控制系統(tǒng)分析與設計的狀態(tài)空間方法1——基礎部分

1、1（涉及第二、三、七章）（涉及第二、三、七章）2 經(jīng)典控制理論的特點經(jīng)典控制理論的特點l 圖形方法為主，物理概念強，直觀簡便，實用性強圖形方法為主，物理概念強，直觀簡便，實用性強l 控制結(jié)構簡單，設定和調(diào)整參數(shù)少，且調(diào)整方針明確控制結(jié)構簡單，設定和調(diào)整參數(shù)少，且調(diào)整方針明確l 以簡單的控制結(jié)構獲取相對滿意的性能以簡單的控制結(jié)構獲取相對滿意的性能 主要缺點：主要缺點：l 需反復需反復“試湊試湊”，控制結(jié)構及性能一般不是最優(yōu)，控制結(jié)構及性能一般不是最優(yōu)l 僅適用于單變量（僅適用于單變量（SISO）線性定常系統(tǒng)，一般不能）線性定常系統(tǒng)，一般不能用于多變量系統(tǒng)、時變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)用于多變量系統(tǒng)、時變

2、系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)l 只考慮系統(tǒng)輸入與輸出的關系只考慮系統(tǒng)輸入與輸出的關系,不涉及系統(tǒng)的內(nèi)部狀不涉及系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)態(tài)3 現(xiàn)代控制理論（狀態(tài)空間方法）的特點現(xiàn)代控制理論（狀態(tài)空間方法）的特點l 統(tǒng)一表達和處理單、多變量系統(tǒng)，可以分析時變系統(tǒng)一表達和處理單、多變量系統(tǒng)，可以分析時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；l 核心是狀態(tài)變量的能控性、能觀性；核心是狀態(tài)變量的能控性、能觀性；l 通常尋求通常尋求最優(yōu)控制性能；最優(yōu)控制性能；l 重要成果有極點配置、狀態(tài)觀測器、最佳調(diào)節(jié)器、重要成果有極點配置、狀態(tài)觀測器、最佳調(diào)節(jié)器、最優(yōu)控制等。最優(yōu)控制等。 主要缺點：主要缺點：l 對模型精度要求高，對模型誤差及未

3、知擾動的魯棒對模型精度要求高，對模型誤差及未知擾動的魯棒性較差；性較差；l 狀態(tài)反饋難以直接實現(xiàn)，而采用狀態(tài)觀測器使控制狀態(tài)反饋難以直接實現(xiàn)，而采用狀態(tài)觀測器使控制結(jié)構復雜、結(jié)構復雜、 性能變差。性能變差。4狀態(tài)空間方法的主要內(nèi)容狀態(tài)空間方法的主要內(nèi)容l 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述 數(shù)學模型數(shù)學模型（2章）章）l 線性變換與對角規(guī)范型線性變換與對角規(guī)范型 模型的結(jié)構化簡模型的結(jié)構化簡（3、7章）章）l 狀態(tài)空間描述下的運動分析狀態(tài)空間描述下的運動分析 分析的基礎分析的基礎（3章）章）l 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫穩(wěn)定性理論 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析（自學）（自學）l 狀態(tài)可控性和

4、可觀性狀態(tài)可控性和可觀性 核心內(nèi)容核心內(nèi)容（7章）章）l 狀態(tài)空間描述下系統(tǒng)的結(jié)構分析狀態(tài)空間描述下系統(tǒng)的結(jié)構分析 可控或可觀狀態(tài)可控或可觀狀態(tài)變量的劃分變量的劃分（自學）（自學）l 狀態(tài)反饋和極點配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)觀測器設計狀態(tài)反饋和極點配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)觀測器設計 理論應用理論應用 （8章）章）主要講主要講SISO線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)5 (t)x(t)x(t)x(t)xx(t)t(x,),t(x),t(xnn321n21 個個狀狀態(tài)態(tài)變變量量階階系系統(tǒng)統(tǒng)，有有n n對對于于狀態(tài)變量狀態(tài)變量：完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量：完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量稱為稱為狀態(tài)向量狀態(tài)向量構成構

