本章的重點(diǎn)1.邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.邏輯代數(shù)

1、1 本章的重點(diǎn)：本章的重點(diǎn)： 1邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式。邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式。 2邏輯代數(shù)的基本定理。邏輯代數(shù)的基本定理。 3邏輯函數(shù)的各種表示方法。邏輯函數(shù)的各種表示方法。 4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法。 5約束項(xiàng)、任意項(xiàng)、無(wú)關(guān)項(xiàng)的概論以及無(wú)關(guān)項(xiàng)在化約束項(xiàng)、任意項(xiàng)、無(wú)關(guān)項(xiàng)的概論以及無(wú)關(guān)項(xiàng)在化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用。簡(jiǎn)邏輯函數(shù)中的應(yīng)用。 6“最小項(xiàng)最小項(xiàng)”和和“任何一個(gè)邏輯函數(shù)式都有可以化任何一個(gè)邏輯函數(shù)式都有可以化為最小項(xiàng)之和形式為最小項(xiàng)之和形式”是兩個(gè)非常重要的概念，在邏輯函是兩個(gè)非常重要的概念，在邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)和變換中經(jīng)常用到。數(shù)的化簡(jiǎn)和變換中經(jīng)常用到。 本章的難點(diǎn)

2、：本章的難點(diǎn)： 稍微難理解一點(diǎn)的是約束、任意項(xiàng)、無(wú)關(guān)項(xiàng)這幾個(gè)概稍微難理解一點(diǎn)的是約束、任意項(xiàng)、無(wú)關(guān)項(xiàng)這幾個(gè)概念。念。第一章第一章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2第一節(jié)第一節(jié) 概述概述邏輯代數(shù)的產(chǎn)生：邏輯代數(shù)的產(chǎn)生： 1849年英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治年英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾布爾(George Boole)首先提出，首先提出，用來(lái)描述客觀事務(wù)邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法用來(lái)描述客觀事務(wù)邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法稱為稱為布爾代數(shù)布爾代數(shù)。 后來(lái)被廣泛用于開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，后來(lái)被廣泛用于開(kāi)關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，所以也稱為所以也稱為開(kāi)關(guān)代數(shù)開(kāi)關(guān)代數(shù)或或邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)。 邏輯代數(shù)中用字母表示變量邏輯代數(shù)中

3、用字母表示變量邏輯變量邏輯變量，每個(gè)邏輯變量的，每個(gè)邏輯變量的取值只有兩種可能取值只有兩種可能0和和1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)常數(shù)。常數(shù)。0和和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。第一章第一章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3第二節(jié)第二節(jié) 邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）。三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）。1.與運(yùn)算與運(yùn)算可用開(kāi)關(guān)圖來(lái)說(shuō)明：可用開(kāi)關(guān)圖來(lái)說(shuō)明：ABY 該圖代表的邏輯關(guān)系是：決該圖代表的邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件都滿足時(shí)，定事件的全部條件都滿足時(shí)，事件才發(fā)

4、生事件才發(fā)生這就是這就是與與邏輯邏輯關(guān)系。關(guān)系。 用用1表示開(kāi)關(guān)接通，表示開(kāi)關(guān)接通，1表示燈表示燈亮，可得如下亮，可得如下真值表真值表： 在函數(shù)式中，用在函數(shù)式中，用. 表示與運(yùn)表示與運(yùn)算，記做算，記做Y=A.B 或或Y=AB邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：&ABYABY只有輸入全為只有輸入全為1時(shí)，輸出才為時(shí)，輸出才為1它們都有集成門(mén)電路與之對(duì)應(yīng)。它們都有集成門(mén)電路與之對(duì)應(yīng)。ABY00001010011142.或運(yùn)算或運(yùn)算ABY 該圖代表的邏輯關(guān)系是：決該圖代表的邏輯關(guān)系是：決定事件的全部條件至少有一個(gè)定事件的全部條件至少有一個(gè)滿足時(shí)，事件就發(fā)生滿足時(shí)，事件就發(fā)生這就這就是是或或邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)

