根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理練習(xí)題

1、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題14小題）1下列一元二次方程中，兩根之和為2 的是（）A. x2-x+2=0 B. x2-2x+2=0 C. x2 - x - 2=0D. 2x2-4x+1=02 .小明和小華解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2, - 3,而小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng),解錯(cuò)兩根為-2, 5,那么原方程為（）A. x2- 3x+6=0 B . x2- 3x- 6=0 C. x2+3x - 6=0D, x2+3x+6=03 . （2011?錦江區(qū)模擬）若方程x23x2=0的兩實(shí)根為xi、x2,則（xi+2） （x2+2）的值為（）A. - 4B. 6C. 8D. 124 . （

2、2007?泰安）若xl, x2是方程x2-2x-4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝U2xi2 - 2xi+x22+3的值是（）A 19B 15C 11D 35 . （2006?賀州）已知a, b是一元二次方程 x2+4x - 3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 a2-ab+4a的值是（）A. 6B. 0C. 7D. - 16 . （ 1997以津）若一元二次方程 x2- ax- 2a=0的兩根之和為4a- 3,則兩根之積為（）A. 2B. -2C. -6或 2 D. 6 或-27 .已知x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的 3倍.則（）A 3n2=16m2B3m2=16nCm=3nDn=3m28 .

3、 a、b 是方程 x2+ （m5） x+7=0 的兩個(gè)根，貝U （ a2+ma+7） （b2+mb+7）=（）A 365B245C210D1759 .在斜邊 AB為5的RtABC中，/C=90°,兩條直角邊 a、b是關(guān)于x的方程x2 - （m-1） x+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m 的值為（）B 4C. 8 或-4 D. 810 .設(shè)m、n是方程x2+x - 2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2+2m+n的值為（A 2008B 2009C 2010D 201111 .設(shè)x1、x2是二次方程x2+x - 3=0的兩個(gè)根，那么 xi3-4x22+19的值等于()A.-4B.8C. 6D.

4、012 . m, n 是方程 x2- 2008x+2009=0 的兩根，則(m2- 2007m+2009) ( n2 - 2007n+2009)的值是()A. 2007B. 2008C. 2009D, 201013 .已知x1、x2是一元二次方程 x2+x - 1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x12- x1 - 1) (x22-x2- 1)的值為()A. 0B. 4C. - 1D. - 414 .設(shè)m, n是方程x2-x-2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2+n的值為()A. 1006B, 2011C, 2012D, 2013二.填空題(共5小題)15.若關(guān)于x的方程x2+2mx+m 2+3m - 2=0

5、有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2,則x 1(x2+x1 )+x22的最小值為 16若關(guān)于x的一元二次方程 x2+x 3=0的兩根為x1, x2,則2x1+2x2+x1x2=.17,已知關(guān)于x的方程x2- 2ax+a2 - 2a+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 ,x2,滿足x12+x22=2,則a的值是18 . 一元二次方程 2x2+3x - 1=0和x2 - 5x+7=0所有實(shí)數(shù)根的和為 .19 .已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程 x2- 3x+a=0的兩個(gè)解，若(m-1)(n-1)=-6,則a的值為三.解答題(共11小題)20.已知關(guān)于x的一元二次方程 x2+ (2m-3) x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

6、“、3滿足士-十士-二I ,求mCI p圣？若存在，求出的值.21.是否存在實(shí)數(shù) m,使關(guān)于x的方程2x2+mx+5=0的兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和等于若不存在，說(shuō)明理由.22.已知關(guān)于x的方程kx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 xi、x2,則當(dāng)k為何值時(shí)，方程兩根之比為1 :3？23.已知斜邊為 5的直角三角形的兩條直角邊a、b的長(zhǎng)是方程x2- (2m-1) x+4 (m-1) =0的兩個(gè)根,求 m 的值24.實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程 x2+ (2k- 1) x+1+k2=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和最小，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根.25.已知關(guān)于x的方程x2+ (2k-1) x-2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi、x2

