F(xiàn)P=PA=6，在PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，BPF=90°，APB=APF+FPB=60°+90°=150°。圖3例2、如圖所示，ABC中，ACB=120°，將該圖形繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)30°后，得到ABC，則ABC的度數(shù)是 。分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道BC

10、B是旋轉(zhuǎn)角，它的度數(shù)應(yīng)該是30°，ABC可以看成是ACB和BCB的和，所以ABC=120°30°=150°。答：ABC的度數(shù)是150°。2、求線段間的關(guān)系或長度例1（旅順）操作：如圖3，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連MN。探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明。分析：本題要探究的三條線段不在同一個三角形之中，必須設(shè)法將它們集中到一個三角形中。易知DBA=DCA=90°，BD=CD，于是將DBM繞D點順時針旋轉(zhuǎn)

11、120°到DCP的位置，則BM=CP，DM=DP，再證MN=NC+CP即可得證。解：ABC為正三角形，ABC=ACB=60°，又BDC=120°，DB=DC，DBC=DCB=30°。DBM=DCN=90°。于是將DBM繞D點順時針旋轉(zhuǎn)120°到DCP位置，則BM=CP、DM=DP、MDP=120°，又MDN=60°，PDN=60°，PDN=MDN，DN=DN，MDNPDN，MN=NP=NC+CP，BM+NC=MN。答：ABC的度數(shù)是150°。例2、如圖4所示，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時

12、針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFGH，EF交AD于點H，那么DH的長是 。圖4圖5分析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道BFC=DCG=30°，所以FCD=60°，可以連結(jié)線段HC（如圖4所示），由已知可知F=D=90°，F(xiàn)C=DC，HC是RtFHC和RtDHC公共的斜邊，根據(jù)HL公理可以判斷RtFHCRtDHC，所以FHC=DHC=30°，所以HC=2DH，根據(jù)勾股定理可得，即，因為DC=3，所以DH=。答：DH的長是。3、求面積 圖3例1、如圖4，ABC是等腰直角三角形，D為AB的中點，AB=2，扇形ADG和BDH分別是以AD、BD為半徑的圓的，求陰影

13、部分面積。分析：從表面上看圖形異常繁雜，若想直接求陰影部分面積則不可能，若將扇形BDH和BDC繞D點順時針旋轉(zhuǎn)180°，問題就迎刃而解了。解：將扇形BDH和BDC繞D點順時針 圖4 圖5旋轉(zhuǎn)180°變成圖5。 S陰=S半圓SAEF=×12×12=（1）。圖2圖1例2、如圖所示，AOB中，OA=3cm，OB=1cm，將AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到AOB，那么AB掃過的區(qū)域的面積是 。分析：AB掃過的區(qū)域是一個不規(guī)則的圖形，要想計算它的面積，可以將它分割為和兩部分（如圖2所示），根據(jù)旋轉(zhuǎn)可以知道區(qū)域和區(qū)域的面積是相等的，所以可以將轉(zhuǎn)化為，而

14、區(qū)域的面積=扇形OAA的面積扇形ODD的面積，又因為OD=OD=1，OA=3，所以區(qū)域的面積=。答：AB掃過的區(qū)域的面積是。4、進行圖形分割例4（廈門）如圖6，在四邊形ABCD中，A=90°，ABC與ADC互補。（1）求C的度數(shù)；（2）若BCCD且AB=AD，請在圖上畫一條線段，把四邊ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個正方形，并說明理由。析解：本題設(shè)計新穎，巧妙把直觀感知、操作確認和邏輯推理結(jié)合起來，第（1）問可根據(jù)四邊形內(nèi)角和直接求解；第（2）問則ABC+ADC=180°，以及要把四邊形分成兩部分，使得這兩部分能夠 圖6 圖7拼成一個正方形，則新圖必須有四個

15、直角，由C=90°，又AB=AD，因此猜想過點A作AEBC于E，又得一個直角。把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，這時AB與AD重合，則被分成兩部分拼成一個正方形。5、構(gòu)造平行四邊形例5（天津）如圖8，已知四邊形紙片ABCD，現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個與它面積相等的平行四邊形紙片。如果限定裁剪線最多有兩條，能否做到： （用“能”或“不能”填空）。若填“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明理由。分析：本題旨在通過操作與幾何說理，拓展學生思考與探索空間，主要考四邊形的分割和平行四邊形的判定知識，其中包含著深刻的圖形變換思想，需要豐富觀察能力、抽象思維能力、

