投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)76969

1、投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化模型摘要對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的設(shè)計(jì)需要考慮兩個(gè)目標(biāo)：總體收益盡可能大和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，而這兩個(gè)目標(biāo)在一定意義上是對(duì)立的。本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：通過“最大化策略”，即控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，將原模型簡(jiǎn)化為單目標(biāo)的線性規(guī)劃模型一；在保證一定收益水平下，以風(fēng)險(xiǎn)最小為目標(biāo)，將原模型簡(jiǎn)化為了極小極大規(guī)劃模型二；以及引入風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)加權(quán)，化原模型為單目標(biāo)非線性模型模型三目標(biāo)函數(shù)：約束條件：然后分別使用Matlab對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)水平，收益水平，以及偏好系數(shù)求解三個(gè)模型。針對(duì)模型一，我們通過曲線擬

2、合的方法得出風(fēng)險(xiǎn)水平和收益之間的函數(shù)關(guān)系：，并通過討論函數(shù)導(dǎo)數(shù)和曲率求出一個(gè)對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中性偏好者的最優(yōu)投資組合。對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性偏好者，模型一、二、三的求解結(jié)果完全一致。對(duì)問題一，結(jié)果為：風(fēng)險(xiǎn)水平收益0.0060.201900.240.40.10910.2212對(duì)問題二，結(jié)果為：風(fēng)險(xiǎn)水平收益0.07580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647而對(duì)于其他類別的風(fēng)險(xiǎn)偏好者，模型三對(duì)問題一的求解結(jié)果詳見表3。我們使用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)投點(diǎn)法描出有效投資組合前沿，前沿由直線段組成，通過分析所有取值點(diǎn)的實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義，得出了與我們建立模型求出

3、的解相近的結(jié)果。關(guān)鍵詞：組合投資，多目標(biāo)優(yōu)化模型，風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，曲線擬合，隨機(jī)模擬檢驗(yàn)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化模型一、問題重述投資，是現(xiàn)代人從事最多的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。一般的投資項(xiàng)目較之銀行的儲(chǔ)蓄有較高的匯報(bào)率，但是相應(yīng)也有風(fēng)險(xiǎn)。理性的投資者在追求高利潤的同時(shí)，往往充分考慮投資的風(fēng)險(xiǎn)。組合投資，即“不把雞蛋放在一個(gè)籃子里”的投資策略，可以有效規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。在進(jìn)行多種資產(chǎn)投資時(shí)，人們常常想知道一筆資金該向哪一種資產(chǎn)投資，投資比例是多少，才能使我們的收益達(dá)到最大，并且不用承擔(dān)太大的風(fēng)險(xiǎn)。為了能夠做到這一點(diǎn)，我們?cè)谕顿Y之前必須對(duì)各種資產(chǎn)進(jìn)行分析、估價(jià)，并且始終堅(jiān)持多樣化的原則以減小風(fēng)限。公司財(cái)務(wù)人員經(jīng)過對(duì)資產(chǎn)評(píng)估

4、后，得到了一些基本的數(shù)據(jù)。即，在這一時(shí)期內(nèi)購買的平均收益率為，購買的風(fēng)險(xiǎn)損失率為，以及購買要付的交易費(fèi)率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時(shí)，交易費(fèi)按購買計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（）本題需要我們?cè)O(shè)計(jì)一種投資組合方案，使收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。并給出對(duì)應(yīng)的盈虧數(shù)據(jù)，以及一般情況的討論。二、問題分析這是一個(gè)優(yōu)化問題，要決策的是向每種資產(chǎn)的投資額，即所謂投資組合，要達(dá)到的目標(biāo)有二，凈收益最大和整體風(fēng)險(xiǎn)最小。一般來說這兩個(gè)目標(biāo)是矛盾的，收益大，風(fēng)險(xiǎn)必然也大；反之亦然所以不可能給出這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的所謂的完美決策，我們追求的只能是滿足投資者本

5、身要求的投資組合，即在一定風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，或在一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小的決策，或收益和風(fēng)險(xiǎn)按一定比例組合最優(yōu)的決策。冒險(xiǎn)型投資者會(huì)從中選擇高風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策，保守型投資者則可從低風(fēng)險(xiǎn)下的決策中選取。建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學(xué)符號(hào)和式子表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。對(duì)于本題決策變量是明確的，即對(duì)()的投資份額（表示存入銀行），目標(biāo)函數(shù)之一是總收益最大，目標(biāo)函數(shù)之二是總風(fēng)險(xiǎn)最小。而總風(fēng)險(xiǎn)用投資資產(chǎn)中的最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)衡量。約束條件應(yīng)為總資金的限制。三、基本假設(shè)1、投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越??；2、總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；3、種資產(chǎn)之間是相互獨(dú)立的；4、在投資這一