7、滿足xi - x2=2,試求k的值.26.已知xi、x2是方程x2- kx+ik (k+4) =0的兩個(gè)根，且滿足(xi-1) (x2-1)士，求k的值.4427.關(guān)于x的一元二次方程 x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是xi和x2.(1)求k的取值范圍；(2)如果xi+x2- xix2< - 1且k為整數(shù)，求k的值.28 .已知xi, x2是一元二次方程(a-6) x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù) a,使-xi+xix2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由;(2)求使(xi+i) (x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.29 .已知一元二次方程

8、x2-2x+m=0.( 1 )若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m 的范圍；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 xi, x2,且xi+3x2=3,求m的值.30 .已知xi、x2是一元二次方程 2x2-2x+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根.( 1 )求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；(2)如果m滿足不等式7+4xix2>xi2+x22,且m為整數(shù).求 m的值.一元二次方程要與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題參考答案與試題解析一.選擇題（共14小題）1 .下列一元二次方程中，兩根之和為2的是（）A. x2-x+2=0 B. x2-2x+2=0C. x2 - x - 2=0D. 2x2-4x+1=0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)方程思想.分析:利用一元二次解答

9、:方程的根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=一下選項(xiàng)進(jìn)行一 一驗(yàn)證并作出 正確的選擇.解：A、,. x1+x2=1 ;故 本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、 .=4 8= -4<0,所以本 方程無(wú)根；故本 選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、 x1+x2=1 ；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、 x1+x2=2;故本選項(xiàng)正確；故選 D 點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根 與系數(shù)的關(guān) 系解答該題 時(shí)，需注意，一 元二次方程的 根與系數(shù)的關(guān) 系是在原方程 有實(shí)數(shù)解的情況下成立的2 .小明和小華解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2, - 3,而小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng),解錯(cuò)兩根為-2, 5,那么原方程為（）A. x2- 3x+6=0 B . x2- 3

10、x- 6=0C. x2+3x - 6=0D. x2+3x+6=0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可解答：解： 小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2, - 3,兩根之積正確；小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)， 解錯(cuò)兩根為- 2, 5,兩根之和正確，故設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩根是a> &可得：a ?率6, o+ =- 3,那么以a、3為兩根的一元二次方程就是x2- 3x - 6=0,故選：B.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，若XI、x2是方程ax2+bx+c=0 的兩根，則有x1+x2=,xix2=.a3. （2011?錦江區(qū)模擬）若方程 x23x2=0的兩實(shí)根為xi、x2,則（xi+

11、2） （x2+2）的值為（）A. - 4B. 6C. 8D. 12考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：根據(jù)（xi+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=xix2+2（x1+x2）+4,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即兩根的和與積，代入數(shù)值計(jì)算即可.解答：解：:XI、x2是方程X2 - 3x -2=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù) 根-X1+X2=3, X1?X2= - 2.又（xi+2）（ X2+2）=X1X2+2X 1+2X 2+4=X1X2+2（ X1+X2） +4將 X1+X2=3、 x1?x2=- 2 代 入，得（ X1+2） （ X2+2） =X1X2+2X 1+2X 2+4=X1X2+2（ X1

12、+X2） +4=（-2）+2M+4=8 .故選 C點(diǎn)評(píng)：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式 變形相結(jié)合解 題是一種經(jīng)常 使用的解題方法4. （2007?泰安）若X1, X2是方程x2-2x-4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2xi2 - 2xi+x22+3的值是（）A 19B 15C 11D 3考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方程的解專(zhuān)題 ：壓軸題分析：欲求2xi2 -22x1+x2 +3 的值， 先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可解答：解：X1, x2是方程x2 - 2x - 4=0 的兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根2xi 2xi=4, xix2= - 4, x1+x2=22- 2

