第四章級(jí)數(shù)(答案)

1、復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級(jí)數(shù)0專(zhuān)業(yè)班 姓名學(xué)號(hào)、選擇題:§1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§ 幕級(jí)數(shù)些重要的級(jí)數(shù)z z2 LZn L(Z 1)Z35ZSin ZZ3!5!24ZZCOSZ12!4!2ez1ZZL2!11 Z1LLn Zn!(1)nz2n1(2n 1)!(1)nZ2n2n!L (Z1.下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是(A)(1)n 1 n n(B)1)n2n若冪級(jí)數(shù)nCnZn 在 Z0(A)絕對(duì)收斂1 2i幕級(jí)數(shù)(1)nnon 1(A)ln(1 Z)1)nn1Z n 0 n 1(1)nzm n O n 1、填空題:L (Z(Z1 2i處收斂，那么該級(jí)數(shù)在(B)條件收斂由Abel定理易得(C)

2、發(fā)散1在|z | 1內(nèi)的和函數(shù)為(B) ln(1Z)(C)n n1) Z1)nzn0 n 1dz01dzniC)n 2ln n2處的斂散性為ln丄1 Zln(1 Z)(D)(D)(D)不能確定ln丄1 Znn(1) i2n1 設(shè) n (1 -) n ,則 Iimn 0。2 nR2 設(shè)幕級(jí)數(shù)CnZn的收斂半徑為 R ,那么幕級(jí)數(shù)(2n 1)CnZn的收斂半徑為 -n On O23 幕級(jí)數(shù)n! Zn的收斂半徑是e。n Jn O nn4 幕級(jí)數(shù)千(D為正整數(shù))的收斂半徑是1。n 1 np三、解答題：1 判斷下列數(shù)列是否收斂如果有極限，求出它們的極限。171*7時(shí)k2limn2k、一Im(2)J 23

3、'2ni(1 丄)nn12nn由Iim3122nJ3, lim(11 1丄)n 1可得,n1 2nnneIim n3ine判斷絕對(duì)收斂的兩種方法：(1) 絕對(duì)級(jí)數(shù)是否收斂(2) 實(shí)部和虛部的絕對(duì)級(jí)數(shù)是否收斂(1) 1 i i 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性。若收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂。 i3 L in L ,由Iimin不存在可知，級(jí)數(shù)發(fā)散n(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)(2) 5i曲曲L(3)n 13n3!5!5354 5 I2n 15Ii(5 LL3!5!(2n 1)!由級(jí)數(shù)2n 15收斂可知，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂no(2 n 1)!nsin inn Si nin3n由級(jí)數(shù)n(enn、e )2 3

4、nnn3e及級(jí)數(shù)n1 2 3e收斂，可得原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂1)k由于k 1 In 2k H和i ( 1)kIn (2k 1)(1 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茲準(zhǔn)則,k 1 In 2kk 1 I n(2k 1)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。又由和1 發(fā)散,k 1 I n2kk 1 In (2k 1)則原級(jí)數(shù)條件收斂。3 .求幕級(jí)數(shù)n(n 1)(z 3)n 1的收斂半徑，收斂域及和函數(shù)，并計(jì)算0呂之值。解：由Iim -Q-1知，收斂半徑R 1.n 1當(dāng)z=2時(shí)，原級(jí)數(shù)成為(nn 01)( 1)n 1,為發(fā)散級(jí)數(shù),因而原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.11 (Z 3)(Z 3)(Z3)2(Z3)n L1(Z 3)2(z3)3(z