6、個(gè)時(shí)期內(nèi)，為定值，不受意外因素影響；5、凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受，影響，不受其他因素干擾。四、符號(hào)說明：第 種資產(chǎn)投資資金； ：的平均收益率； ：的風(fēng)險(xiǎn)損失率； ：的交易費(fèi)率； ：的交易定額； ：同期銀行利率；：投資的資金占全部資金的比重即；五、模型建立(1)總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的中的最大一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量，即風(fēng)險(xiǎn)損失率是在一定時(shí)間內(nèi)一定數(shù)目的危險(xiǎn)單位中可能受到損失的程度。 一般情況下，我們認(rèn)為組合投資可以降低風(fēng)險(xiǎn)損失。因?yàn)槎囗?xiàng)投資都發(fā)生風(fēng)險(xiǎn)的概率比較小，我們可以認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)損失率即為實(shí)際損失額與發(fā)生事故件數(shù)的比值?？梢宰C明，兩種不同的組合投資和，若滿足組合中單項(xiàng)投資的最大風(fēng)險(xiǎn)大于組合中單項(xiàng)投資的最大風(fēng)險(xiǎn)，則

7、的總體風(fēng)險(xiǎn)大于的總體風(fēng)險(xiǎn)，即我們可以用組合投資的中單項(xiàng)投資最大風(fēng)險(xiǎn)來衡量。(2)購買所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù)，即此變量出現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)中，使目標(biāo)函數(shù)成為非線性函數(shù)，給求解帶來不便，因此根據(jù)題意進(jìn)行簡(jiǎn)化。我們假設(shè)，求出滿足此假設(shè)的最小投資總額，此時(shí)恒成立，故有。以第一問為例，求得為393元，與相當(dāng)大的比較很小， 更小，可以忽略不計(jì)。也就是，一旦投資到資產(chǎn)，投資額都超過。這樣購買的凈收益為。3、雙目標(biāo)優(yōu)化模型要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個(gè)兩目標(biāo)規(guī)劃模型，可表為目標(biāo)函數(shù)：約束條件：具體計(jì)算時(shí)設(shè)，這時(shí)將看作投資第的比例。通常把它化為單目標(biāo)規(guī)劃模型求解。4、單目標(biāo)優(yōu)化模型在實(shí)際投資中，投資

8、者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不同，若給定一個(gè)界限，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把兩目標(biāo)規(guī)劃變成單目標(biāo)線形規(guī)劃。模型1：固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益目標(biāo)函數(shù)：約束條件：若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。模型2：固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)：約束條件：投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合，因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)收益賦予權(quán)重，稱為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)。模型3：引進(jìn)權(quán)重目標(biāo)函數(shù)：約束條件：六、模型求解與結(jié)果分析利用Matlab軟件，編程求解三個(gè)模型，程序見附錄A。(1) 模型1的結(jié)果分析對(duì)于模型1，風(fēng)險(xiǎn)水平取，結(jié)果如表1所示，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見

9、圖1.從表1看出，對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當(dāng)然較低。對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)水平，總收益自然也高，應(yīng)首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的。我們定義為組合投資獲得的收益。表1模型1的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760

10、.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.

11、640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000圖1模型1中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系從表中數(shù)據(jù)可以看出，越大，越大，即風(fēng)險(xiǎn)越大，收益也越大，這是合乎常理的。另外我們還可以看出，當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與

12、題意也是一致的，冒險(xiǎn)型的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，而保守型的投資者則盡量分散投資。我們對(duì)一系列的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，多次擬合后得到兩者的函數(shù)關(guān)系式為：記此函數(shù)為，由圖和函數(shù)表達(dá)式我們可以看出，盡管當(dāng)增大時(shí)也隨之增大，但是其增長勢(shì)頭也即在一定區(qū)域內(nèi)內(nèi)迅速減少。我們認(rèn)為在發(fā)生相對(duì)劇烈變化的區(qū)間進(jìn)行投資是合理的。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，正常人不會(huì)冒相對(duì)較大的風(fēng)險(xiǎn)去求取相對(duì)很少的收益，即不愿意在的投資區(qū)域進(jìn)行投資，相反，也不會(huì)因?yàn)槎嗝跋鄬?duì)較小的風(fēng)險(xiǎn)，而放棄相對(duì)增加很多的收益，這也就是指的投資區(qū)域。在這里，可以理解為每一個(gè)單位風(fēng)險(xiǎn)所能獲得的收益，可以看出，經(jīng)過急劇減小后，的將會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，也趨向水平，也