5、系。輸入有一個(gè)為輸入有一個(gè)為1時(shí)，輸出就為時(shí)，輸出就為1 在函數(shù)式中，用在函數(shù)式中，用 表示或表示或運(yùn)算，記做運(yùn)算，記做Y=AB邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：ABY1ABY+真值表真值表ABY00001110111153.非門(mén)非門(mén)ARY 該圖代表的邏輯關(guān)系是：決該圖代表的邏輯關(guān)系是：決定事件的條件滿足時(shí)，事件不定事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生發(fā)生這就是這就是非非邏輯關(guān)系。邏輯關(guān)系。真值表真值表 在函數(shù)式中，用在函數(shù)式中，用_ 表示非表示非運(yùn)算，記做運(yùn)算，記做Y=A邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：A1YAY國(guó)外符號(hào)：國(guó)外符號(hào)：ABYABYAY與門(mén)與門(mén)非門(mén)非門(mén)ABYABYAY與門(mén)與門(mén)非門(mén)非門(mén)或門(mén)或門(mén)AY011064.一些

6、常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算一些常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算 用兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。包括用兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。包括與非、或非與非、或非、與或非、異或和同或與或非、異或和同或運(yùn)算。和三個(gè)基本運(yùn)算一樣，它們都有運(yùn)算。和三個(gè)基本運(yùn)算一樣，它們都有集成門(mén)電路與之對(duì)應(yīng)。集成門(mén)電路與之對(duì)應(yīng)。 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A B A B A+B AB A B真值表：真值表：(除與或非運(yùn)算外）除與或非運(yùn)算外）邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：&1=1=ABYABYABYABYYBAYBAYBAYBA國(guó)外符號(hào)：國(guó)外符號(hào)：互為互為非非邏輯關(guān)系邏輯關(guān)

7、系7與或非邏輯與或非邏輯 A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0函數(shù)式形如：函數(shù)式形如： Y= AB + CD&1ABCDY邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)： A與與B等于等于1，或者，或者C與與D等于等于1，Y等于等于0。真值表：真值表：異或的邏輯式：異或的邏輯式：同或的邏輯式：同或的邏輯式：Y=AB+

8、ABY=A B + A B8第三節(jié)第三節(jié) 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式關(guān)于常數(shù)之間的運(yùn)算在真值表中已給出。下面的公式中都有變量：關(guān)于常數(shù)之間的運(yùn)算在真值表中已給出。下面的公式中都有變量：0.A=01+A=11.A=A0+A=AA.A=AA+A=AA.A=0A+A=1A.B=B.AAB=BA交換律交換律A.(B.C )=(A.B).C結(jié)合律結(jié)合律A(BC)=(AB)+CA.(B+C )=A.B+ACABC=(AB)(A+C)分配律分配律A=AA.B=A+BAB=A.B摩根定理摩根定理我們用真值表證明我們用真值表證明分配律分配律的第二個(gè)公式：的第

9、二個(gè)公式：還原律還原律互補(bǔ)律互補(bǔ)律重疊律重疊律0 19A B C B.C A+ BC A+BA+C(A+B)(A+C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1其他公式的證明請(qǐng)同學(xué)自己完成。其他公式的證明請(qǐng)同學(xué)自己完成。ABC=(AB)(A+C)10二、若干常用公式二、若干常用公式A + AB = A證：左證：左A(1+B)=A .1=A吸收律吸收律1吸收律吸收律2證：左證：左 (A+A)(A+B)

10、=A+BA B+AB = AA B+AB = A證：左證：左A(B+B)=A .1=AA B+AC+BC = AB+AC冗余項(xiàng)定理冗余項(xiàng)定理推論：推論：=AB+AC+ABC+ABC=右右A + AB = A+BA + AB = A+BA AB =A BA AB =A證：證：A B+AC =A B+A C=A B+AC+B C =右右證：證：左左 A B+AC+BC(A+A)A B+AC+BCD = AB+AC左左AB A C=(A+B)(A+C)摩根定理摩根定理11第四節(jié)第四節(jié) 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理一、代入定理一、代入定理 定理：在任何一個(gè)包含邏輯變量定理：在任何一個(gè)包含邏輯變

11、量A的等式中，若以另外一個(gè)邏的等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。的位置，則等式仍然成立。例如：將摩根定理例如：將摩根定理 中中 A.B=A+BB用用C.D代入，有代入，有A.B=A.CD =A+CD=A+C+DA.B=A.CD =A+CD=A+C+D 上式說(shuō)明摩根定理可推廣到上式說(shuō)明摩根定理可推廣到3個(gè)變量。當(dāng)然也可推廣到任意個(gè)變量。當(dāng)然也可推廣到任意個(gè)變量。個(gè)變量。二、反演定理二、反演定理注：稱注：稱A為原變量，為原變量，A為反變量。為反變量。 定理：定理： 對(duì)于任意一個(gè)邏輯式對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的，若將其中所有的 和交換，和交換，