13、x1 -2 2x1+x2 +32=xi 22 2x1+x1 +x2 +32=xi 2xi+2(xi+x2) 一 2x1x2+3=4+4+8+3=19 故選A點(diǎn)評(píng)：將根與系數(shù)的 關(guān)系與代數(shù)式 變形相結(jié)合解 題是一種經(jīng)常 使用的解題方法ab+4a的值是（）5. （2006?賀州）已知a, b是一元二次方程 x2+4x - 3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 a2A. 6B. 0C. 7D. - 1考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方程的解專(zhuān)題 ：壓軸題分析：由a， b 是一元二次方程x2+4x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 可以得到如下四個(gè)等式：a2+4a- 3=0,b2+4b - 3=0,a+b= _ 4, ab=

14、一3；再根據(jù)問(wèn)題 的需要，靈活變形解答：解：把 a 代入方程可得a2+4a=3,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得ab= - 3.a2-ab+4a=a2+4a -ab=3 - （- 3） =6故選 A點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān) 系.解此類(lèi)題目 要利用解的定 義找一個(gè)關(guān)于 a、b的相等關(guān) 系，再根據(jù)根與 系數(shù)的關(guān)系求 出ab的值，把 所求的代數(shù)式 化成已知條件 的形式，代入數(shù) 值計(jì)算即可.一 元二次方程 ax2+bx+c=0（a加）的根與 系數(shù)的關(guān)系為：卜Xl+X2= , 3X1?X2=一.x2- ax- 2a=0的兩根之和為 4a - 3,C. -6 或 2 D. 6 或則兩根之積為（）26

15、. （ 1997以津）若一元二次方程A. 2B. -2考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.專(zhuān)題：方程思想.分析：由兩根之和的值建立關(guān)于a的 方程，求出a的 值后，再根據(jù)一 元二次方程根 與系數(shù)的關(guān)系 求兩根之積.解答：解；由題意知xi+x2=a=4a 3,a=1, .xix2= 2a=一2故選 B 點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，在列方程時(shí)要注意各系數(shù)的數(shù)值與正負(fù)，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤)2 n=3m7.已知x的方程x2+mx+n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的 3倍.則（A 3n2=16m2B 3m2=16nC m=3nD考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系分析：設(shè)方程的一個(gè)根為a,則另一個(gè)根為3a， 然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得

16、到兩根與 m、 n 之間的關(guān)系， 整理即可得到正確的答案；解答：解：,方程x2+mx+n=0 的一個(gè)根是另一個(gè)根的 3 倍， 設(shè)一根為a,則另一根為3a，由根與系數(shù)的 關(guān)系，得a?3a=n，a+3a= _ m,整理得3m2=16n，故選B 點(diǎn)評(píng)本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練記憶根與系數(shù)的關(guān)系，難度不大8. a、b 是方程 x2+ (m5) x+7=0 的兩個(gè)根，貝U ( a2+ma+7) (b2+mb+7)=()A 365B 245C 210D 175考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方程的解專(zhuān)題：計(jì)算題分析根據(jù)一元二次方程的解的意義，知a、 b 滿足方程x2+（ m-5） x+7

17、=0，又由韋達(dá)定理知a?b=7；所解答:點(diǎn)評(píng):以，根據(jù) 來(lái)求代數(shù)式(a2+ma+7)八2一(b +mb+7)的 值，并作出選擇 即可.解：.、b是方 程 x2+ ( m - 5) x+7=0的兩個(gè) 根，a、b滿足方程x2+ (m - 5) x+7=0 ,a2+ma+7 -5a=0,即 a2+ma+7=5a;b2+mb+7 -5b=0,即 b2+mb+7=5b ;又由韋達(dá)定理， 知a?b=7;(a2+ma+7)2(b +mb+7) =25a?b=25 >7=175.故選D.本題綜合考查 了一元二次方 程的解、根與系 數(shù)的關(guān)系.求代 數(shù)式(a2+ma+7)2(b +mb+7)的值時(shí)， 采用了