16、動手操作能力和解決實際問 圖8 圖9 圖10題能力。本題通過連接四邊形對邊中點，構(gòu)造線段相等并利用四邊形內(nèi)角和為360°，借助旋轉(zhuǎn)、平移變換，可達到剪拼的目的。解：能。如圖9、圖10，取四邊形ABCD各邊的中點E、G、F、H，連接EF、GH，則EF、GH為裁剪線，EF、GH將四邊形分成1、2、3、4四個部分，拼接時，圖中的1不動，將2、4分別繞點H、F各旋轉(zhuǎn)180°，3平移，拼成的四邊形滿足條件。三、按旋轉(zhuǎn)類型進行區(qū)分1、正三角形類型在正ABC中，P為ABC內(nèi)一點，將ABP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、

17、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個CP中，此時AP也為正三角形。 圖（1-1-a） 圖（1-1-b）例1. 如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點，PA=3， PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是_. 圖（1-1） 圖（1-2） 簡解：在ABC的外側(cè)，作BA=CAP，且A=AP=3，連結(jié)B。則BACAP。易證AP為正三角形，PB為RtAPB=AP+PB=+=15002、正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的CP中，此時BP

18、為等腰直角三角形。 圖（2-1-a） 圖（2-1-b）例2 . 如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到正方形的三個頂點A、B、C的距離 分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面積。 圖（2-1） 圖（2-2）簡解：作AED使DAE=BAP，AE=AP連結(jié)EP，則ADEABP（SAS） 同樣方法，作DFC且有DFCBPC。易證EAP為等腰直角三角形，又AP=1PE= 同理，PF=3EDA=PBA，F(xiàn)DC=PBC 又PBA+PBC=900EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800點E、D、F在一條直線上。EF=ED+DF=2+2=4，在EPF中，EF=4，

19、EP=，F(xiàn)P=3由勾股定理的逆定理，可知EPF為RtS正方形ABCD =SRtEPF+SRtEPA+SRtPFC=3+=8例3 .如圖（3-1）正方形ABCD中,邊長AB=，點E、F分別在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求AEF的面積。(第十一屆希望杯邀請賽試題)圖（3-1）簡解： 延長CB至使得B=DF，連結(jié)A，則RtABRtADF（SAS）。AE =300 +150=450，F(xiàn)AE=900 -300 -150=450易證AEFAE(SAS) EA =FEA=600，F(xiàn)EC=600, 在RtABE中, AB=，BAE=300BE=1, CE=-1, FE=2CE=2(-1)

20、, E=EF=2(-1)所以,SAEF= SAFE=AB·E=ÎÎ2(-1)=3-3、等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ABC中，C=Rt, P為ABC內(nèi)一點，將APC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個CP為等腰直角三角形。 圖（3-1-a） 圖（3-1-b）例4如圖（4-1），在ABC中，ACB =900，BC=AC，P為ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度數(shù)。 圖（4-1） 圖（4-2）簡解：在RtABC的外側(cè)，作BC=ACP，且C=CP=2，連結(jié)P。則BCACP。易證RtCP為

21、等腰直角三角形，在PB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，PB為Rt為Rt，PB=900BPC=CP+PB=450+=1350例5. 如圖（5-1），在ABC中，BAC =900，AB=AC，ABC內(nèi)一點O，AO=2cm,如果把ABO繞A點按逆時針方向轉(zhuǎn)動900，使AB與AC重合，則O點經(jīng)過的路徑長為_。 圖（5-1）例6 如圖（6-1），五邊形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，則這個五邊形ABCDE的面積等于_。（2003年寧波市至誠杯競賽題） 圖（6-1） 圖（6-2）簡解：延長DE至使得E=BC，連結(jié)A，則AEABC（SAS） A

22、B=CD=AE=BC+DE=1，CD =D CADAD（SSS）SABCDE=2 SCDA=2（11）=14、 三角形與圓混合類型將CAD繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)600到BA，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（3-1-a）中的DC與BD組合在一條直線上，見圖（3-1-b）此時BD是個平角，AD為正三角形。 圖（3-1-a） 圖（3-1-b）例7 如圖（7-1），正三角形ABC內(nèi)接于O，P是劣弧上任意一點，PA=2，則四邊形ABPC的面積為_。 圖（7-1） 圖（7-2）簡解：延長PB至使得B=PC，連結(jié)A，則ABAPC（SAS）A=AP，AB=PAC， 又 BAC=600 AP為正三角形S四邊形ABPC =

23、SAPP =四、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探索型題目1、條件探索型條件探索型的特征是給出了結(jié)論，要求探索使該結(jié)論成立所具備的條件.解題時，一般需要從結(jié)論出發(fā)，逆向思維解(即執(zhí)果索因). 例1:（遂寧）如圖1,把正方形ACFG與RtACB按如圖(甲)所示重疊在一起,其中AC=2, BAC=600,若把RtACB繞直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),使斜邊AB恰好經(jīng)過正方形ACFG的頂點F,得ABC，A B分別與AC,AB相交于D、E,如圖(乙)所示. ACB至少旋轉(zhuǎn)多少度才能得到ABC?說明理由._G_B_F_C_A(甲)_E_D_G_B_F_C_A(乙)圖1.求ACB與ABC的重疊部分(即四邊形CDEF)的面積(若