12、 0 和和1交換，原變量和反變量交換，交換，原變量和反變量交換， 得到的結(jié)果就是得到的結(jié)果就是Y。該定理可簡(jiǎn)單記為：該定理可簡(jiǎn)單記為： +，0 1，A A 。12注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：1.邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序：括號(hào)，與，或邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序：括號(hào)，與，或, 異或。異或。 2.多個(gè)變量上的非號(hào)的處理：可保持不變；也可用代入法處理。多個(gè)變量上的非號(hào)的處理：可保持不變；也可用代入法處理。例如：例如：已知：已知：Y=A(B+C)+ CD則：則： =(A + B C) CD = A CD或者，令或者，令E=CD 代入上式代入上式Y(jié)=(A + B C) C+DY=(A + B C) C+DY=(A + B C

13、) EY=(A + B C) CD所以：所以：13三、對(duì)偶定理三、對(duì)偶定理對(duì)偶式的定義：對(duì)偶式的定義：Y=A(B+C) =A+BCY很明顯很明顯Y 也是也是 的對(duì)偶式。的對(duì)偶式。Y例如：例如： 定義定義： 對(duì)于任意一個(gè)邏輯式對(duì)于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的，若將其中所有的 和交換，和交換，0和和1交換，得到的結(jié)果就是交換，得到的結(jié)果就是Y的對(duì)偶式，記做的對(duì)偶式，記做 。YZ=AB+AC =(A+B)(A+C)Z對(duì)偶定理對(duì)偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。：若兩邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。在上面的例子中，根據(jù)分配律在上面的例子中，根據(jù)分配律 Y=Z，再根據(jù)對(duì)偶定理有：，再根

14、據(jù)對(duì)偶定理有：=ZY即即 A+BC=(A+B)(A+C) 這就從分配律的第一個(gè)公式直接推出第二個(gè)公式。這就從分配律的第一個(gè)公式直接推出第二個(gè)公式。 從對(duì)偶定理可看出，只要一個(gè)邏輯函數(shù)式的變量數(shù)不少于兩從對(duì)偶定理可看出，只要一個(gè)邏輯函數(shù)式的變量數(shù)不少于兩個(gè)（含反變量），它就一定存在對(duì)偶式。個(gè)（含反變量），它就一定存在對(duì)偶式。14第五節(jié)第五節(jié) 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法 事務(wù)間的因果關(guān)系是一種邏輯關(guān)系，可用邏輯函數(shù)表示。事務(wù)間的因果關(guān)系是一種邏輯關(guān)系，可用邏輯函數(shù)表示。如：前面介紹的燈與開(kāi)關(guān)間的邏輯關(guān)系。如：前面介紹的燈與開(kāi)關(guān)間的邏輯關(guān)系。 又如舉重裁判的例子：設(shè)有三個(gè)裁判，分別用又

15、如舉重裁判的例子：設(shè)有三個(gè)裁判，分別用A,B,C表示，其表示，其中中A是主裁判。規(guī)定至少有兩個(gè)裁判確認(rèn)（其中必須包含主裁判）是主裁判。規(guī)定至少有兩個(gè)裁判確認(rèn)（其中必須包含主裁判）時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的試舉才算成功。當(dāng)用時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的試舉才算成功。當(dāng)用Y表示舉重結(jié)果時(shí)，表示舉重結(jié)果時(shí)，Y與與A,B,C的邏輯關(guān)系可表示為：的邏輯關(guān)系可表示為：Y=A(B+C)這就是一個(gè)邏輯函數(shù)的例子。這就是一個(gè)邏輯函數(shù)的例子。一、邏輯函數(shù)一、邏輯函數(shù)又如，三變量多數(shù)表決邏輯。也是邏輯函數(shù)的例子。又如，三變量多數(shù)表決邏輯。也是邏輯函數(shù)的例子。二、邏輯函數(shù)的表示方法二、邏輯函數(shù)的表示方法常用的有四種：常用的有四種：真值表；邏輯函數(shù)

