在初等數(shù)論教學(xué)中開展參與合作式教學(xué)初探

1、 在初等數(shù)論教學(xué)中開展參與合作式教學(xué)初探 成都大學(xué)師范學(xué)院 馮德雄 摘 要:師范院校小學(xué)教育（數(shù)學(xué)）專業(yè)開設(shè)的初等數(shù)論是一門必修課程,它能夠培養(yǎng)學(xué)生扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及數(shù)論特有的思想方法。當(dāng)前數(shù)論課堂教學(xué)主要是采用傳統(tǒng)的講授式方法,對于培養(yǎng)全程實踐、善于學(xué)習(xí)、高適應(yīng)的應(yīng)用型小學(xué)教育人才不利。本文提出在初等數(shù)論的教學(xué)中如何進(jìn)行參與式與小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)建議和對課堂教學(xué)方式作了初探。以便更好地培養(yǎng)適應(yīng)新時期小學(xué)教育的教師。 關(guān)鍵詞:初等數(shù)論; 小學(xué)數(shù)學(xué)；參與式;合作學(xué)習(xí); 類比 初等數(shù)論是小學(xué)教育（數(shù)學(xué)）專業(yè)教學(xué)中的一門基礎(chǔ)課程，初等數(shù)論意指使用不超過高中程度的初等代數(shù)處理的數(shù)論問題，用初等數(shù)學(xué)的

2、知識與方法來研究數(shù)論。數(shù)論是一門古老而基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)，至今仍有許多沒有解決的問題，一些問題的解決對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動作用，也產(chǎn)生了一些直接與數(shù)學(xué)有關(guān)的新的重要的數(shù)學(xué)分支，而且在現(xiàn)代信息技術(shù)中有很重要的應(yīng)用。初等數(shù)論與小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識以及小學(xué)奧數(shù)的理論知識聯(lián)系較密切，在日常生活中，也常常會遇到數(shù)論的一些問題。 通過初等數(shù)論課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得整除理論、同余與同余方程、不定方程等的基本知識，掌握必要的基礎(chǔ)理論和常用的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力,更深入地理解初等數(shù)論與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系,為將來從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育奠定必要的基礎(chǔ)。 目前初等數(shù)論課程教學(xué)方法也比較單一

3、，一般采用傳統(tǒng)的講授式的方法進(jìn)行教學(xué)，類似中小學(xué)，采用大量例習(xí)題的訓(xùn)練方式。這對于我們培養(yǎng)具有靈活思維能力、具有創(chuàng)新性的適應(yīng)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的未來小學(xué)數(shù)學(xué)教師是沒有好處的。對于培養(yǎng)全程實踐、善于學(xué)習(xí)、高適應(yīng)的應(yīng)用型小學(xué)教育人才不利，因此必須對講授式的教學(xué)方法作改革。我們根據(jù)目前小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的實際并結(jié)合初等數(shù)論的特點，初步探索初等數(shù)論的參與式教學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)方式。一、關(guān)于參與合作式教學(xué)參與式學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者基于自身對于知識的愛好,以及自身學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的困惑而主動參與相關(guān)的知識探究的過程。如何讓學(xué)生愿意參與學(xué)習(xí)、會參與學(xué)習(xí),這就是教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)該考慮的問題。顯然參與式學(xué)習(xí)在小組合作下更利于

4、發(fā)揮。我們的參與合作式教學(xué)參與式學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者基于自身對于知識的愛好,以及自身學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的困惑而主動參與相關(guān)的知識探究的過程。如何讓學(xué)生愿意參與學(xué)習(xí)、會參與學(xué)習(xí),這就是教師在教學(xué)設(shè)計時應(yīng)該考慮的事情了。顯然顯然顯然主要是指學(xué)生參與教學(xué)結(jié)合小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)活動，學(xué)生在做教學(xué)的活動中學(xué)習(xí)新知識。教師把學(xué)習(xí)任務(wù)拋給學(xué)習(xí)小組，學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過小組合作對教材的內(nèi)容學(xué)習(xí)和探究。同學(xué)選擇并確定要講授的內(nèi)容，以教的方式主動獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題。參與式與合作學(xué)習(xí)離不開探究。數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)，是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，學(xué)生作為主體參與，體驗從提出問題到解決問題的全過程，領(lǐng)悟

