排列組合典型例題

1、典型例題一例1用0到9這10個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？解法1:當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“ 0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來排列，故有A個(gè)；當(dāng)個(gè)位上在“ 2、4、6、8”中任選一個(gè)來排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一 個(gè)，百位，十位上再從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來排，按乘法原理有a4 A8 As (個(gè))沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A； +a4 a8 A； =504 +1 792229個(gè)典型例題二例2三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排(1) 如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2) 如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3) 如果兩端都不能排女生，可有多少

2、種不同的排法？(4) 如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這. . 6樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有人種不同排法.對于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有 A對種不同的排法，因此共有 A A = 4320種不同的排法.(2) (插空法)要保證女生全分開， 可先把五個(gè)男生排好，每兩個(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔.這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三 個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有As種不同排

3、法，對于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來讓三個(gè)女生插入都有A種方法，因此共有 A A(3 =14400種不同的排法.(3) 解法1:(位置分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有Af種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有As種排法，所以共有A aS =14400種不同的排法.(4) 解法1:因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有 a5 a7種不同的排法；如果首位排女生，有 a1種排法，這時(shí)末位就 只能排男生，有a5種排法，首末兩端任意排定一種情況后， 其余6位都有 A種不同的排法， 這樣可有a3 a5

4、aS5種不同排法.因此共有 a5 A + a3 a1識：=36000種不同的排法. 8 2 6解法2:3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有 As種排法，從中扣去兩端都是女生排法 A3 As種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有A8 - A； A = 36000種不同的排法.典型例題三例3排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。(1 )任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2) 歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？5解：(1 )先排歌唱節(jié)目有 As種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有 A中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A A = 43200.

5、(2)先排舞蹈節(jié)目有 A：中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供 5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A A = 2880種方法。典型例題四例4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第 一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法.分析與解法1： 6六門課總的排法是 A，其中不符合要求的可分55為：體育排在第一書有 A種排法，如圖中i；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有 A5種排法，如圖中n；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中川，這種情況有A：種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：654A -2A5 A4

6、-504 (種).典型例題五例5現(xiàn)有3輛公交車、3位司機(jī)和3位售票員，每輛車上需配1位司機(jī)和1位售票員.問 車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把3輛車看成排了順序的三個(gè)空：，然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問題.解：分兩步完成.第一步，把 3名司機(jī)安排到3輛車中，有Af =6種安排方法；第二步把3名售票員安排到3輛車中，有 啟=6種安排方法故搭配方案共有33A3 A3 -36 種.典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有4所重點(diǎn)院校，每所院校有 3個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇. 若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)

7、也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？學(xué)校1專業(yè)112212312解：填表過程可分兩步.第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有 A4種不同的排法；第二步，從每所院校的3個(gè)專業(yè)中選出2個(gè)專業(yè)并確定其2 2 2順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有a a3a3種.綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：A4 A A 兀=5184種.典型例題七例57名同學(xué)排隊(duì)照相.(1) 若分成兩排照，前排 3人，后排4人，有多少種不同的排法？(2) 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三

8、人必須相鄰，有多少種不同的排法？若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？ 解: (1) A； A：=5040 種.第一步安排甲，有 A3種排法；第二步安排乙，有 a4種排法；第三步余下的5人排在 剩下的5個(gè)位置上，有A55種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有 A1 a4 a5 =1440 種.(3) 第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余 4個(gè)元素排成一排，即看成 5個(gè)元素的 全排列問題，有 a5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有 a；種排法.由分步計(jì) 數(shù)原理得，共有 A5心=720種排法.(4) 第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第