5、成n維狀態(tài)空間維狀態(tài)空間x1x3x23 3維狀態(tài)空間維狀態(tài)空間x(t0 )x(t1 )x(t )隨時間變化產(chǎn)生隨時間變化產(chǎn)生狀態(tài)軌跡狀態(tài)軌跡一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述6例例: R-L-C: R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡串聯(lián)網(wǎng)絡 （輸入（輸入u u，輸出，輸出u uc c）dt)t (duC)t ( i)t (udt)t (diL)t (Ri)t (uCC 1. 1. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式2x1x 2x 1xy 212121xx10yu0L1xx0C1L1LRxx1x狀態(tài)方程狀態(tài)方程輸出方程輸出方程CxyBuAxx 簡記為簡記為7由由R-L-CR-L-C網(wǎng)絡的

6、輸入網(wǎng)絡的輸入輸出微分方程求輸出微分方程求狀態(tài)變量的選擇是否唯一？狀態(tài)變量的選擇是否唯一？ 212121xx01yu10 xxLRLC110 xx2x21xx 2x y1x狀態(tài)方程狀態(tài)方程輸出方程輸出方程)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCCC2C2 該方法具有一般性該方法具有一般性,可用于可用于輸入輸出輸入輸出高階高階微分方程微分方程不唯一不唯一! !8同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間的關系？同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間的關系？前例前例R-L-CR-L-C網(wǎng)絡的兩種網(wǎng)絡的兩種狀態(tài)變量為狀態(tài)變量為 cuix ccuux 和和 ccuux 令令xuiP0C110Ciuuuxcccc

7、則則即同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間存在即同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間存在線性變換關系（化簡的基礎）線性變換關系（化簡的基礎）9）（前饋矩陣前饋矩陣）（輸出矩陣輸出矩陣）（控制矩陣控制矩陣）（系統(tǒng)（狀態(tài)）矩陣系統(tǒng)（狀態(tài)）矩陣個狀態(tài)變量，則有個狀態(tài)變量，則有個輸出，個輸出，個輸入，個輸入，設系統(tǒng)有設系統(tǒng)有pq nq pn nn D:C:B:A:DuCxyBuAxxnqp線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的一般形式A、B、C、D 為常數(shù)陣為常數(shù)陣 定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)A、B、C、D 含時變參數(shù)含時變參數(shù) 時變時變系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)10DuCxyBuAxx 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的

8、結(jié)構圖線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構圖BCADx xyu狀態(tài)空間描述的示意圖狀態(tài)空間描述的示意圖狀態(tài)方程狀態(tài)方程 n21xxx輸出方程輸出方程)t (u)t (y)t ,u,x(gy)t ,u,x(fx ：一一般般的的狀狀態(tài)態(tài)空空間間表表達達式式112. 2. 兩種模型的相互轉(zhuǎn)化兩種模型的相互轉(zhuǎn)化l 由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）l 由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型l 應用應用MATLABMATLAB進行模型之間的相互轉(zhuǎn)化（自學）進行模型之間的相互轉(zhuǎn)化（自學）12DuCxyBuAxx 空空間間模模型型為為設設線線性性

9、定定常常系系統(tǒng)統(tǒng)的的狀狀態(tài)態(tài)(sI-A)det(sI-A)detDadj(sI-A)BC)s(G)s(UDBA)C(sI)s(U)s(GY(s)1 傳遞函數(shù)（陣）為傳遞函數(shù)（陣）為系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)注意！注意！DU(s)CX(s)Y(s)BU(s)AX(s)0 x(sX(s) 對對其其進進行行拉拉氏氏變變換換BU(s)AX(s)sX(s)0)0 x( ：，得得令令初初始始條條件件為為零零征征值值對對應應的的根根稱稱為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的特特為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的特特征征方方程程，0)AsIdet( 由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）13 212121xx10