16、式；邏輯圖；卡諾圖。真值表；邏輯函數(shù)式；邏輯圖；卡諾圖。15本節(jié)介紹前三種，將卡諾圖留在下節(jié)介紹。本節(jié)介紹前三種，將卡諾圖留在下節(jié)介紹。1.真值表真值表舉重裁判的真值表：舉重裁判的真值表：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 左側(cè)是左側(cè)是輸入變量輸入變量的所有取值，右側(cè)的所有取值，右側(cè)是是輸出變量輸出變量的值，即函數(shù)值。的值，即函數(shù)值。當(dāng)輸入變量個(gè)數(shù)為當(dāng)輸入變量個(gè)數(shù)為n時(shí)，真值表共有時(shí)，真值表共有2n行。行。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 描述邏輯問(wèn)題方便；描述邏輯問(wèn)題方便；直觀；直觀；較繁瑣。較繁瑣。2.函數(shù)式函數(shù)式舉重

17、裁判的函數(shù)式：舉重裁判的函數(shù)式：Y=A(B+C)特點(diǎn)：特點(diǎn)：便于運(yùn)算、化簡(jiǎn)；便于運(yùn)算、化簡(jiǎn)；便于畫(huà)邏輯圖；便于畫(huà)邏輯圖；不便從邏輯問(wèn)題直接得到。不便從邏輯問(wèn)題直接得到。163.邏輯圖邏輯圖舉重裁判函數(shù)的邏輯圖：舉重裁判函數(shù)的邏輯圖：特點(diǎn)：特點(diǎn)：便于用電路實(shí)現(xiàn)。便于用電路實(shí)現(xiàn)。&1AYBC4.各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換真值表真值表函數(shù)式函數(shù)式邏輯圖邏輯圖 黑箭頭容易實(shí)現(xiàn)。籃箭頭不能直接實(shí)現(xiàn)，可借助函數(shù)黑箭頭容易實(shí)現(xiàn)。籃箭頭不能直接實(shí)現(xiàn)，可借助函數(shù)式實(shí)現(xiàn)。下面要重點(diǎn)介紹紅箭頭，即由真值表求函數(shù)式。式實(shí)現(xiàn)。下面要重點(diǎn)介紹紅箭頭，即由真值表求函數(shù)式。三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)

18、形式三、邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式分別是邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式分別是與或式與或式和和或與式或與式，我們重點(diǎn)，我們重點(diǎn) 介紹與或式。首先，介紹介紹與或式。首先，介紹最小項(xiàng)最小項(xiàng)和和最大項(xiàng)最大項(xiàng)。Y=A(B+C)17（一）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)（一）最小項(xiàng)和最大項(xiàng) 我們只介紹最小我們只介紹最小項(xiàng)。最大項(xiàng)留給同學(xué)項(xiàng)。最大項(xiàng)留給同學(xué)自己看。自己看。1.最小項(xiàng)的定義：最小項(xiàng)的定義： 在在n變量邏輯函變量邏輯函數(shù)中，若數(shù)中，若m為包含為包含n個(gè)因子的個(gè)因子的與項(xiàng)與項(xiàng)，且，且這些變量均以原變這些變量均以原變量或反變量的形式量或反變量的形式出現(xiàn)一次，則稱出現(xiàn)一次，則稱m為為該組變量的最小項(xiàng)。該組變

19、量的最小項(xiàng)。 此時(shí)此時(shí)AB、A都不是最小項(xiàng)。都不是最小項(xiàng)。m7 7 1 1 1A B Cm6 6 1 1 0A B Cm5 5 1 0 1A B Cm4 4 1 0 0A B Cm3 3 0 1 1A B Cm2 2 0 1 0A B Cm1 1 0 0 1A B Cm0 0 0 0 0A B C A B C編編號(hào)號(hào)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)十進(jìn)十進(jìn)制數(shù)制數(shù)使最小項(xiàng)為使最小項(xiàng)為1的值的值最小項(xiàng)最小項(xiàng) 以三變量為例，以三變量為例，如表。如表。182.最小項(xiàng)的性質(zhì)：最小項(xiàng)的性質(zhì)： （1）對(duì)應(yīng)輸入變量的任何取值，都會(huì)有一個(gè)最小項(xiàng)，且僅有一）對(duì)應(yīng)輸入變量的任何取值，都會(huì)有一個(gè)最小項(xiàng)，且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為個(gè)最小項(xiàng)的值為