24、取近似值,則精確到0.1)解： ACGF是正方形，AB經(jīng)過點F， AC=CF 又A=60°, ACF是等邊三角形.又 ACF=60° ACA=90°一60°=30°, ABC至少旋轉(zhuǎn)30°才能得到ACB. (2) ACA=30° ,BAC=60°, ADE=90°. 又 AC=2，可求得 CD=.AD=2一.在RtADE中 , DE=ADtan60°=(2一_)·=2一3 ADE的面積為：AD·DE=(2一)·(2一3) = .又 A'B=4， AF= 2,

25、 F是AB的中點 ACF的面積=ABC的面積 , 而BC=AC·tan60°=2, SABC=×2×2 =2， SACF = 四邊形DCFE的面積為：一()=一+6=6一(若取近似值，則結(jié)果應(yīng)約為17)2、探索結(jié)論型結(jié)論探索型是指在一定的條件下無結(jié)論或結(jié)論不明確，需要探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目；解結(jié)論探索型題的方法是由因?qū)Ч?例2:（衡陽市）已知，如圖2，平行四邊形ABCD中，ABCD，AB=1，BC=，對角線AC、BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC、AD于點E、F.證明：當旋轉(zhuǎn)角為時，四邊形是平行四邊形；試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF

26、與EC總保持相等；在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由：如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).OFEDCBA圖2解:證明:當AOF=時, ABEF,又AFBE,四邊形ABEF為平行四邊形.AO=CO, FAO=ECO, AOF=COE. AOFCOE. AF=EC.四邊形BEDF可是是菱形.理由:如圖2,連接BF、DE.由(2)知AOFCOE.得OE=OF,EF與BD互相平分.當EFBD時,四邊形BEDF為菱形.在RtABC中,AC=,OA=1=AB . 又ABACAOB=，AOF=.AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)時,四邊形BEDF為菱形.3、存在性探索型存在型

27、探索題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關(guān)系是否存在的題目.解存在性探索題先假設(shè)要探索的問題存在，繼而進行推導(dǎo)與計算，若得出矛盾或錯誤的結(jié)論，則不存在，反之即為所求的結(jié)論. 例1.（河北）如圖11，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)（1）如圖12，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；圖11A( G )B( E )COD( F )圖12EABDGFOMNC（2）若三角尺GE

28、F旋轉(zhuǎn)到如圖13所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由圖13ABDGEFOMNC分析：本題主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，解答時應(yīng)著眼于圖形的旋轉(zhuǎn)不變性來探索線段之間的變化規(guī)律.對于（1）問，經(jīng)測量后可知BM=FN然后利用三角形全等證明即可；對于（2）問，要明確，在繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的過程中，雖然OBM和OFN都發(fā)生了變化，但二者之間全等的關(guān)系沒變.故結(jié)論成立.解：（1）BM=FN   證明：GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形， ABD =F =45°，O

29、B = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2）BM=FN仍然成立 證明：GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，DBA=GFE=45°，OB=OFMBO=NFO=135°又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 評注：本題利用圖形旋轉(zhuǎn)的不變性，探索圖形在旋轉(zhuǎn)過程中的有關(guān)規(guī)律，讓同學們體驗圖形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，同時也考查了同學們空間想象、規(guī)律探索、推理能力以及分析問題、解決問題的能力，是一道不可多得的優(yōu)秀題目.例2. （黑龍江雞西）已知AOB=900，在AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或

30、它們的反向延長線)相交于點D、E 當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(如圖1)，易證：OD+OE=OC 當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明圖2-1 圖2-2 圖2-3分析：由于在旋轉(zhuǎn)的過程中，雖然點O的位置發(fā)生了變化，但AOC和COE的大小不變，都是45°，因此可過C分別作OA、OB的垂線，從而轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形（圖1）來處理.對于圖3可仿圖2處理.解：圖2結(jié)論：OD+OE=OC. 證明：過C分別作OA、OB的垂線，垂足分別為P、Q

31、 CPDCQE，DP=EQ. OP=OD+DP，DQ=OE-EQ. 又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C. OD+OE=0C 圖3結(jié)論：OE-OD=OC.評注：從以上兩例可以看出，解決這類問題的關(guān)鍵是要把握以下兩點：1.在解題時，認真觀察圖形，不放過一個細節(jié)，看清旋轉(zhuǎn)的角度和方向，找準旋轉(zhuǎn)前后的相關(guān)的角與邊，在旋轉(zhuǎn)的過程中，弄清變與不變的量；2.再解決這類問題時，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等形求解，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達到求解的目的.練習部分一、選擇題1、（2009年瀘州）如圖1，P是正ABC內(nèi)的一點，若將PBC繞點B旋轉(zhuǎn)到PBA，則PBP的度數(shù)是