10、yu0L1xx0C1L1LRxx 212121xx01yu10 xxLRLC110 xx1RCsLCs1)s(G2 由同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間表由同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間表達式導出的傳遞函數(shù)（陣）必達式導出的傳遞函數(shù)（陣）必然相同然相同例例: R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡（輸入串聯(lián)網(wǎng)絡（輸入u，輸出，輸出y=uc）14轉(zhuǎn)化的實質(zhì)：轉(zhuǎn)化的實質(zhì)：尋找在外部特性上等價的狀態(tài)空間表尋找在外部特性上等價的狀態(tài)空間表達式，使其滿足輸入輸出微分方程或傳遞函數(shù)達式，使其滿足輸入輸出微分方程或傳遞函數(shù) G(s) = C(sI-A)-1B+D并稱該狀態(tài)空間表達式為該傳遞函數(shù)的一個實現(xiàn)。并稱該狀態(tài)空間表達式為該傳遞函數(shù)的一個實現(xiàn)

11、。方法：直接分解法、方法：直接分解法、極點分解法、結(jié)構圖分解法極點分解法、結(jié)構圖分解法這種轉(zhuǎn)換不唯一這種轉(zhuǎn)換不唯一! !系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D（自學）（自學）由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型15例例: 求求3階微分方程的狀態(tài)空間表達式階微分方程的狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)t (ku)t (yadt)t (dyadt)t (ydadt)t (yd0122233 2x21xx 3x y1x3x32xx 321321210321xxx001yuk00 xxxaaa100010 xxx反映一般規(guī)律反映一般規(guī)

12、律!16ubyayayayay001)2(n2n)1(n1n(n) 一般規(guī)律（輸入端不含導數(shù)項）一般規(guī)律（輸入端不含導數(shù)項）2xn1n3221xx,xx,xx nx y1x1nx nx x0001yu,b000 xaaaa100001000010 x01n210 17CxyBuAxx 0001c,b000, baaaa100001000010A01n210 即即輸入端含導數(shù)項時如何建立狀態(tài)空間表達式？輸入端含導數(shù)項時如何建立狀態(tài)空間表達式？可互換可互換18基于傳遞函數(shù)的直接分解法：基于傳遞函數(shù)的直接分解法：)s(a)s(basasasbsbsbU(s)Y(s)G(s)011n1nn011n1n

13、 )s(H)s(b)s(U)s(a)s(bY(s)1 則則)s(UH(s)s(a 設設 G(s) 為為SISOSISO系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D)t (hb)t ( hb)t (hb)t (y)t (u)t (ha)t ( ha)t (ha)t (h01)1(n1n01)1(n1n(n) 2xnx 1xnx引入中間引入中間變量變量 h(t)對該方程的處理類同前面！對該方程的處理類同前面！19uha hahahah01)2(n2n)1(n1n(n) 2xn1n3221xx,xx,xx nx 1x1nx nx xbbbbyu,1000 xaaaa1000

14、01000010 x1n2101n210 1021n1nxbxbxb)t (y 稱為（第二）可控規(guī)范形稱為（第二）可控規(guī)范形20思考：若傳遞函數(shù)分子分母的階次相等思考：若傳遞函數(shù)分子分母的階次相等011n1nn011n1nnnasasasbsbsbsbU(s)Y(s)G(s) 如何導出狀態(tài)空間模型的可控規(guī)范形？如何導出狀態(tài)空間模型的可控規(guī)范形？21練習練習B2.24(1),(2)B2.24(1),(2)； B2.25B2.25； B2.26; B2.27B2.26; B2.2722二、線性變換與對角規(guī)范形二、線性變換與對角規(guī)范形設系統(tǒng)的兩種狀態(tài)空設系統(tǒng)的兩種狀態(tài)空間表達式為間表達式為DuCxy