5、數(shù)學(xué)研究的基本過程和方法。 參與合作式需要師生合作。在教育教學(xué)過程中，師生共同探討、共同研究，在這一過程中，老師給學(xué)生以指點，學(xué)生也給老師以啟發(fā)，相互促進(jìn)，共同發(fā)展。師生合作分為教師與學(xué)生個體之間的合作、教師與學(xué)生群體的合作；生生合作可分為學(xué)生個體之間的合作、學(xué)生群體之間的合作、學(xué)生個體與學(xué)生群體之間的合作共五種類型。師生合作的方式：可分為行為合作、情感合作、認(rèn)知合作。行為合作是基本的合作形態(tài)，指師生在課堂中的行為表現(xiàn)，雙方是否積極或者參與學(xué)習(xí)活動的程度。我們主要做的是行為合作，如在課堂上適時對學(xué)生的活動進(jìn)行點撥。 二、開展參與合作式教學(xué)的可能性與現(xiàn)實性初等數(shù)論的內(nèi)容和特點反映了進(jìn)行參與合作式

6、教學(xué)的可能性。初等數(shù)論是用（初等數(shù)學(xué)）中學(xué)的數(shù)學(xué)知識與方法來研究數(shù)論，如代數(shù)式的恒等變形，整式的加減和乘除。初等數(shù)論的整除理論與同余理論，如整除、素數(shù)和合數(shù)、約數(shù)和倍數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、平方數(shù)、同余、不定方程、x、數(shù)的非十進(jìn)制、歐拉函數(shù)等內(nèi)容與中小學(xué)聯(lián)系比較緊密。如小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識中，質(zhì)數(shù)與合數(shù)，整除的特征，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，記數(shù)法與進(jìn)位制。而且初等數(shù)論又是小學(xué)奧數(shù)方面的基礎(chǔ)理論、中小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的?？?。據(jù)統(tǒng)計，被譽為“世界青年智能大賽”的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(IMO)的試題中主要用于數(shù)論知識來解的約占30 ，因此也有人把數(shù)論稱為是鍛煉人思維的體操。初等數(shù)論也與高等代數(shù)中一元多項式與

7、線性方程相聯(lián)系，學(xué)生可以用類比與較抽象的方法來看初等數(shù)論的一些內(nèi)容，學(xué)生在此階段已學(xué)完高等代數(shù)利于學(xué)習(xí)初等數(shù)論。小學(xué)教育（數(shù)學(xué)）專業(yè)的教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)表明初等數(shù)論課程進(jìn)行參與合作式教學(xué)具有重要的現(xiàn)實意義。小學(xué)教育專業(yè)要培養(yǎng)全程實踐、善于學(xué)習(xí)、高適應(yīng)的應(yīng)用型小學(xué)教育人才。因此，我們可以用要學(xué)的專業(yè)課程作為實踐、訓(xùn)練教學(xué)基本功。初等數(shù)論課具有這樣的條件來加強學(xué)生實踐環(huán)節(jié)，提高小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的授課能力。學(xué)生在學(xué)本課正好是大學(xué)二、三年級，經(jīng)歷了小學(xué)的見習(xí)多次，學(xué)生有一定的較簡單的教學(xué)基本能力，學(xué)生想上講臺有一定的愿望。因此可以在初等數(shù)論課進(jìn)行學(xué)生教學(xué)方法的跟進(jìn)訓(xùn)練。 三、參與合作式教學(xué)的一些做法 （一）