5、3)2(n 1)(z 3)n(n 1)(z03)n1=(z3)1(Z3)Z 3_4)-(n 1)(z 3)nn 0(Z7-_ -n 71 -(7 4)23 =224 .求幕級(jí)數(shù)2zn的和函數(shù)，并計(jì)算11 Z11 ZZn L2z3z2(nn1)z(nn 0n1)zIl3 2z4 3z2(n2)(nn1)z(n02)(nn1)z2(Z 1)3Z(Z1)(Z 1)2(Z 1)3n 1n 1復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級(jí)數(shù)系專(zhuān)業(yè)班 姓名學(xué)號(hào)§ 3泰勒級(jí)數(shù)一、選擇題Z1.設(shè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式為CnZn ,那么幕級(jí)數(shù)CnZn的收斂半徑R C COSZn 0n 0(A)(B)1(C)(D)2函數(shù)在某點(diǎn)展成的

6、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑等于該點(diǎn)和該函數(shù)的奇點(diǎn)中最近的距離COSZ0Zk (k Z)Ze在Z內(nèi)解析2COSZ212 函數(shù)WZ在Z1處的泰勒展開(kāi)式為D (A)(1)nn(Z1)n1(Z 1| 1)(B)(1)n1 n(z 1)n1(Z 1| 1)n 1n 1(C)n(z1)'n1(Z1|1)(D)n(z 1)n1(Z 1| 1)由！Z1Z1下面先對(duì)1在點(diǎn)ZZ1111 (Z 1)ZIZ 1 11 (Z 1)11 2(z1) L n(z 1)n 1 LZ注寫(xiě)成求和形式中注意保持第一項(xiàng)是-3.函數(shù)SinZ在Z -處的泰勒展開(kāi)式為1進(jìn)行展開(kāi)(Z 1)2 L (Z 1)n L (z 11),致的(A)-X

7、(Z -)n 0(2 n 1)!22n1(Z(B)(O(Z )2n(z|0 (2n)!222n(C)4(z )n 0(2 n 1)!22n1(Z(D)(1)n1 0 (2n)!(Z ?)2n(IZ 7 )Sin Z= Sin(z22)CoS(Z2)2n 14 級(jí)數(shù)-一n 1 n!z2(A) z(ez1)(B)Z(e2Z 1)(C)2ZeZ 1(D)2zZe 1令WZ2,則2nZI n!Wn W n 1 n!nWI n!Ww(e1)其中W表示某一單值分支5. Re(n 1n 1)(A) cos1(B)sin1(C) cos1 (D)sin1n 1考慮Zn 1 n!n 1 ZZZ2Zn 11)1L

8、Ln 1n!2!3!n!或者n 1 Z1Zn1Z2)I -(e1)n 1n!Zn 1n!取Zi,則可得in1 1(ei 1)n 1 n! ii(cos11(zZ、填空題Z2Z32!3!n!1(eZZ1) (Z )isin1)i (cos11)sin11 函數(shù)f (Z)2在Z 0處的泰勒展開(kāi)式為f(z)(1 Z)(1)n(n 1)Zn(Zn 01)1 1(1Z)21 Zn n(1) Zn 0n n(1) Zn 0n n1) nz(1)n(nn 01)Zn(Z1)11 Z3的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(1)nZ3n ,收斂域?yàn)镮Z 1 n 02三、解答題 求收斂半徑一般可以采用根值法、比值法。遇到1把下列各函

9、數(shù)展開(kāi)成 Z的幕級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑：(1)1111(I)n Z 2n ( 1)nZ2n22(1)TZ4 Z24 Z 24 n 02 n 0 4n 11(1)n 12(n 1)4n2 Z(1)n Z2n 4n1 Z2Z14Z2收斂半徑R=2(在計(jì)算僅有奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)類(lèi)型的級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí),可利用根值法,或者利用上述方法.)(2)cosz2(1)nZ4n 0 (2n)!由Iimn1)n 1(2n 2)!(2n)!(1)n”m (2n 2)(2n+1) =° 知，收斂半徑為2 .求下列各函數(shù)在指定點(diǎn)Z0處的泰勒展開(kāi)式，并指出它們的收斂半徑:(1)解:#n1Z 11 1Z 1 I n