18、根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合的解題方法x+m+4=09.在斜邊 AB為5的RtAABC中，/ C=90°,兩條直角邊 a、b是關(guān)于x的方程x2 - ( m - 1)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m 的值為()A. - 4B. 4C. 8 或-4 D. 8考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理分析：根據(jù)勾股定理求的a2+b2=25，即 a2+b2=( a+b)2 - 2abCD ,然后 根據(jù)根與系數(shù) 的關(guān)系求的a+b=m 1 ab=m+4；最后由聯(lián)立方程組，即可求得 m 的值解答：解：二.斜邊AB為 5的RtA ABC 中，ZC=90 °,兩條 直角邊a、 b，.a2+b2=25,又a2+b2

19、=2 (a+b) 2ab,2(a+b)-2ab=25， ,a、b是關(guān)于x 的方程x2- (m1) x+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，a+b=m 1,ab=m+4， 由 ， 解得m= - 4,或 m=8 ;當(dāng)m= 一 4時(shí)，ab=0，a=0 或 b=0,(不合題意)m=8;故選D 點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理的應(yīng)用解答此題時(shí)，需注意作為三角形的兩邊 a、 b 均不為零這一條件10.設(shè)m、n是方程x2+x - 2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2+2m+n的值為()A 2008B 2009C 2010D 2011考點(diǎn) ：專(zhuān)題 ：分析：解答：點(diǎn)評(píng)：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方 程的解計(jì)算題由

20、于m、 n 是方程 X2+X -2012=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n=-1,并且 m2+m -2012=0,然后 把 m2+2m+n 可 以變?yōu)閙2+m+m+n ，把前面的值代入即可求出結(jié)果解：m、n 是 方程x2+x -2012=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m+n= 1,并且m2+m - 2012=0， .m2+m=2011 ,m2+2m+n=m 2+m+m+n=2012-1=2011.故選 D 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系， 將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié) 合解題是一種 經(jīng)常使用的解 題方法11.設(shè)XI、X2是二次方程x2+x - 3=0的兩個(gè)根，那么 X13 - 4x22

21、+19的值等于（）A.-4B.8C. 6D. 0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān) 系專(zhuān)題：計(jì)算題分析首先利用根的定義使多項(xiàng)式降次，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算解答解由題意有2x1 +x1 - 3=0,2x2 +x2 3=0,即 x12=3 x1,2x2 =3- x2,所以x13-24x2 +19=x1 (3 x1) - 4(3-x2) +19=3x1 2x1 +4x2+7=3x1 ( 3 x1)+4x2+7 =4（ x1+x2） +4，又根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知道Xl+X2= 1 ,所以原式二4X（T） +4=0.故選D 點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式的化簡(jiǎn)求出X1、 X2的值再代入計(jì)

22、算，則計(jì)算繁難， 解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如X12=3 - xi,X22=3 - X2.2007n+2009） 的值是 （）12. m,n 是方程 X2 - 2008x+2009=0 的兩根，則代數(shù)式(m2 - 2007m+2009) (n2A 2007B 2008C 2009D 2010考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方程的解分析：首先根據(jù)方程的解的定義，得m2- 2008m+2009=02,n 一2008n+2009=0，則有m2-2007m=m 2 2009, n -2007n=n -2009， 再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得 mn=2009， 進(jìn)行求解解答：解：m,

23、n是方程x2 -2008x+2009=0的兩根，2 m 2008m+2009=02,n -2008n+2009=0，mn=2009 2. . ( m 2007m+2009)(n2-2007n+2009) =(m 一2009+2009 ) ( n-2009+2009)=mn=2009 故選C點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用 了方程的解的 定義和根與系 數(shù)的關(guān)系13已知x1、x2是一兀一次方程 x +x - 1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（x1 X1- 1） （x2 X2- 1）的值為（）A 0B 4C. -1D. 一 4考點(diǎn)：專(zhuān)題：分析根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算題根據(jù)一元二次方程的解的定義，將 x1、 x2分別代入原方程，求得