20、1；（2）全體最小項(xiàng)之和為）全體最小項(xiàng)之和為1；（3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積為）任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積為0；（4）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，且消去一對(duì)因）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，且消去一對(duì)因子。子。定義：如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不相同，則稱之為邏輯相鄰。定義：如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不相同，則稱之為邏輯相鄰。例：例：ABC和和ABC是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，當(dāng)它們相加時(shí)，是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，當(dāng)它們相加時(shí)，會(huì)消去變量會(huì)消去變量C ：ABC+ABC=AB 下面要介紹的卡諾圖就是利用最小項(xiàng)的這一性質(zhì)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)下面要介紹的卡諾圖就是利用最小項(xiàng)的這一性質(zhì)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的。的。 利用性質(zhì)（利用

21、性質(zhì)（1）可以從真值表求出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。）可以從真值表求出邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式。 關(guān)于最大項(xiàng)和邏輯函數(shù)的關(guān)于最大項(xiàng)和邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與式標(biāo)準(zhǔn)或與式留給同學(xué)自學(xué)。留給同學(xué)自學(xué)。ABC.ABC=019（二）邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式（二）邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和標(biāo)準(zhǔn)形式A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 操作方法：將函數(shù)值為操作方法：將函數(shù)值為1的的行行對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的最小最小項(xiàng)項(xiàng)取出相加。取出相加。 以舉重裁判邏輯為例。以舉重裁判邏輯為例。Y=1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)m5、m6、m7三個(gè)最小項(xiàng)，固有：三個(gè)最小項(xiàng)，固有

22、：Y= ABC + ABC + ABC簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成Y=m5+m6+m7或或Y=)7 , 6 , 5(m或或)7 ,6 , 5(Y將非標(biāo)準(zhǔn)形式化成標(biāo)準(zhǔn)形式：將非標(biāo)準(zhǔn)形式化成標(biāo)準(zhǔn)形式：Y=AB+AC=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC規(guī)律：規(guī)律：少少1個(gè)變量，化成個(gè)變量，化成2個(gè)最小項(xiàng)之和；個(gè)最小項(xiàng)之和；少少2個(gè)變量，化成個(gè)變量，化成4個(gè)最小項(xiàng)之和；個(gè)最小項(xiàng)之和；少少n個(gè)變量，化成個(gè)變量，化成2n個(gè)最小項(xiàng)之和。個(gè)最小項(xiàng)之和。20第六節(jié)第六節(jié) 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法一、一、 邏輯函數(shù)式最簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)式最簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn) 化簡(jiǎn)的意義：將邏輯函數(shù)化成最簡(jiǎn)形式便于在用電路

23、實(shí)現(xiàn)時(shí)化簡(jiǎn)的意義：將邏輯函數(shù)化成最簡(jiǎn)形式便于在用電路實(shí)現(xiàn)時(shí)節(jié)省器件。節(jié)省器件。 邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式，邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式，或非或非式等等?；蚍腔蚍鞘降鹊取B+AC 與或式與或式=AB AC 與非與非式與非與非式兩次取反兩次取反=A(B+C) 或與式或與式=AB+C 或非或非式或非或非式兩次取反兩次取反與或式使用最多，因此我們只討論與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)：與或式使用最多，因此我們只討論與或式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)：1.包含的與項(xiàng)最少；包含的與項(xiàng)最少；2.在滿足在滿足1項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。21

24、二、化簡(jiǎn)方法二、化簡(jiǎn)方法 我們通過(guò)一些例子說(shuō)明我們通過(guò)一些例子說(shuō)明如何應(yīng)用這些公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。如何應(yīng)用這些公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用公式常用公式A + AB = AA B+AB = AA B+AB = AA B+AC+BC = AB+ACA + AB = A+BA + AB = A+BA B+AC =A B+A C1.2.3.4.5.Y=ABC+AC+B C=ABC+A B C=CY=AB+A(C+D)B=AB1式式Y(jié)=AC+AD+CD =AC+AC D =AC+ D2式式Y(jié)=AC+AD+C+D =AC+AD+C D =AC+C D3式式4式式吸收法吸收法消因子法消因子法并項(xiàng)法并項(xiàng)法消項(xiàng)法消項(xiàng)法Y=AB