10、 022收斂半徑R=2,Zo1324 3z 1 3i 3(z 1 i)1 1R I 3(z 1 i)1 3in13(z 1 i)3in 01 3i3nnT(Z 1 i)n 0 1 3i由Iimn3n1n 23in 13i3n31 3iarcta nzZ1dzz2 dzz4 dz L0003 ZZ5J L(1)n z2n1-L)(Z352n 1Z(Z 1)(z 2)收斂半徑R(3) arctanz,z00由于(arcta nz)'1 z2 z4 L ( 1)nz2n L)(Z 1)1 Z則z( 1)nz2ndz L1)Z2 12111(Z 1)(z2)z 2 z 1 z24 z 2321

11、Z 24nn1Z 21Z 2(1)nn 0111Z2 n 043 n 0322n13n1 131由n1111112n 3由 Iim 2 .3n2=Iim 84nn9 3.8 Iim91n11n11n 1n13?2n 13n 124n3 3n23知，收斂半徑R3復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級(jí)數(shù)專(zhuān)業(yè)姓名學(xué)號(hào)§ 4洛朗級(jí)數(shù)在計(jì)算洛朗級(jí)數(shù)收斂域時(shí)，要取正幕項(xiàng)的收斂域和負(fù)幕項(xiàng)的收斂域的公共部分nCnZn正幕項(xiàng):負(fù)冪項(xiàng):nCnZn On 1Cn 1 ZnCnZnC n 1znC nZnC nZn 1（或求幕級(jí)數(shù)收斂半徑的常規(guī)作法）1 若 Cnnn3( 1) ,nn4 , n、選擇題:0,1,2,L ,則

12、幕級(jí)數(shù)CnZn的收斂域?yàn)?, 2,L3Z X 1.11 I(A)Iz -(B) 3 |z| 4(C) 一 IZ434Cn1(D)IZl計(jì)算正幕項(xiàng)(常規(guī)作法)：IimnIimn3n 1 ( 1)n1(1)n3n計(jì)算負(fù)幕項(xiàng):Zn的收斂域是nn 1c n 1ZnC nZ(A) 0 |Z| 1(B)4nZ3 .洛朗級(jí)數(shù) 2 lnl(Z 3)n的收斂域是n(A) |Z 3| 2(B) 2 IZ 3|1i(zInI-14zB(C)IzI 1C1(C) 2 |Z 31 22In2 i"i(z 3)3)nn2 i n 1i(z 3)2 i "i(z 3)4 .設(shè) f(Z)(A) 1f(z)

13、1;二、填空題1.幕級(jí)數(shù)2 n(z 3)1Z(Z 1)(z 4)Z(Z1在以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開(kāi)式有(B) 2(C) 3(D) 1 |Z|(D) £ Iz 3|m 個(gè)，貝 U m C (D) 411)(z 4)4; Z的奇點(diǎn)有Z 0, 1, 4(1)n(1n 1I)"的收斂域?yàn)?i|12 .函數(shù)ez ez在0|z|nn的洛朗展開(kāi)式為2+n 1 n! n 1 n!3 函數(shù) 1 在1Z(Z i)|z的洛朗展式為n2n 2(1) (Z i)n 01)n1(z i)2n3(或(i)n(z i) n2)n 0此時(shí) |z 用洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式將i| 1.( 1)n 丄(z i) n

14、 0Z i1 1 1 1Z(Z i) ZiZii (Z i) 把下列函數(shù)在指定的區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù):關(guān)于in形式上看:n ni a (n 0k 02kk 11). +iZ i1)ka2ki ( 1)ka2k 1 ,從而上式等于 k 0D2k+1(1)k2k 11Z iI 2k(1)k k oZ i2k 32k 1+i ( 1)k 0三、解答題:處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。Zef (Z)在 0 |z|Z(I) z,0 |z| 1;0 |z 1|n 2 Zn 0 n!0 IZl 1;由于11Z Z 2z(1 Z) (1 Z) 1 (Z 1)LnZL1 Z1=1 1IZ(1Z)2Z 1Z= 1(1Z2Z3z