32、（）12430-1-2-3123AB A45° B60° C90° D120°2、(2009年陜西省) 如圖，AOB90°，B30°，AOB可以看作是由AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度得到的，若點A在AB上，則旋轉(zhuǎn)角的大小可以是（ ）A30°B45°C60°D90°3、（2009年桂林市、百色市）如圖所示，在方格紙上建立的平面直角坐標系中，將ABO繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得 ，則點的坐標為（ ） A（3，1） B（3，2） C（2，3） D（1，3）4、（2009年甘肅白銀）下列圖形中

33、，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A等腰梯形B平行四邊形C正三角形D矩形5、（2009年臺州市）單詞NAME的四個字母中，是中心對稱圖形的是（ ） AN BA M DE6、（2009年廣西欽州）某校計劃修建一座既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的花壇，從學生中征集到的設(shè)計方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四種方案，你認為符合條件的是（ ）BCDEFAA等腰三角形B正三角形C等腰梯形D菱形7、如圖，在RtABC 中，D、E是斜邊BC上兩點， 且DAE=45°，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到，連接，下列結(jié)論：；其中正確的是（ ）A； B； C；D8、 (2009年四川省內(nèi)江市

34、)已知如圖1所示的四張牌，若將其中一張牌旋轉(zhuǎn)180O后得到圖2，則旋轉(zhuǎn)的牌是（ ）圖1圖2ABCD9、(2009成都)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2，3)，若將OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到0A，則點A在平面直角坐標系中的位置是在 （ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限10、（2009年崇左）已知點的坐標為，為坐標原點，連結(jié)，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得，則點的坐標為（ ）A B C D二、填空題1、（2009肇慶）在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱點的坐標是 ABO2、（2009年衡陽市）點A的坐標為（，0），把點A繞著坐標

35、原點順時針旋轉(zhuǎn)135º到點B，那么點B的坐標是 _ 3、 （2009年棗莊市）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則點的坐標是 ObBbAbybA1B1x4、(2009年撫順市)如圖所示，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標是將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標是 三、解答題1如圖，P是正方形內(nèi)一點，將ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)能與CBP重合，若BP=3，求PPABCP2正方形ABCD內(nèi)一點P，使得PA：PB：PC=1：2：3，證明APB=135° 3、如圖P是等邊ABC內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5，則APB= 4、（20

36、09年河南）如圖，在RtABC中，ACB=90°, B =60°，BC=2點0是AC的中點，過點0的直線l從與AC重合的位置開始，繞點0作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D.過點C作CEAB交直線l于點E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為.(1) 當=_度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為_； 當=_度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為_；(2)當=90°時,判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由5、如圖，ABC中，ACB90º，ACBC1，將ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角。(0º90º)得到A1B1C1，連結(jié)BB1.設(shè)CB1交AB于D，A

37、lB1分別交AB、AC于E、F.(1)在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明(ABC與A1B1C1全等除外)；(2)當BB1D是等腰三角形時，求；(3)當60º時，求BD的長6、（13分） 已知中，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F當繞點旋轉(zhuǎn)到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明7已知正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A,點G、E分別在線段AD、

38、AB上.(1) 如圖1, 連接DF、BF,若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),判斷命題:“在旋轉(zhuǎn)的過程中線段DF與BF的長始終相等.”是否正確,若正確請說明理由,若不正確請舉反例說明;(2) 若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn), 連接DG,在旋轉(zhuǎn)的過程中,你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等.并以圖2為例說明理由. 8、將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖1擺放.（1）將圖1中DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，則 ACB1+BCA1=_（2）、將圖1中繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點與AB的交點。求出圖中ACP1的各個內(nèi)角的度數(shù)；求證：；（3）、將圖

39、2中繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°到（如圖3），點與AB的交點。求出圖中CP1 P2的各個內(nèi)角的度數(shù)；線段之間存在一個確定的等量關(guān)系，請你寫出這個關(guān)系式并說明理由；（4）、將圖3中線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到（如圖4），連結(jié)，求證：AB. 9、把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中BF30°，斜邊AB和EF長均為4(1)當 EGAC于點K，GFBC于點H時（如圖），求GH：GK的值(2) 現(xiàn)將三角板EFG由圖所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°<30°（如圖

40、），EG交AC于點K ，GF交BC于點H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論； (3)在下，連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)GH=，GKH的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(備用圖)(圖)(圖) CBAED圖1NM10、 （?？趯嶒瀰^(qū)）在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEMN于E.（1）、當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADCCEB；DE=ADBE；（2）、當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，ABCDEMN圖2求證：DE=AD-BE；ACBEDNM圖3（3）、當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.11 已知：將一副三角板(RtABC和RtDE