15、BuAxx 系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)uDxCyuBxAx ,xPx BuPxPAPxBuxPAxP11 DuxPCy DD,PCC,BPB,PAPA11 和和非奇異線性變換為非奇異線性變換為則有則有存在）存在）（1P 同一系統(tǒng)不同狀態(tài)空間表達式之間的關系？同一系統(tǒng)不同狀態(tài)空間表達式之間的關系？23（1）線性變換不改變系統(tǒng)的特征值）線性變換不改變系統(tǒng)的特征值變換前后有變換前后有非奇異線性變換的幾個重要性質(zhì)非奇異線性變換的幾個重要性質(zhì)變變換換后后的的特特征征多多項項式式為為APPA1 AIdetPdetAIdetPdet PAIPdetAPPIdetAIdet111 即變換前后的特征多項式相同即變

16、換前后的特征多項式相同24 DBAsIC)s(G1 （2）線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)）線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變換前變換前變換后為變換后為 )s(GDBAsIC DBPPAsIPCP DBPAPPsICP DBAsIC)s(G 11111111 變換關系：變換關系：DD,PCC,BPB,PAPA11 25矩陣矩陣 A 的對角化的對角化（1） 矩陣矩陣A的特征值的特征值i 互異（可變換為對角形）互異（可變換為對角形）設變換矩陣設變換矩陣P為為 n1n21 PP PPP 的的特特征征向向量量. .為為矩矩陣陣A A對對應應特特征征值值P Pi ii i,n,2 ,1i,0P)AI(,n,2

17、,1i,APPiiiii 即即diagAPPAi1 26變換矩陣變換矩陣P的計算的計算:a)先求矩陣先求矩陣 A 的特征值的特征值i，i=1, 2, , nb)由由 (i IA)Pi = 0 確定每一個確定每一個i 所對應的特征所對應的特征向量向量 Pi ， i = 1, 2, , nc)P = P1 P2 Pn d)若矩陣若矩陣A為可控規(guī)范形，則實現(xiàn)對角化的一為可控規(guī)范形，則實現(xiàn)對角化的一個變換陣為個變換陣為Vandermonde矩陣，即矩陣，即 1nn1n21n12n2221n21 1 1 1P 自證自證27,6 - 11 - 6-1 0 00 1 0A 例：例：試求變換矩陣試求變換矩陣P

18、。 解：解： 3 - 2 - 1APPA 9 4 13 2 11 1 1 1 1 1PA3,2, 1,0)AIdet(1232221321321 驗算驗算為可控規(guī)范形為可控規(guī)范形得得由由 28，例：已知例：已知 5 11 -6-6 11 -6-1 -1 0A試求對角化變換矩陣試求對角化變換矩陣P。 T31211111321 p ppP1 3,2,1 0AIdet 的的特特征征向向量量設設屬屬于于得得由由得得則由則由0A)PI(11 解：解： T 1 0 1 P1p,0p, 1p1312111 即即可解得可解得取取個獨立解向量個獨立解向量只只的秩為的秩為12 有， 61166106111AI1特

19、征向量不唯一特征向量不唯一滿足比例關系滿足比例關系0p6p11p6 0p6p10p6 0ppp 312111312111312111 29 3 - 2 - 1APPA9 4 16 2 01 1 1P 9 6 1 P 4 2 1 P3213232 TT驗驗證證的的特特征征向向量量分分別別為為和和于于用用同同樣樣的的方方法法可可求求得得屬屬 30（2）矩陣）矩陣A 有多重特征值（可變換為約當標準形）有多重特征值（可變換為約當標準形） 4 2 3 2 0 15- 6 0A A例：例：其特征值為其特征值為1=2，2 =3 = 1，求將矩陣，求將矩陣A變換為約當變換為約當形的變換矩陣形的變換矩陣P。解：