15、2n 1LnZ L )=1 23ZLnzLZ0 |z 1| 11(1 Z)2n(1)n(Z 1)n01 1Z 1 1 (Z 1)1n(Z 1) Z 1 n 0nn 2=(1) (Z 1)n 0(2)1(Z 1)(Z2)0 |Z 1|1;1(Z 1)(Z2)(Zn 01)n1 IZ 2|1(Z 1)(Z2)1rr11(Z 2)2_1(Z 2)2(1)n(Z 2)n 0(1)n(Z 2) n 2n 03 若C為正向圓周IZl 3 ,求積分 ？f(z)dz的值，設(shè)f(z)為在洛朗級(jí)數(shù)的各個(gè)收斂圓環(huán)中，找出C所在的那個(gè)圓環(huán)，在該圓環(huán)內(nèi)再進(jìn)行洛朗展開(kāi)(1)1Z(Z 2)1Z(Z 2)在區(qū)域Z2內(nèi)解析，并

16、可展成洛朗級(jí)數(shù)nn n1= 111(I)n Z( 1)n2nZ(Z 2) Z2 1 2Z2 n 0Z n O Zn 2Z由C含于區(qū)域Z 2內(nèi)，因而 Qf(z)dz=2 iC1=0Z1 21 1(Z 1)(Z2)z 1 z 2Z 1 1Znn1 Z,、n1 2 Z2-(1)-(1)ZnOZZ n 0Z(2)(Z 1)(Z2)2 1Z(1)n (2n 1 1)n 1n OZ故？ f(z)dz=2 ic I =2 i 仁2 i復(fù)變函數(shù)練習(xí)題第四章級(jí)數(shù)系專(zhuān)業(yè)班姓名學(xué)號(hào)綜合練習(xí)題、選擇題1若Cn(Z i)n在Z 3i發(fā)散，則它必在n O(A) Z 1收斂(B) Z 2發(fā)散(C) Z i收斂(D)以上全不

17、正確(由Abel定理)2 設(shè)幕級(jí)數(shù)nCnZ ,n 0nnCnZ01和Cnn 1Z n 0 n 1的收斂半徑分別為R11 R21 R3 ,則 R1, R2, R3 之間的關(guān)系是(A) R1R2R3(B)R1R2R3(C) R1R2R3(D) RIR2R313 級(jí)數(shù)Z11 ZZZ2 L的收斂域是(A) |Z|1(B)0|Z| 1(C) 1 |Z|(D)不存在的3設(shè)Cn(Z 2)n ,在Z 4收斂而在Z 2 2i發(fā)散，則其收斂半徑 R _,該幕級(jí)數(shù)n 0負(fù)幕項(xiàng)為有限項(xiàng),因此,不需要保證1,只需保證其解析性，也就是Z 0即可二、填空題n1 . n |n|!2cos1 1nnn11ni+ n 0 n!1

18、n 1 n!in(ei 1)1)n(1)n的收斂圓環(huán)域是23-在IZ 22內(nèi)絕對(duì)收斂。三、解答題1.求函數(shù)f(z)1的鄰域內(nèi)的泰勒展開(kāi)式，并指出其收斂域。f(z)(Z 1)n2.求洛朗級(jí)數(shù)Cn(Z2)n的收斂圓環(huán),其中Co1, Cnn!1,nn1,2,L解：由于Iimn(n 1)!(n 1)n1Iimnnn(n 1)nIimn(1級(jí)數(shù)Cn(Z 2)n的收斂圓環(huán)為0n 0另一方面，由于IimnC (n 1)C nIimn1 11丄L 2 n 11 1 L 12 n級(jí)數(shù)Cn(Zn 12)啲收斂圓環(huán)為從而洛朗級(jí)數(shù)Cn(Z 2)n的收斂圓環(huán)為1e.3把下列各函數(shù)在圓環(huán)域 0 IZl R內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)，并指出使展開(kāi)式成立的(3)(1)z ,/ 、n/, nn3e