9、二步，女生插空，即將3名女生插入4名3男生之間的5個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰， 易知有 乓種插入方法.由分步計(jì)數(shù)原理得， 符合條件的排法共有：A： A3 = 1440種.典型例題八例8從2、3 4、5、6五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和.解：形如 麗習(xí)的數(shù)共有 A個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2 ”產(chǎn)生的和是 A 2 ;形如祀的數(shù)也有 A個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2 ”產(chǎn)生的和是 A：2 10 ；形如 麗陽的數(shù)也有 A4 個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“ 2 ”產(chǎn)生的和應(yīng)是 A 2 100 .這樣在所有三位數(shù)的和中， 由“ 2 ” 產(chǎn)生的和是A4" 2111 .同理

10、由3 4、5、6產(chǎn)生的和分別是A4" 3 111 , A2 4111 ,A2 5 111 , A： 6 111，因此所有三位數(shù)的和是A；2 111 (2 3 4 5 6H 26640 .典型例題九例9計(jì)算下列各題：m -1 n -m26An _1 An m(1) A15 ；(2) A ；(3) -nj；An123n1(4) 1! 2 2! 3 3! n n!(5) 亠 亠 亠 亠2! 3! 4!n!解： a25 =15 14=210 ； (2) A(6 =66 5 4 3 2 1 = 720; (n 1)!1 (n 1)!1(3)原式(n - m)!(n - m)!1 ;n 1(m1

11、)!(n 1) ! (n m)!(n 1)!(4)原式二(2! -1)(3! - 2!)(4 ! -3!)(n1) ! -n ! = (n 1) ! -1 ; n J 1 - 11 .2 3一1n! (n 1)!n! 2! 3! 4!n!111111 1 1 1=-+ - + - + + = 1 _ 1!2!2!3!3!4! (n -1) ! n! n本題計(jì)算中靈活地用到下列各式：n ! = n(n -1)! ; nn !=( n，1)!- n! ; n11；使問題解得簡單、 快捷.n ! (n 1)! n !典型例題十例10 a,b,c,d,e,f六人排一列縱隊(duì)，限定 a要排在b的前面（a與

12、b可以相鄰， 也可以不相鄰），求共有幾種排法對這個(gè)題目，A、B、C、D四位同學(xué)各自給出了一種算式：A的算式是-A6 ; B的算式是（A；+冗+冗+A： + a5）A4 ； C的算式是A ；2D的算式是C2 A4 上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由.解：A中很顯然，“ a在b前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“b在a前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這表明：A的算式正確.B中把六人排隊(duì)這件事劃分為 a占位，b占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到 a占位的狀況決定了 b占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng) a占據(jù)第一個(gè)位置 時(shí)，b占位方法

13、數(shù)是 A5 ；當(dāng)a占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是 A； ” ；當(dāng) a占據(jù) 第5個(gè)位置時(shí)，b占位的方法數(shù)是 A ,當(dāng)a , b占位后，再排其他四人，他們有A種排法， 可見B的算式是正確的.C中A；可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓c, d ,e, f占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置 依前后順序應(yīng)是a ,b的因此C的算式也正確.2D中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù) C6,這兩個(gè)位置讓a,b占據(jù)，顯然，a , b占 據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（ a要在b的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有 a4種 排法，可見D的算式是對的.說明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)D的解法.典型例題十一例11八個(gè)人分

14、兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排， 共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐 在前排的八人坐法”兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：A2 a2 a5 +a" a4=8 640（種）解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八 人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是a4 A 在這種前提下，不合題意的方法是“甲 坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法.”這個(gè)數(shù)目是a1 c2 a3冗

15、人5 .其中第一個(gè)因數(shù)A表示甲坐在第一排的方法數(shù)，c2表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，A表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)a4則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，a5就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為AA4 a7 _a4 c2 a3 A： A5 =8 640（種）說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí).典型例題十二例12計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成 一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（ ）a a4 a5 b AA4a5c c3a4a5d A2a4a5解：將同一品種的畫“捆”

16、在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有A；種排列.但 4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有A A44 A種陳列方式.應(yīng)選D 說明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若 干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來解答的 問題典型例題十三例13由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）A 210 B 300 C 464 D 600解法1：（直接法）：分別用1,2,3,4,5作十萬位的排列數(shù)，共有 5