8、 選擇合適內(nèi)容作為參與合作式教學(xué)的課題 初等數(shù)論課程主要研究整數(shù)最基本的性質(zhì)。有些基本內(nèi)容學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過，本課程是站在理論的高度對已學(xué)過的內(nèi)容進(jìn)行推理與論證。如最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，整除的特征在小學(xué)時，學(xué)生就知道一些結(jié)論。其中有些內(nèi)容，適合參與式活動，在此過程中，教師以學(xué)生為主體，扮演學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、指導(dǎo)者、幫助者的角色，改變教師傳統(tǒng)教的講授方式和學(xué)生傳統(tǒng)學(xué)的方式，學(xué)生通過合作探究、構(gòu)建，然后轉(zhuǎn)化為自己的行動，又通過上講臺講課，變?yōu)樽约旱闹R。 （二）劃分課題學(xué)習(xí)小組 把班級同學(xué)分成幾組，由班長與學(xué)習(xí)委員一起確定組長。形成一個學(xué)習(xí)、研究團(tuán)隊，不同能力的學(xué)生進(jìn)行組合匹配。根據(jù)本班的人

9、數(shù)分組，如11級免師班分3組、小教3班分為4組，小教4班分為5組。（三） 參與合作式教學(xué)實施方式方式一，由老師給出教學(xué)任務(wù)，2節(jié)內(nèi)容，學(xué)生把老師的課件復(fù)制好。全班各小組要合作探究，進(jìn)行有效的合作學(xué)習(xí)。小組集體研究備課，確定推薦一位同學(xué)或兩位同學(xué)講一節(jié)或二節(jié)，課堂時間匯報合作探究的學(xué)習(xí)成果，幾個小組輪換進(jìn)行。方式二，由老師給出教學(xué)任務(wù)，2節(jié)內(nèi)容，對課題的內(nèi)容和特點，教師建議學(xué)生合作的教學(xué)，學(xué)生把老師的課件復(fù)制好。全班各小組要合作探究，進(jìn)行有效合作學(xué)習(xí)，小組集體研究備課，小組的每位同學(xué)參與上課，如一個定義，一個定理，例1，2，3.可分別由5人同學(xué)講。方式三，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容選出要講的課題，其它同方式

10、一。方式四，師生共同上臺分別講，其它同方式一.方式五，師生同時在臺上講，學(xué)生為主，教師為輔。1. 應(yīng)當(dāng)注意的事項 對不同的課題采用不同的方式，實施過程中教師適時點撥，分層教學(xué)，因材施教。個別輔導(dǎo)，面向全體學(xué)生。開始時，不求完美，如把自己是怎樣理解學(xué)習(xí)這一知識的講出來，講自己的思維過程，解題方法，把自己的學(xué)習(xí)過程告訴同學(xué)。課間，同學(xué)提問，共同答疑。如指出錯誤，一起解決。要求另外的同學(xué)指出錯誤，同學(xué)有疑問不能解決由教師點撥。通過試錯學(xué)習(xí)，往往還達(dá)到意想不到的效果。由于學(xué)生平時在課堂外的學(xué)習(xí)時間少，大部分希望在課堂內(nèi)學(xué)習(xí)。因此，實施在課堂內(nèi)小組合作學(xué)習(xí)。比如30分種或15分鐘的時間學(xué)習(xí)后，再備一次課

11、。老師參與在其中，教師可在學(xué)生學(xué)習(xí)中解惑。后面的15或30分鐘由學(xué)生講。 教師點評，學(xué)生的成功出，閃光點，還需改進(jìn)的地方。比如點撥學(xué)生在講同余的概念時，第一，故名思義，通常說的正整數(shù)，余數(shù)相同，但這里是整數(shù)，如對于兩個負(fù)數(shù)的情形同余怎樣理解。第二，模為正整數(shù)。第三，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實的問題情境。學(xué)生在講同余的概念，采用直接呈現(xiàn)同余的概念，沒有創(chuàng)設(shè)好問題情境。老師啟發(fā)學(xué)生提出這樣的問題：今天是星期一再過32天是星期幾，再過39天是星期幾，再過109天是星期幾。 參與合作式教學(xué)堅持新的教師觀和學(xué)生觀，教師作為課堂的學(xué)習(xí)的組織者、倡導(dǎo)者、合作者。但教師還要造時啟發(fā)學(xué)生、點撥學(xué)生。這樣既突出了學(xué)生的主導(dǎo)性，又發(fā)