25、+AB+BC+BC =AB+AB+BC +BC+ AC =AB+BC +AC或或Y=AB+AB+BC+BC+ AC =AB+BC +AC本例說(shuō)明最簡(jiǎn)式不一定是唯一的。本例說(shuō)明最簡(jiǎn)式不一定是唯一的。22A + AB = AA B+AB = AA B+AB = AA B+AC+BC = AB+ACA + AB = A+BA + AB = A+BA B+AC =A B+A C常用公式常用公式1.2.3.4.5.=ABC+ABC+ABC+ABC 函數(shù)式中的任一函數(shù)式中的任一與項(xiàng)與項(xiàng)都可都可重復(fù)使用：重復(fù)使用：=AB+BC3式式=ABC+ABC+ABC+ABCY=ABC+ABC+ABCY=AB C+CD

26、 .A =(AB C+CD) .A=A C D5式式Y(jié)=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+ABCD+ABDEB C=BC+BD+A注意：注意：1.當(dāng)有長(zhǎng)非號(hào)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)非號(hào)下的式子，然后脫掉非號(hào)。當(dāng)有長(zhǎng)非號(hào)時(shí)，應(yīng)先化簡(jiǎn)非號(hào)下的式子，然后脫掉非號(hào)。2.要十分注意冗余項(xiàng)公式的應(yīng)用。要十分注意冗余項(xiàng)公式的應(yīng)用。23第七節(jié)第七節(jié) 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法（一）表示最小項(xiàng)的卡諾圖（一）表示最小項(xiàng)的卡諾圖 卡諾圖是用來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的。由英國(guó)工程師卡諾圖是用來(lái)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的。由英國(guó)工程師Karnaugh首先首先提出的。也稱卡諾圖為提

27、出的。也稱卡諾圖為K圖。圖。 將真值表畫(huà)成矩形表格。遵循的原則是邏輯相鄰的最小項(xiàng)將真值表畫(huà)成矩形表格。遵循的原則是邏輯相鄰的最小項(xiàng)在卡諾圖上對(duì)應(yīng)的小方格要幾何位置相鄰。在卡諾圖上對(duì)應(yīng)的小方格要幾何位置相鄰。幾何位置相鄰：幾何位置相鄰：1.有公共邊；有公共邊；2.位置對(duì)稱。位置對(duì)稱。畫(huà)法：畫(huà)法：1010ABm0m1m3m2二變量二變量1010110100ABCm0m1m3m2m6m7m5m4ABCABC ABCABCABC三變量三變量循環(huán)碼循環(huán)碼24四變量四變量1011010010110100ABCDm0m1m3m2m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8DAABCDABCD

28、ABCDABCD 五變量以上的卡五變量以上的卡諾圖不作要求。諾圖不作要求。 卡諾圖上每個(gè)變卡諾圖上每個(gè)變量取量取1和取和取0的方格的方格數(shù)各占總格數(shù)的一數(shù)各占總格數(shù)的一半。所以卡諾圖還半。所以卡諾圖還有另一種標(biāo)法：有另一種標(biāo)法：BC（二）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（二）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)顯然，只要在每個(gè)小方格里填上函數(shù)值（顯然，只要在每個(gè)小方格里填上函數(shù)值（0或或1）即可。）即可。具體操作還要分兩種情況：具體操作還要分兩種情況：第一種，已知邏輯函數(shù)的真值表；第一種，已知邏輯函數(shù)的真值表；第二種，已知邏輯函數(shù)的函數(shù)式；第二種，已知邏輯函數(shù)的函數(shù)式；251.已知真值表已知真值表 真值表和卡諾圖有一一對(duì)

29、應(yīng)關(guān)系，真值表和卡諾圖有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可直接填。如舉重裁判：可直接填。如舉重裁判： 我們已知道它的真值表中包含我們已知道它的真值表中包含5，6，7號(hào)三個(gè)最小項(xiàng)。號(hào)三個(gè)最小項(xiàng)。 1010110100ABC由于函數(shù)值只有由于函數(shù)值只有0，1兩種取值，故可將兩種取值，故可將0省略。省略。2.已知函數(shù)式已知函數(shù)式當(dāng)已知最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，與當(dāng)已知最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，與1中情況相同。如中情況相同。如Y=m5+m6+m7當(dāng)已知一般與或式時(shí)，可將其化成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。如：當(dāng)已知一般與或式時(shí)，可將其化成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。如：Y=AB+AC =AB(C+C)+AC(B+B) =ABC+ABC+ABC也可直接將每個(gè)與項(xiàng)