17、 A；5種，所以其中1個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有1 5 a5 = 300個(gè)2解法2:（間接法）：取0,1，5個(gè)數(shù)字排列有 A，而0作為十萬位的排列有 A，所 以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有丄（A： -岸）=300（個(gè)）2應(yīng)選B 說明：（1）直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或這時(shí)應(yīng)考慮能間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩， 否用間接法來解.(2) “個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與"個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六 位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙

18、的左側(cè)，共有多少種排法.典型例題十四例14用1,2,3,4,5，這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有().A . 24 個(gè) B . 30 個(gè) C . 40 個(gè) D . 60 個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷.解法1:分類計(jì)算.將符合條件的偶數(shù)分為兩類.一類是2作個(gè)位數(shù)，共有 Af個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，2 2 2也有A4個(gè)因此符合條件的偶數(shù)共有A A4 =24個(gè).解法2：分步計(jì)算.先排個(gè)位數(shù)字，有A2種排法，再排十位和百位數(shù)字， 有A：種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有 A；=24個(gè).解法

19、3:按概率算.用1-5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有Af = 60個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的22一.因此三位偶數(shù)共有 60 一 =24個(gè).55解法4:利用選擇項(xiàng)判斷.用1-5這5個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有Af = 60個(gè).其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于 30個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有A符合條件.應(yīng)選A .典型例題十五例 15 (1)計(jì)算 A； +2Af +3A3 + +8A：.求Sn =1!2!3 n ! (n 一 10)的個(gè)位數(shù)字.分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮.在(1)中，項(xiàng)可

20、抽象為 nA；=(n+1_1)An=(n+1)A；門厲“二人辛一人；,(2) 中， 項(xiàng) 為n! = n(n -1)(n -2)3 2 1，當(dāng)n _ 5時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2,積的個(gè)位數(shù)為0,在加法運(yùn)算中可不考慮.解：由n卞=(n 1)! n!原式=2!_1!3!_2!9!_8!=9!_1! = 362879 .當(dāng)n_5時(shí)，n!=n(n-1)(n-2) 3 2 1的個(gè)位數(shù)為0, Sn = 1! 2 ! 3 !亠 亠n! ( n _ 10)的個(gè)位數(shù)字與1!2 !3 ! 4 !的個(gè)位數(shù)字相同.而1!2!3!433 , Sn的個(gè)位數(shù)字為3.說明：對排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證

21、:123n11，我們首先可抓等式右邊的2!3!4!(n 1)! (n 1) !n n 1-1 n11_ 11(n 1)! " (n 1)! 一(n 1)! (n 1)! 一 n! (n 1)!左邊=12!2!3! 1 (n 1)! (n 1) !典型例題十六例16用0、1、2、3、4、5共六個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè) 無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？ (2)可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？分析：3位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字 0，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用 0或者用2、4進(jìn)行分類.一個(gè)自然數(shù)能被3整 除的條

22、件是所有數(shù)字之和是 3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要 注意就用與不用數(shù)字 0進(jìn)行分類.解：(1)就個(gè)位用0還是用2、4分成兩類，個(gè)位用 0，其它兩位從1、2、3、4中任取兩數(shù)排列，共有Af=12(個(gè))，個(gè)位用2或4 ,再確定首位，最后確定十位，共有2 4 4 = 32(個(gè))，所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12 32 =44(個(gè)).從0、1、2、3、4、5中取出和為3的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：(0 12)、(0 15)、(0 2 4)、(0 4 5)、(12 3)、(1 3 5)、(2 3 4)、(3 4 5)，前四組中有 0,后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4 2 a|=16(個(gè))，如果用后 四組，共有4 A； =24（個(gè)），所有被3整除的三位數(shù)的總數(shù)為 16 - 24 = 40（個(gè)）.典型例題十七例