24、xi2=- 2x1+1、 x2 =一x2+1 ；然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得X1x2=-1；最后將其代入所求的代數(shù)式求值即可解答解：:x1、x2 是故選D 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系， 將根與系 數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié) 合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法14.設(shè)m, n是方程x2-x-2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m2+n的值為（）A 1006B 2011C 2012D 2013考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系； 一元二次方程的解分析：利用一元二次方程解的定義，將 x=m 代入已知方程求得m2=m+2012； 然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知m+n=1 ；最后將m2、 m+n 的值代入所求的代數(shù)式求值即可解

25、答：解：.1 m, n是方程x2 - x -2012=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m2 - m -2012=0，即m2=m+2012；又由韋達(dá)定理知,m+n=1 ,m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解.正確理解一元二次方程的解的定義是 解題的關(guān)鍵.二.填空題（共5小題）15. （2014?廣州）若關(guān)于 x的方程x2+2mx+m 2+3m - 2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2,則x1 （x2+x1） +x22的最小 值為.4考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值.專(zhuān)題：判別式法.分析：由題意可得 =b2- 4ac%，然后根據(jù)不等式的最小值

26、計(jì)算即可得到結(jié)論.解答：解：由題意知，方程x2+2mx+m 2+3m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 則 =b2-4ac=4m 42(m +3m -2)=8 - 12m 孫. X1 ( X2+X1) 2+X2/、2=(X2+X1)-XX2/ c 、2=(-2m) -(m,+3m -2)=3m2 - 3m+221=3( m m+ 4工)+24當(dāng)m=，時(shí)，有最小值至；4最小值為4;故答案為:點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根 與系數(shù)關(guān)系，考 查了一元二次 不等式的最值 問(wèn)題.總結(jié)一元二次 方程根的情況 與判別式的 關(guān)系： >0?方 程有兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根；(2) A=0?方 程有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根；(3

27、) A<0?方 程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.16. (2013?江陰市一模)若關(guān)于 x的一元二次方程 x2+x-3=0的兩根為xi, x2,則2xi+2x2+xix2= 5考點(diǎn)：分析：解答:根與系數(shù)的關(guān) 系.根據(jù)根與系數(shù) 的關(guān)系列式計(jì) 算即可求出 x1+x2 與 x1?x2 的值，再整體代 入即可求解.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得,點(diǎn)評(píng):17.已知關(guān)于Xl?X2= 1 , X1+X2= - 23.則2x1+2x2+x1x2=2 （X1+X2）+x1x2=-2 - 3= - 5.故答案為：-5.本題主要考查 了一元二次方 程的解和根與 系數(shù)的關(guān)系等 知識(shí)，在利用根 與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=、X1?X2=一

28、時(shí)，要注意等式中的 a、b、c所表示 的含義.x的方程x22ax+a22a+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X1, x2,滿足x12+x22=2,貝U a的值是 1考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別分析:先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)22X1 +X2 =,2（X1+X2）一2x1x2,即可得到 關(guān)于a的方程，求出 a 的值解答：解： 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2=2a，2xix2=a 2a+2.22 x1 +x2 =2（X1+x2）一22x1x2=（ 2a）-2 （a22a+2）=2a2+4a - 4=2.解 a2+2a- 3=0,得 ai=- 3,a2=1又方程有兩實(shí)數(shù)根，再即(2a) 2-4

29、 (a2-2a+2) a解得a. .a= 3 舍去.a=1.點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系得到方程兩根的和與兩根的積，根據(jù)兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積表示，即可把求 a 的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題18. 一元二次方程 2x2+3x - 1=0和x2- 5x+7=0所有實(shí)數(shù)根的和為考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)計(jì)算題.分析:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，兩根之和等于-兩根之積等于一，由兩個(gè)一元二次方程分 別找出a, b和c 的值，計(jì)算出兩 根之和，然后再 把所有的根相 加即可求出所 求的值.解答:解：由2x +3x-1=0,得到：a=2, b=3 ,c= - 1, ,.b4ac=9+8=17 >0,

