相關性的判定及有關重要結論

1、相關性的判定及有關重要結論相關性的判定及有關重要結論1.線性相關與線性組合的關系定理線性相關與線性組合的關系定理121(2)1mmm定理 ：向量組， ，線性相關的充要條件 是其中至少有一個向量可由其余向量線性表示。線性表示且表示式惟一，可由線性相關，則，線性無關，而向量組，：設向量組定理mmm21212122.相關性的判定定理相關性的判定定理定理定理3：在一個向量組中，若有一個部分向量組線性相關， 則整個向量組也必定線性相關。推論推論：一個線性無關的向量組的任何非空的部分向量組都 線性無關。.)(), 2 , 1(), 2 , 1(),(42122221112112121mAraaaaaaaa

2、aAmimiaaanmmnmmnnmiiniii的秩構成的矩陣相關的充要條件是由線性維向量個：定理的相關性。：討論例) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (1321解：114132121321A37037012100037012132)(Ar線性相關。321,）線性相關？，（），（），（），（為何值時，向量組：例113152232323122111124321解：11315223232312211114321A20220100101011021111A2022010010101102111140000001001011021111, 43)(4Ar時，線性相關。43

3、21,證明定理證明定理4.: ,21線性相關mmmm向量線性表示為個可由其余妨設知，必有某個向量（不由定理1)11111mmkk寫成分量形式為jmmjjmjakakaka, 112211對A作初等變換mnmmnmmmnmmaaaaaaaaaA21, 12 , 11 , 11121111000, 12 , 11 , 111211nmmmnaaaaaamAr)(: , 0,)(rmrAr不妨設0rDrA階子式的最左上角的且考慮A的r+1階子式jrrrrjrrrrjrraaaaaaaaaD, 1, 11 , 1,1, 111110)(1rDrAr按最后一列展開，有：將jD0, 12211rjrrrj

4、jjDaAaAaAanj, 2 , 1按向量形式寫，上式為：rrrrDAAA122110, 0rD,121線性相關r線性相關。從而m,21推論推論1：當mn時，m個n維向量線性相關。推論推論2：任意 m 個 n 維向量線性無關的充要條件是由它們 構成的矩陣A= 的秩r(A)=m。nmA推論推論3：任意 n 個 n 維向量線性無關的充要條件是由它們 構 成的方陣 A的行列式不等于零?；騬(A)=n.推論推論4：任意 n 個 n 維向量線性相關的充要條件是由它們 構 成的方陣 A的行列式等于零。或r(A)s,則向量組線性相關。r,21線推論推論2：任意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數(shù)相等。任

5、意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數(shù)相等。定理定理2：一個向量組的一個向量組的任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相 等。等。向量組的秩向量組的秩m,21定義定義：向量組的極大無關組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩向量組的秩，記為).,(21mr注：注：（1）線性無關的向量組的秩=向量的個數(shù)。（2）向量組線性無關秩=向量個數(shù)?？捎扇鬽,21線性表示，則s,21),(21mr),(21sr定理定理3：推論推論：等價的向量組有相同的秩。：等價的向量組有相同的秩。必須注意：有相同秩的兩個向量組不一定等價。必須注意：有相同秩的兩個向量組不一定等價。= n例1：設向量組n

6、neee,2121可由向量組線性表示,).,(21nr求例2：設有兩個n維向量組與s,21,21s若s21sssssssaaaaaaaaa21212222111211ssssssaaaaaaaaaK212222111211線性無關。，則若證明ssKr,)(:21與s,21等價。s,21你能舉一個你能舉一個反例嗎？反例嗎？線性無關且s,21向量組的秩的求法向量組的秩的求法定理定理4：向量組的秩與該向量組所構成的矩陣的秩相等。行秩：行秩：矩陣行向量組的秩；列秩：列秩：矩陣列向量組的秩。推論：推論：矩陣的行秩與列秩相等。這實際上給出了一個求向量組秩的方法：先將向量組構成一個矩陣，然后求矩陣的秩，這個

7、秩就是向量組的秩。例1：求向量組的秩。)0 , 2 , 2, 1 (),14, 7 , 0 , 3(),2 , 1 , 3 , 0(),4 , 2 , 1, 1 (4321解：022114703213042114321A401021302130421140102130213042112130213040104211000010100401042113)(),(4321Arr),(4321A014242712203113014220011013301301422013300110130140001000011013010000100001101301極大無關組的求法極大無關組的求法列擺行變換法。

8、列擺行變換法。例2：求向量組的秩及極大無關組。)0 , 2 , 2, 1 (),14, 7 , 0 , 3(),2 , 1 , 3 , 0(),4 , 2 , 1, 1 (4321),(4321A01424271220311301422001101330130112rr4220133001101301400010000110130100001000011013013)(),(4321Arr是一個極大無關組。421,（記錄法與逐個考察法就不介紹了。）列擺行變換將矩陣化為梯形陣后，秩即求出來了。這時，只要在列擺行變換將矩陣化為梯形陣后，秩即求出來了。這時，只要在同一高度上取一個向量，即可得到極大無

9、關組。同一高度上取一個向量，即可得到極大無關組。如上例，如上例，也是一個極大無關組。431,）線性相關？并，（），（），（），（為何值時，向量組：例113152232323122111134321求秩及一個極大無關組。, 43)(4Ar時，線性相關。4321,是一個極大無關組。321,)0 , 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 1 (321011011001321A01201100113rr010011001232rr是一個極大無關組。32,矛盾矛盾反例：反例：但，行擺行變換不行！但，行擺行變換不行！我們已經(jīng)看到：用矩陣可以解決向量組的問題，實際上，用向量組也可以解決矩陣的問題。一個最典型的例子是：)(),(min)(BrArBArnssm這是一個非常這是一個非常重要的關于秩重要的關于秩的不等式！的不等式！設有n兩個維向量組與s,21,21s若s21