20、解： 設屬于設屬于1的特征向量為的特征向量為P1 T2 -1 -2P2p,1p2p0A)PI (131211111 則求得則求得取取, 2211001000APPA 312322232PP)AI( 0P)AI(, 方方程程列列下下滿滿足足P P和和P P的的特特征征向向量量雙雙重重特特征征值值3 32 2 100110002APPA4946- 4922- 1 PPppp3 2 32 1 1-5 6 -175 73 1P1p1T32332313T212約當標準形為約當標準形為則求得則求得若取若取 , , 2211001000APPA P3常量常量不再不再是特征向量是特征向量取p13=132三、狀

21、態(tài)空間描述下的運動分析三、狀態(tài)空間描述下的運動分析 t02121d )(f)t (f)t (f)s(F)s(F)s(F 則則若若復習：卷積定理復習：卷積定理33為初始值為初始值為常量為常量、為一維，為一維，)t (xbax),t (ub)t (xa)t (x0 tt)a(t0)tt(a00d )(ueb)x(te)t (x 則則)0(x若初值為若初值為 t0)a(tatd )(ueb)0 x(e)t (x 則則零輸入響應零輸入響應零狀態(tài)響應（卷積）零狀態(tài)響應（卷積）本本響響應應形形態(tài)態(tài)決決定定系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性和和基基：ate先考慮最簡單的情況先考慮最簡單的情況)s(Uasb)s(X 決

22、決定定主主要要由由零零狀狀態(tài)態(tài)響響應應的的暫暫態(tài)態(tài)特特性性ate341. 1. 齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程的解 0kkk22AttAk!1tA!21AtIe定定義義 0kkkkk22attak!1tak!1ta!21at1e，對于對于0 x)0(x),t (Ax)t (x 0Atxe)t(x 程程的的解解為為則則容容易易驗驗證證齊齊次次狀狀態(tài)態(tài)方方模仿單變量方程的求解模仿單變量方程的求解)t (eAt ：狀狀態(tài)態(tài)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移矩矩陣陣，記記為為352. 2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)A)t ()t (A)t ( Ie)0( 0A ）（）（21)tt ()tt ()t()t ()tt (

23、)t ( )tt ()tt ()tt ( 00110020112 ，必有逆，且逆為必有逆，且逆為或或）（）（ 43)t ()nt( )t ()t ()t ()t ()tt ( n122121 ）的特例有）的特例有作為（作為（）（）（565分段轉(zhuǎn)移特性分段轉(zhuǎn)移特性類似（類似（3）)t (x)tt ()t (x)0(x)t ()t (x00 或或求逆容易求逆容易363. 3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算拉氏變換法拉氏變換法00110100 x)t ( x)AsI(L)t (x x)AsI()s( X)s(AXx)s( sXx)0(x, )t (Ax)t (x 得得由由 11)AsI( L

24、)t ( 37對角標準形法對角標準形法ediage,diagAPPAttAi1i 則有則有設矩陣設矩陣 A 的特征值相異，對角變換為的特征值相異，對角變換為)0(xe)t (xtA ,xPx 01tA1tA1xPPe)t (x)0(xPe)t (xP 即即利用變換式得利用變換式得1t1tAAtPediagPPPeei 38 t2tt2tt2tt2t11At1e2ee2e2eeee2AsILe )2s)(1s(s )2s)(1s(2- )2s)(1s(1 )2s)(1s(3sAsI)2s)(1s(AsI,3s21s)AsI(的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣例：計算例：計算 3210A解：解：1）用拉

25、氏變換法計算）用拉氏變換法計算39 t2tt2tt2tt2tt2t1tAAtt2ttA1e2ee2e2eeee2 1112e00e2111PPe ee00ee,2001APPA 2）利用對角形變換法計算）利用對角形變換法計算2,1A21 為為可可控控規(guī)規(guī)范范形形，且且 1112P,211111 P121有有取取 404. 4. 非齊次狀態(tài)方程的解非齊次狀態(tài)方程的解 t00t0)A(tAtd )(Bu)t (x)t (d )(Bue)0 x(ex(t) 則則)t (Du)t (Cx)t (yx)0(x),t (Bu)t (Ax)t (x0 ，初值初值對于對于)t (Dud )(Bu)t (x)t