30、即方程有兩 個(gè)不等的實(shí)數(shù) 根，設(shè)兩根分別為x1 和 x2,貝U x1+x2=一由 x2 5x+7=0 ,找出 a=1, b=-5, c=7,b2- 4ac=25 - 28=- 3<0,此方程沒(méi)有 實(shí)數(shù)根.綜上，兩方程所 有的實(shí)數(shù)根的和為-.2故答案為：-W點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的 根與系數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ) 題.學(xué)生必須掌 握利用根與系 數(shù)關(guān)系的前提 是根的判別式 大于等于0即方 程有實(shí)數(shù)根.19.已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程 x2-3x+a=0的兩個(gè)解，若(m-1) (n-1) = - 6,則a的值為z4 .考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：由m、n是關(guān)于x的一元二次方 程 x2

31、- 3x+a=0 的兩個(gè)解，得出m+n=3 , mn=a,整理(m - 1) ( n- 1) = - 6,整體代入求得a的數(shù)值即可.解答：解：. m> n是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個(gè)解，m+n=3 ,mn=a,- .1 ( m-1) n n- 1) = - 6,mn ( m+n)+1= 6即 a 3+1= 6解得a=- 4.故答案為：-4.點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a加)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1,x2,貝U x1+x2=,x1?x2=一.a a三.解答題(共11小題)20. (2004?重慶)已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+ (2m

32、-3) x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根心3滿足十春二1,求m的值.考點(diǎn)：分析:根與系數(shù)的關(guān) 系；解一元二次 方程-因式分解 法；根的判別解答:解：由判別式大得（2m - 3） 2-4m2> 0,解得m< .4百二首先根據(jù)根的 判別式求出m 的取值范圍，利 用根與系數(shù)的 關(guān)系可以求得 方程的根的和 與積，將 專(zhuān)專(zhuān)化 為關(guān)于m的方 程，求出m的值 并檢驗(yàn).- a+ = a 3又a+戶(hù)-（2m2-3）, a =m .代入上式得3-2 2m=m .解之得mi=- 3,點(diǎn)評(píng):m2=l .* ,- m2=1 > ,故4舍去.m= 3.本題主要考查 一元二次方程 根的判別式，根 與系數(shù)的

33、關(guān)系 的綜合運(yùn)用.21. （1998?內(nèi)江）是否存在實(shí)數(shù) m,使關(guān)于x的方程2x2+mx+5=0的兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和等于 等？若存25在，求出m;若不存在，說(shuō)明理由.考點(diǎn)：分析:根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和11：:< + 工2）-叼 m2 - 2Q二JJ 二2 2一 /、 2_ 25解答:即可確定m的 取值情況.解：設(shè)原方程的兩根為XI、x2,則有:x14i2_" 25211 C1H2)- 2患竺 m2 - 202 4-2 =/71= 25耳1箕&(盯工/11 29 £ ?,E-病 yl x2? m2 -20=29,

34、解得m=封，人 2 . =m 4>2>5=m2- 40=2( 2-40=9 0，存在實(shí)數(shù)勺 使關(guān)于原方程 的兩實(shí)根的平 方的倒數(shù)和等于空25點(diǎn)評(píng):利用根與系數(shù) 的關(guān)系和根的 判別式來(lái)解 決.容易出現(xiàn)的 錯(cuò)誤是忽視所 求的m的值是 否滿足判別式22.已知關(guān)于x的方程kx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 xi、x2,則當(dāng)k為何值時(shí)，方程兩根之比為1 :3?考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：23町十2巧,不妨設(shè)xi ：x2=1 ： 3,則可得x2=3x1 ,分別代入兩個(gè)式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行取舍即可.解答：解：由根與系數(shù)的