30、填進(jìn)卡諾圖：也可直接將每個(gè)與項(xiàng)填進(jìn)卡諾圖：1010110100ABC與項(xiàng)與項(xiàng)AB填入填入A、B都等于都等于1的方格。的方格。 即即6號(hào)和號(hào)和7號(hào)最小項(xiàng)。號(hào)最小項(xiàng)。與項(xiàng)與項(xiàng)AC填入填入A、C都等于都等于1的方格。的方格。 即即5號(hào)和號(hào)和7號(hào)最小項(xiàng)。號(hào)最小項(xiàng)。11100000111261011010010110100ABCD少少1個(gè)變量的與項(xiàng)，在卡諾圖上占個(gè)變量的與項(xiàng)，在卡諾圖上占2個(gè)相鄰的小方格。個(gè)相鄰的小方格。這說(shuō)明：這說(shuō)明：我們?cè)谒淖兞靠ㄖZ圖上作進(jìn)一步研究。我們?cè)谒淖兞靠ㄖZ圖上作進(jìn)一步研究。1111 與項(xiàng)與項(xiàng)AB少兩個(gè)變量，用少兩個(gè)變量，用AB(C+C)(D+D)方法可得，它包含方法可得，它

31、包含4個(gè)個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是最小項(xiàng)，編號(hào)是12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。，它們組成一個(gè)矩形。 易證明易證明AD所占的所占的4個(gè)格個(gè)格組成正方形。組成正方形。1111 與項(xiàng)與項(xiàng)A少少3個(gè)變量，用個(gè)變量，用A(B+B)(C+C)(D+D)方法可得，方法可得，它包含它包含8個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是個(gè)最小項(xiàng)，編號(hào)是8，9，10，11，12，13，14，15，它，它們組成一個(gè)矩形。們組成一個(gè)矩形。結(jié)論：結(jié)論：與項(xiàng)少與項(xiàng)少k個(gè)變量，在卡諾圖上占個(gè)變量，在卡諾圖上占2k個(gè)的小方格，且組成矩形。個(gè)的小方格，且組成矩形。將這個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)用于化簡(jiǎn)，就是合并最小項(xiàng)的規(guī)律。將這個(gè)結(jié)論反過(guò)來(lái)用于化簡(jiǎn)，就是合并最小項(xiàng)的規(guī)

32、律。27二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)二、用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)圖形法圖形法（一）合并最小項(xiàng)的規(guī)律（一）合并最小項(xiàng)的規(guī)律1011010010110100ABCD11111111與項(xiàng)少與項(xiàng)少k個(gè)變量，在卡諾圖上占個(gè)變量，在卡諾圖上占2k個(gè)的小方格，且組成矩形。個(gè)的小方格，且組成矩形。將：將：反過(guò)來(lái)用：反過(guò)來(lái)用：在卡諾圖上合并組成矩形的在卡諾圖上合并組成矩形的2k個(gè)小方格，得到的與項(xiàng)少個(gè)小方格，得到的與項(xiàng)少k個(gè)變量。個(gè)變量。紅框合并紅框合并2個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)ABC少少1（k）個(gè)變量。）個(gè)變量。 籃（綠）框合并籃（綠）框合并4個(gè)最小項(xiàng)，個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)對(duì)應(yīng)與項(xiàng)AB（AC）少）少2（k）

33、個(gè)）個(gè)變量。變量。 紫框合并紫框合并8個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)與項(xiàng)項(xiàng)A少少3（k）個(gè)變量。）個(gè)變量。注意：注意：1.只能合并只能合并2k個(gè)小方格；個(gè)小方格；2.邊上方格的相鄰性。邊上方格的相鄰性。281011010010110100ABCD111111圖中黑框?qū)?yīng)與項(xiàng)圖中黑框?qū)?yīng)與項(xiàng)A B D。圖中籃框?qū)?yīng)與項(xiàng)圖中籃框?qū)?yīng)與項(xiàng)A D。圖中紅框?qū)?yīng)與項(xiàng)圖中紅框?qū)?yīng)與項(xiàng)B D。11圖中紫框?qū)?yīng)與項(xiàng)圖中紫框?qū)?yīng)與項(xiàng) D。（二）卡諾圖化簡(jiǎn)法（二）卡諾圖化簡(jiǎn)法 由于每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖由于每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖上對(duì)應(yīng)上對(duì)應(yīng)1個(gè)函數(shù)值為個(gè)函數(shù)值為1 的矩形的矩形區(qū)，因此可用一個(gè)區(qū)，因此可用一個(gè)“圈圈”（也稱為