26、 (C)t (Dud )(Bue)0 x(eCy(t)t00t0)A(tAt 基本形態(tài)?；拘螒B(tài)。的特征值決定響應的的特征值決定響應的零狀態(tài)響應屬于卷積：零狀態(tài)響應屬于卷積：A)t ()AsI(L)s(BU)AsI()s(X111 41 tt00tt)A(t0)tt(A000d )(Bu)t (x)tt (d )(Bue)t (xex(t) 則則，若初值若初值00 x)t (x tt00tt)A(t0)tt(A000)t (Dud )(Bu)t (Cx)tt (C)t (Dud )(BueC)t (xCey(t) 42 。和和求求例：已知例：已知)t (y)t (xx21y)t (1u,11)

27、0(x,u10 x3210 x t2tt2tt2tt2tAte2ee2e2eeee2 e 解解： t2tt2tt2tt2tt2tt2tt0)A(tAte3e2e5 . 1e25 . 0ee3e5 . 0e5 . 0e4e3e2e3d)(Bue)0 x(e)t (x t2te5 . 4e25 . 0)t (Cx)t (y 參考前面參考前面的例的例43練習練習B3.4B3.4（1 1）；）； B3.5B3.5（1 1）; B3.7; B3.744四、狀態(tài)可控性四、狀態(tài)可控性問題：狀態(tài)變量能否通過輸入問題：狀態(tài)變量能否通過輸入 u 任意改變？任意改變？DuCxyBuAxx 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構

28、圖線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構圖BCADx xyu45u0L1uiRR1RR1C100RRRRRRRRL1uiRRRRux,ixcL423142423131cL3241c2L1 時狀態(tài)方程為時狀態(tài)方程為，當，當例：選取狀態(tài)變量為例：選取狀態(tài)變量為顯然，通過顯然，通過 u 可以控制狀可以控制狀態(tài)變量態(tài)變量 iL，但不能控制，但不能控制 uc，所以系統(tǒng)是不完全可控的。所以系統(tǒng)是不完全可控的。46u0L1uiRR1RR1C1RRRRRRC1RRRRRRL1RRRRRRRRL1uiRRRRcL423142431331142242423131cL3241 時狀態(tài)方程為時狀態(tài)方程為當當雖然雖然 u不能直接控

29、制不能直接控制 uc，但可以通過控制但可以通過控制 iL 來間接來間接影響影響uc， 可以證明系統(tǒng)是可以證明系統(tǒng)是完全可控的。完全可控的。47可控性定義可控性定義狀狀態(tài)態(tài)可可控控的的。則則稱稱系系統(tǒng)統(tǒng)是是，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到任任一一終終端端狀狀態(tài)態(tài)態(tài)態(tài)狀狀內(nèi)內(nèi)，使使系系統(tǒng)統(tǒng)由由某某一一初初始始有有限限的的時時間間區(qū)區(qū)間間，能能在在若若存存在在對對于于)t (x)t (x)t (u),t (Bu)t (Ax)t (x10t,t10 。原原點點，即即終終端端狀狀態(tài)態(tài)為為狀狀態(tài)態(tài)空空間間的的即即初初始始狀狀態(tài)態(tài)對對應應零零時時刻刻，性性定定義義等等價價簡簡化化如如下下：為為了了分分析析方方便便，將將可可控