35、關(guān)系可得：23不妨設(shè)xi：x2=1 ： 3,則可得 x2=3x1 ,分別代入上面兩個(gè)式子，消去x1和x2 ,整理得：4k2- k=0,解得k=0或,1kW，當(dāng)k=0時(shí)，顯然 不合題意，當(dāng)k=JL時(shí)，其判4別式=1泡所以當(dāng)k=工時(shí)，4方程兩根之比 為 1 ： 3.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程 根與系數(shù)的關(guān) 系，解題的關(guān)鍵 是利用一元二 次方程根與系 數(shù)的關(guān)系得到 關(guān)于k的方程， 注意檢驗(yàn)是否 滿足判別式大于0.23.已知斜邊為 5的直角三角形的兩條直角邊a、b的長(zhǎng)是方程x2- ( 2m - 1) x+4 (m-1) =0的兩個(gè)根,求m的值.考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理.分析：先利用一元二次方

36、程根與系 數(shù)的關(guān)系得：a+b=2m - 1, ab=4 (m - 1), 再由勾股定理 可得 a2+b2=52, 即(a+b) 2 - 2ab=25， 把上面 兩個(gè)式子代入可得關(guān)于m 的方程， 解出 m 的值， 再利用一元二次方程根的判別式滿足大于或等于0 及實(shí)際問(wèn)題對(duì)所求 m 的值進(jìn)行取 舍即可解答：解：由一元二次方 程根與系數(shù)的關(guān)系得： a+b=2m1, ab=4 (m-D,再由勾股定理可得 a2+b2=52， 即(a+b) 2 -2ab=25，把上面兩個(gè)式子代入可得關(guān)于 m 的方程：(2m T) 2-8(m-1) =25,整理可得：m23m 4=0 ,解 得m=4或m=- 1，當(dāng)m=4或

37、m=一1 一元二次方程 的判別式都大于 0，但當(dāng)m=-1 時(shí)，ab= - 8,不合題意(a， b為三角形的邊長(zhǎng)， 所以不能為負(fù)數(shù))，所以m=4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于 m 的方程進(jìn)行求解，容易忽略實(shí)際問(wèn)題所滿足的條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤24.實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程 x2+ (2k- 1) x+1+k2=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和最小，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根.考點(diǎn) ：分析：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩實(shí)根的平方和，得到一個(gè)關(guān)于 k 的二次函數(shù)，求出取得最小值時(shí) k 的值，再利用根的判別式進(jìn)行驗(yàn)證解答:解：設(shè)方程的兩根分別為X

38、1和X2,由一元二次 方程根與系數(shù) 的關(guān)系可得：k 1 +1- ( 2k - 1) P 工工2口+卜2令=-2 , 2 y則y=(工+ 叼)2 _/ 2=(2k- 1)2-2(1+k2) =2k2-4k- 1=2 (kT)2-3,其為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，有最小 值，但當(dāng)k=1時(shí)，一元二次方程的 判別式為=-7<0,所以沒(méi)有滿足涮的k的值，所以該題目無(wú) 解.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查地一元二次方程根與系數(shù)的 關(guān)系，解題時(shí)容 易忽略還需要滿足一元二次方程有實(shí)數(shù)根.25.已知關(guān)于x的方程x2+ (2k-1) x-2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi、x2滿足xi - x2=2,試求k的值.考點(diǎn)：分析:

39、根與系數(shù)的關(guān) 系；解一元二次 方程-配方法；根 的判別式.先根據(jù)根與系 數(shù)的關(guān)系，可求 出 xi+x2, x1?x2 的值，再結(jié)合x(chóng)i -x2=2,可求出 k的值，再利用 根的判別式，可 求出k的取值范 圍，從而確定k 的值.解答:解：根據(jù)題意得bx1+x2=一a(2k - 1),xi ?x2= - 2k,又 x1 - x2=2,.( x1 x2)2=22,，、2一(x1+x2) 一4x1x2=4,，一 、2 (2k- 1)-4 ( - 2k) =4, (2k+1 ) 2=4, - k 1= k2=-2三2又,二(2k- 1)2_Mx .2k) = (2k+1) 2,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，(