13、即每增加一個(gè)單位的風(fēng)險(xiǎn)獲得的收益很小。作為一個(gè)理性投資者，我們確定以區(qū)間上曲率最大的點(diǎn)作為最優(yōu)解點(diǎn)。（也即函數(shù)曲線上最彎曲的點(diǎn)作為所對(duì)應(yīng)的投資方案作為最佳的投資方案。）即對(duì)于曲率公式要求函數(shù)取最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，也就是最佳方案所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。從擬合曲線可估算出區(qū)間為,通過軟件計(jì)算可得，然而我們通過連接折線注意到擬合曲線在折線斜率急劇變化的區(qū)間擬合的不好，因而在這段區(qū)間上我們通過增加坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行小區(qū)間擬合，再次計(jì)算得到時(shí)，其曲率最大，所以我們選擇作為最優(yōu)解，近似為，相應(yīng)的投資組合見表1的黑體所示。用此方法對(duì)于問題2的情形進(jìn)行求解，結(jié)果如圖2所示，該圖表明風(fēng)險(xiǎn)越高，收益也越高，曲率最大的點(diǎn)大約為（0.0

14、7，0.3124）。此時(shí)的投資方案如下：風(fēng)險(xiǎn)度收益S3S4S7S8S9S10S130.070.31240.11670.07910.10290.20960.13130.1750.1522圖2一般情形下，模型1中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系(2) 模型2的結(jié)果分析對(duì)于模型2，收益水平取，結(jié)果如表2所示，風(fēng)險(xiǎn)和收益的關(guān)系見圖3.從表2看出，對(duì)低收益水平，除了存入銀行外，投資首選風(fēng)險(xiǎn)率最低的資產(chǎn)，然后是和，總收益當(dāng)然較低。對(duì)高收益水平，總風(fēng)險(xiǎn)自然也高，應(yīng)首選凈收益率（）最大的和。這些與人們的經(jīng)驗(yàn)是一致的。表2模型2的計(jì)算結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.075

15、30.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.

16、33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600圖3模型2中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系結(jié)合圖3，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)(0.0059，0.2)，這時(shí)對(duì)的投資比例見表2

17、的黑體所示。對(duì)于一般情形的求解結(jié)果，如圖4所示，該圖表明風(fēng)險(xiǎn)越高，收益也越高，拐點(diǎn)大約為(0.007，0.32)。此時(shí)的投資方案如下，可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與模型1的求解結(jié)果類似。風(fēng)險(xiǎn)度收益S3S4S7S8S9S10S130.007580.320.12630.00450.11140.22680.14220.18940.1647圖4一般情形下，模型2中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系(3) 模型3的結(jié)果分析表3 模型3的計(jì)算結(jié)果權(quán)重s風(fēng)險(xiǎn)(%)收益r(%)0.762.475326.732700.99010000.770.922521.648200.37270.6273000.810.992521.648200.3727

18、0.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.9705.00001.00000000從圖5可以看出，模型3的風(fēng)險(xiǎn)與收益關(guān)系與模型1和模型2的結(jié)果幾乎完全一致。 圖5模型3中風(fēng)險(xiǎn)與收益的關(guān)系 圖6模型3中風(fēng)險(xiǎn)與偏好系數(shù)的關(guān)系圖7模型3中收益與偏好系數(shù)的關(guān)系七、 模型的檢驗(yàn)和討論(1) 計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)我們使用隨機(jī)模擬仿真的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)投點(diǎn)法描出有效投資組合前沿，前沿由直線段組