12、揮教師了的主導(dǎo)作用。 2.方式一案例 在學(xué)習(xí)“數(shù)的進(jìn)位制”一節(jié)內(nèi)容（包括十進(jìn)制數(shù)、k進(jìn)制數(shù)、不同進(jìn)制數(shù)的互化）時，教師給定由一小組，讓每組同學(xué)討論本節(jié)課應(yīng)掌握的知識點。（此階段利用課余時間進(jìn)行） 通過研究同學(xué)們認(rèn)為本節(jié)應(yīng)掌握的知識點有：（1）十進(jìn)制數(shù)的表示形式； k進(jìn)制數(shù)的表示形式；二者有何關(guān)系；（2）十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法；k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法；（3）k進(jìn)制小數(shù)化成十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的方法；十進(jìn)制分?jǐn)?shù)化成k進(jìn)制小數(shù)的方法；（4）k進(jìn)制數(shù)的加減乘除運算方法（5）本單元知識的綜合應(yīng)用。由小組一或二個同學(xué)來講?；蛘?個同學(xué)分別講一個知識點。 針對同學(xué)們找出的本節(jié)應(yīng)掌握的知識點，教師給以充分的肯定

13、并加以指導(dǎo)。對學(xué)生的講解進(jìn)行點撥。如k進(jìn)制的加減運算，同學(xué)講的先把k進(jìn)制化為十進(jìn)制，按十進(jìn)制的運算方法得運算結(jié)果，再把結(jié)果化為k進(jìn)制。教師啟發(fā)學(xué)生十進(jìn)制數(shù)的加法逢十進(jìn)一，類比聯(lián)想k進(jìn)制加法逢k進(jìn)一。然后分析這個法則的本質(zhì)，得出k進(jìn)制數(shù)直接進(jìn)行加減運算的方法。 小組指派一人或二人匯報本組合作與探究學(xué)習(xí)的成果，講解學(xué)習(xí)過程中遇到的疑難問題。講解了k進(jìn)制數(shù)加減運算的兩種方法、把十進(jìn)制數(shù)化成k進(jìn)制數(shù)的方法；介紹了綜合除法的原理，講述了二進(jìn)制在八卦和計算機中的應(yīng)用，開闊了同學(xué)們的視野。 3.方式二案例 初等數(shù)論課中的部分內(nèi)容，如整除、素數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、同余等概念，在其他課程中已有涉及，只是沒有初等

14、數(shù)論中講得詳細(xì)、系統(tǒng)，因而學(xué)生已有了一定的了解。對于這部分內(nèi)容我們采取讓學(xué)生講、分組討論，由學(xué)生對這節(jié)課教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法進(jìn)行評論，提出自己的建議，并對如何上這節(jié)課進(jìn)行闡述，最后由老師進(jìn)行總結(jié)、點撥。 四、參與合作式教學(xué)的一些活動成果 （一）在合作學(xué)習(xí)中由不同的章之間的聯(lián)系尋求不同解法教材第一章（整除理論）、第三章（同余方程）和第四章（不定方程）許多內(nèi)容是相互聯(lián)系的，可以借助他們的聯(lián)系尋求不同解法。例如，解一元一次同余方程，同余變形法，書上是右邊變形，我們用左邊變形。 例如，解由兩個一元一次同余方程組成的方程組。學(xué)生在講課時，用的教材上的解法。老師啟發(fā)一下，是否有另外的解法，比教材上的方法簡單

15、。同學(xué)就一起探討，找到了教材上沒有的較簡單的解法。并給出一般性的證明。 例如“物不知數(shù)”問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二 ，問物幾何？ 用列同余方程組，結(jié)合孫子定理來解，也可用列不定方程組來解。學(xué)習(xí)二元一次不定方程時，在課堂上，一個學(xué)生在講其解法后，在老師啟發(fā)下，有同學(xué)探究了它與一元一次同余方程的等價關(guān)系，這是教材里沒有的內(nèi)容，有的學(xué)生找到了用解同余方程的同余變形法來解。 總之，同一問題不同解法的題目很多，通過合作學(xué)習(xí)探究題目的多種解法，認(rèn)識數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性，嚴(yán)謹(jǐn)性?？梢源偈箤W(xué)生從不同角度看問題，養(yǎng)成動腦思考的好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性。 （二）學(xué)生敢于懷疑