40、2k+1) 2>0, " k 1=2'k2=一點(diǎn)評(píng):元二次方程的兩個(gè)根x1、X2 具有這樣的關(guān)系：X1+x2=, aX1?X2=.26.已知x1、X2是方程 x2- kx+k (k+4) =0 的兩個(gè)根，且滿足(X1-1) (x2-1)白44考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別分析:(x1 - 1) (x2 -131)=,即 x1x24一(x1+x2)+ 1=,根據(jù)一元二次方程中 根與系數(shù)的關(guān) 系可以表示出 兩個(gè)根的和與積，代入X1x2 -（X1+X2）+ 1=豆，即可得到一個(gè)關(guān)于k的 方程，從而求得 k的值.解答:解：- xi+x2=k, xix2=ik (k+4), a(

41、xi T) (x2 .x1x2- (xi+x2) +T k+1 =解得k二七, 當(dāng)k=3時(shí)，方程為x?-21_3x+-=0, =94-21<0,不合題意舍去； 當(dāng)k= - 3時(shí)，方程為x2+3x -3=0 =9+3 >40,符合題意.故所求k的值為-3.點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：X1, X2 是一元二 次方程ax2+bx+c=0(a加)的兩根時(shí)，bX1+X2= ,3X1X2=.注意運(yùn) 3用根與系數(shù)的 關(guān)系的前提條件是：一元二次 方程aX2+bX+c=0 的 根的判別式阻27. (2011?南充)關(guān)于X的一元二次方程 X2+2X+k+1=0的實(shí)數(shù)解是X1和X2.(1)求k的取值

42、范圍；(2)如果X1+X2- X1X2V - 1且k為整數(shù)，求k的值.考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；解一元一次 不等式組.專(zhuān)題：代數(shù)綜合題；壓軸題分析：1 ）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足 =b2 -4ac%，從而求出實(shí)數(shù)k 的取值范圍；（ 2）先由一元 二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得xi+x2= - 2, x1x2=k+1 再代入不等式x1+x2-X1X2V T ,即可求得k 的取值范圍， 然后根據(jù)k 為整數(shù)，求出k 的值解答：解：（1） .方程有實(shí)數(shù)根，.=22 - 4（k+1 ）斗，（2分）解得k旬.故 K 的取值范圍是k旬.（4分）（ 2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X1+X2= 2

43、,x1x2=k+1（ 5 分）X1+X2 X1X2=一由已知，得-2-（k+1） v - 1,解得 k> - 2. （ 6分）又由（1） k<0,- 2vk孫（7分）. k為整數(shù)，k的值為-1和 0 （ 8 分）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系 在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一定要注意其前提是此方程的判別式書(shū).28. （2012?懷化）已知x1, x2是一元二次方程（a-6） x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）是否存在實(shí)數(shù) a,使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由;（2）求使（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)

44、數(shù) a的整數(shù)值.考點(diǎn) ：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得X1X2=a - 6|z I 2a X1+X2=;a - 6 根據(jù)一元二次 方程的根的判 別式求得a的取 值范圍；（1）將已知等 式變形為Xlx2=4+（X2+X1）,即a , 2a=4+a - 63 一 6,通過(guò)解該關(guān)于 a的方程即可求 得a的值；（2）根據(jù)限制 性條件“（X1+1）（X2+1 ）為負(fù)整 數(shù)”求得a的取 值范圍，然后在 取值范圍內(nèi)取a 的整數(shù)值.解答:解：X1 , X2 是一元二次方程（a- 6）X2+2aX+a=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，X1X2=討一 qI 2aX1+X2= a - 6一元二次方程（a 6）2x +2ax+a=0 有 兩個(gè)實(shí)數(shù)根， =4a （X1+1） （X2+1 ） =X1X2+（X1