34、矩形組）將其包圍。（也稱為矩形組）將其包圍。 將將 最簡(jiǎn)的原則與最簡(jiǎn)的原則與畫(huà)圈畫(huà)圈對(duì)比：對(duì)比： 1. 用用最少最少的圈（矩形組）覆蓋所有的的圈（矩形組）覆蓋所有的1，1可以重復(fù)使用；可以重復(fù)使用；對(duì)應(yīng)每個(gè)圈最大；對(duì)應(yīng)每個(gè)圈最大； 2. 與項(xiàng)中的變量最少與項(xiàng)中的變量最少對(duì)應(yīng)圈最少；對(duì)應(yīng)圈最少； 因此，化簡(jiǎn)的原則是：因此，化簡(jiǎn)的原則是： 1. 與項(xiàng)最少與項(xiàng)最少 2. 每一個(gè)圈（矩形組）覆蓋每一個(gè)圈（矩形組）覆蓋2k個(gè)個(gè)1，且，且k要取要取最大最大值；值； 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式有幾個(gè)與邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式有幾個(gè)與項(xiàng)，就一定對(duì)應(yīng)同樣多的圈。項(xiàng)，就一定對(duì)應(yīng)同樣多的圈。29綜上所述，化簡(jiǎn)的步驟是：綜上所述，化簡(jiǎn)

35、的步驟是：1.將邏輯函數(shù)化成與或式，然后畫(huà)出其卡諾圖；將邏輯函數(shù)化成與或式，然后畫(huà)出其卡諾圖；2.按最簡(jiǎn)原則畫(huà)出按最簡(jiǎn)原則畫(huà)出必要必要的圈；的圈；3.求出每個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)，然后相加。求出每個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)，然后相加。舉例說(shuō)明：舉例說(shuō)明：1011010010110100ABCDY=(A+B)CD+(A+B)(A+B+C+D) =ACD+BCD+AB+ABCD卡諾圖為：卡諾圖為：11111111用三個(gè)圈覆蓋：用三個(gè)圈覆蓋：最簡(jiǎn)與或式為：最簡(jiǎn)與或式為： Y=CD+A B+ABD1可重復(fù)使用可重復(fù)使用要圈兩個(gè)要圈兩個(gè)1 當(dāng)最簡(jiǎn)式不唯一時(shí)，畫(huà)圈的方法也不唯一：當(dāng)最簡(jiǎn)式不唯一時(shí)，畫(huà)圈的方法也不唯一：3010

36、11010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡諾圖如右卡諾圖如右;圈黑圈，得：圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈籃圈，得：圈籃圈，得：Y=AB+BC+CA冗余項(xiàng)公式在這個(gè)卡諾圖上看得非常清楚。冗余項(xiàng)公式在這個(gè)卡諾圖上看得非常清楚。Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111顯然，紫圈是多余的。顯然，紫圈是多余的。避免畫(huà)多余圈的方法：避免畫(huà)多余圈的方法：1.畫(huà)完圈后注意檢查；畫(huà)完圈后注意檢查；2.先圈只有一種方法可圈的先圈只有一種方法可圈的1。31舉兩個(gè)例子：舉兩個(gè)例子：Y=AD+BCD+ABC+ACD+A BD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+B DY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111這種情況可通過(guò)圈這種情況可通過(guò)圈0求求Y來(lái)解決：來(lái)解決：Y=ADY=A+D32第八節(jié)第八節(jié) 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)（一）無(wú)關(guān)項(xiàng)（一）無(wú)關(guān)項(xiàng)無(wú)關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的總稱。無(wú)關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的總稱。1.約束項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使該最小項(xiàng)的值為約束項(xiàng)：是最小項(xiàng)，若使該最小項(xiàng)的值為1的輸入變量取值不允許輸入，則