16、教材，發(fā)現(xiàn)教材中的錯誤教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要用書，但不是學(xué)習(xí)的唯一憑借，有的教材也不乏錯誤之處。使用的初等數(shù)論教材是教育部推薦的大學(xué)本科小學(xué)教育專業(yè)教材，但也存在一些錯誤和定理不夠嚴(yán)密的問題，可充分利用這一情況，開展參與式合作學(xué)習(xí)活動，對教材中的每一個定理內(nèi)容及每一道例題的解法給以認(rèn)真的研究，加深對知識的理解。如果發(fā)現(xiàn)不當(dāng)之處，同學(xué)一起可查閱有關(guān)資料，獲得正確的結(jié)論。教材P68有兩處錯誤，順數(shù)第10行，中的a應(yīng)改為b，倒數(shù)第4、5行，字母n混淆了。P154，（8，11）1應(yīng)改為（4，11）1，P76，4題（1）題中42368應(yīng)改為42364 有好幾處的自然數(shù)應(yīng)改為正整數(shù)，如定理2.3.3中的 “

17、自然數(shù)h”改為 “正整數(shù)h” ，“所有自然數(shù)x”應(yīng)改為“所有正整數(shù)x”。 （三）學(xué)生在小組合作中學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)史 初等數(shù)論中有較多的數(shù)學(xué)史的素材，如哥德巴猜想，費爾馬數(shù)、梅森數(shù)、完全數(shù)，費爾馬大定理，孫子定理，商高不定方程。小組的同學(xué)通過查閱大量資料，收集了與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史料。 關(guān)于解同余式組的問題, 在我國古代有極光輝的研究成果. 我國古代數(shù)學(xué)家孫子發(fā)明了中外馳名的定理, 在國外譽為中國剩余定理, 在國內(nèi)稱為孫子定理.例如在學(xué)習(xí)一次同余方程時，用孫子定理解“物不知數(shù)”問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二 ，問物幾何？用孫子定理來解。在明朝程大位的算法統(tǒng)宗(1593)

18、里有下面一首詩歌: 三人同行七十稀， 五樹梅花廿一枝， 七子團(tuán)圓整半月， 除百零五便得知。給出了上面“物不知數(shù)”的答案 （四）運用類比遷移發(fā)現(xiàn)結(jié)論 初等數(shù)論中很多內(nèi)容可與中學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)的高等代數(shù)中的知識類比。同余的性質(zhì)與等式的性質(zhì)，算術(shù)基本定理與代數(shù)基本定理，整數(shù)的理論與多項式的理論，代余除法與小學(xué)的有余數(shù)的除法，解代數(shù)方程與解同余方程等。在參與合作式教學(xué)中，教師啟發(fā)同學(xué)，用類比聯(lián)想猜測，再發(fā)現(xiàn)了數(shù)論中的許多結(jié)論。如由等式的性質(zhì)，猜想同余的性質(zhì)，由一元一次方程的解法猜想一元一次同余方程的解法。 五、結(jié)論與存在的問題總之，以上只是自己在小學(xué)教育專業(yè)初等數(shù)論課程教學(xué)中開展參與合作式教學(xué)的一點嘗試和初步探索，盡管還有很多實踐與理論上的問題。但對于培養(yǎng)全程實踐、善于學(xué)習(xí)、高適應(yīng)的應(yīng)用型小學(xué)教育人才是有益的，對加強實踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力,提高小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生的授課能力都是有利的。它有助于擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識。在參與合作式教學(xué)中，學(xué)生接受任務(wù)后，一般表現(xiàn)出主動找教師問問題，如平時學(xué)習(xí)不踏實的，落后的同學(xué)學(xué)習(xí)也較積極了。這種教學(xué)活動對落實因材施教、分層教學(xué)有一定的啟示。同學(xué)既能參與教學(xué)，培養(yǎng)實踐能力