19、成，通過分析所有取值點(diǎn)的實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義，希望得出與我們建立模型求出的解相近的結(jié)果。首先考慮對(duì)于四項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合投資問題，在計(jì)算中我們利用計(jì)算機(jī)模擬的方法對(duì)可能的投資組合進(jìn)行隨機(jī)模擬，繪制出圖8。其中橫軸表示總體風(fēng)險(xiǎn)率，縱軸表示總體收益率。圖8 隨機(jī)模擬風(fēng)險(xiǎn)-收益數(shù)據(jù)圖對(duì)每一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的資產(chǎn)組合，我們把該組合的總體風(fēng)險(xiǎn)和收益用風(fēng)險(xiǎn)-收益圖中的點(diǎn)來表示，圖中黑色部分近似地表示了4項(xiàng)構(gòu)成的各種資產(chǎn)組合的集合。投資者的任何一種投資組合對(duì)應(yīng)圖中一個(gè)點(diǎn)，我們觀察到在這個(gè)區(qū)域的邊緣存在折線ABC。在折線內(nèi)部，對(duì)于投資者的任何一種投資選擇，我們都能找到一種組合比其具有更高的收益和更低的風(fēng)險(xiǎn)，即找到一個(gè)點(diǎn)在其左

20、上方。因此投資者將只在折線ABC上選擇投資組合，我們稱ABC即為此投資組合問題的效率前沿。圖中AB段斜率最大，故在此段上增加單位風(fēng)險(xiǎn)收益增量最大。B的坐標(biāo)可以通過局部細(xì)化模擬得出近似值為，與我們求出的結(jié)果非常相近。（2）穩(wěn)定性分析為了考察模型的穩(wěn)定性和適用性，我們對(duì)銀行利率進(jìn)行改動(dòng)，分別選擇0.05，0.1，0.15三個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行考察。表4 穩(wěn)定性分析數(shù)據(jù)表s=0.1時(shí)s=0.5時(shí)s=1時(shí) 0.050.267 00.267 00.05 10.100.267 00.267 00.10 10.150.267 00.267 00.15 1表4的數(shù)據(jù)是通過模型3計(jì)算得出的，可以看出在合理的情況下銀行利率

21、的小幅上漲并不影響投資者的投資方向，因而模型通過了穩(wěn)定性考察。(4) 靈敏度分析在我們所建立的線性規(guī)劃模型中，假定參數(shù)、都是常數(shù)，但是實(shí)際上這些系數(shù)往往是估計(jì)值和預(yù)測(cè)值，市場(chǎng)和人為因素對(duì)這類參數(shù)的確定有一定的影響，當(dāng)、有微小變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化是否會(huì)很大？因此需要進(jìn)行靈敏度分析。不妨在時(shí)，使、有小的增長，利用模型1求出函數(shù)的變化幅度。結(jié)果見下表。表5 靈敏度分析數(shù)據(jù)表增長幅度增長幅度值變化幅度1%01.1%2%02.2%5%05.5%10%011%00-0.7%02%-1.4%05%-3.4%010%6.5%10%10%3.4%5%10%1.5%對(duì)表中數(shù)據(jù)分析可知，、微小的增長對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影

22、響不大，表明模型通過了靈敏度檢驗(yàn)。(5) 模型評(píng)價(jià)本文我們建立了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，通過控制風(fēng)險(xiǎn)使收益最大，保證收益使風(fēng)險(xiǎn)最小，以及引入收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，將兩目標(biāo)模型化為了單目標(biāo)模型，并使用Matlab求解，所得結(jié)果具有一定的指導(dǎo)意義。但是，本文沒有討論收益和風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估方法，在實(shí)際應(yīng)用中還存在資產(chǎn)相關(guān)的情形，此時(shí)，用最大風(fēng)險(xiǎn)代表組合投資的風(fēng)險(xiǎn)未必合理，因此，對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)度量下的最優(yōu)投資組合進(jìn)行比較研究是進(jìn)一步的改進(jìn)方向。八、 參考文獻(xiàn)1赫孝良，戴永紅.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽：賽題簡(jiǎn)析與論文點(diǎn)評(píng).西安：西安交通大學(xué)出版社，2002.6.2蕭樹鐵.面向21世紀(jì)課程教材：大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：高等

23、教育出版社，1999.7.3陳叔平，譚永基.一類投資組合問題的建模與分析.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 7：45-49，1999.九、附錄AMatlab程序(1) 模型一求解Matlab程序function result=lp1(k)f=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;A=0 0 0 0 0 0 0.025 0 0 0 0 0 0.015 0 0 0 0 0 0.055 0 0 0 0 0 0.026; b=k;k;k;k;k; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; vlb=zeros(5,1); vub=; x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) k end(2) 模型二求解Matlab程序function result=lp2(d)b1=-d; b2=zeros(5,1); f=0 0 0 0 0 1; A=0 0 0 0 0 -1 0 0.025 0 0 0 -1 0 0 0.015 0 0 -1 0 0 0 0.055 0 -1 0 0 0 0 0.026 -1 -0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; b=b2;b1; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.