30、控0)t (x,)0(x)t (x10 為何不研究輸出為何不研究輸出y(t)是否可控？是否可控？48-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1uCR1CR1xxCR100CR1xx221121221121 ，則狀態(tài)方程為，則狀態(tài)方程為例：如圖選取狀態(tài)變量例：如圖選取狀態(tài)變量可以證明，可以證明，R1 C1 = R2 C2 時系時系統(tǒng)不可控（直觀解釋？）統(tǒng)不可控（直觀解釋？）; 但但 R1 C1 R2 C2 時系統(tǒng)完全可時系統(tǒng)完全可控?？?。49u(t)R1R2L+- y x1+- x2C較復雜的情況：較復雜的情況：DuCxyBuAxx 如圖所示的系統(tǒng)是否可控？如圖所示的系統(tǒng)是否可控？（K

31、alman問題）問題）一般情況下，對于任意給定的一般情況下，對于任意給定的 A、B，系統(tǒng)是否可控？，系統(tǒng)是否可控？難以直觀判斷！難以直觀判斷！50線性定常系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常系統(tǒng)的可控性判據(jù)1. 凱萊凱萊-哈密爾頓（哈密爾頓（Cayley-Hamilton）定理）定理011n1nnasasasAsI)s(f 設特征多項式為設特征多項式為0IaAaAaA)A(f011n1nn 則有則有IaAaAaA011n1nn 為相應系數(shù)為相應系數(shù)i011n1n0211n2nn1n1nb,IbAbAbAaAaAaAaA 51,2,1,0k,IcAcAcA1n,1,0iAA011n1nkni 的的線線性性組

32、組合合：）（達達為為的的任任意意高高次次冪冪都都可可以以表表即即將上述結(jié)果應用于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可得將上述結(jié)果應用于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可得1n1n100kkk22AtA)t (A)t (I )t (tAk!1tA!21AtIe 522. 可控性判據(jù)可控性判據(jù) 1n101n1n0it0iiBAABBd )(u)(BA)0(x 1 0d )(Bue)0 x(e)t (x111t0)A(ttA1 ，即即轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到內(nèi)內(nèi)將將在在根根據(jù)據(jù)可可控控性性定定義義，希希望望0)t(x)0(x1 t0,1 1t0Ad )(Bue)0 x( 1n0iikAA)( e 又又1n,1,0i,d)(u)(1t0ii 式中式中也可

33、同樣分析也可同樣分析顯然，顯然，0)t (x1 53結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可控的充要條件為結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可控的充要條件為 nBAABBrankQrank1nc 滿滿秩秩。件件為為上上式式有有解解的的充充分分必必要要條條BAABB1n Qc ：可控性判別陣：可控性判別陣（充分性證明可參考胡壽松教材）（充分性證明可參考胡壽松教材）54可可控控。則則若若；則則不不可可控控對對于于單單輸輸入入系系統(tǒng)統(tǒng)，若若0Qdet0Qdetcc 。是是否否為為零零來來判判斷斷可可控控性性可可根根據(jù)據(jù)，不不是是方方陣陣對對于于多多輸輸入入系系統(tǒng)統(tǒng)，TccTccccQQdetQrankQQrankQ 其其中中r

34、 r為為B B陣陣的的秩秩. .是是否否成成立立判判據(jù)據(jù)為為對對于于多多輸輸入入系系統(tǒng)統(tǒng)，簡簡化化nBA,AB,B,rankrn 關于可控性判別陣的說明：關于可控性判別陣的說明：55-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1uCR1CR1xxCR100CR1xx221121221121 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 R1 C1 R2 C2 時時 det Qc 0，Qc 滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；但但 R1 C1 = R2 C2 時時 det Qc =0， Qc 不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控?？煽?。 222222212111cCR1CR1C

35、R1CR1ABBQ重新討論前面的例：重新討論前面的例：)CR1CR1(CRCR1Q22112211c 56Kalman問題：如圖所示系統(tǒng)是否可控？問題：如圖所示系統(tǒng)是否可控？uL1CR1xxLR00CR1xx1212121 R1 R2 C L 時，時，Qc 滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；但但 R1 R2 C = L 時，時， Qc 不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。 222211cLRL1CR1CR1ABBQu(t)R1R2L+- y x1+- x2C)CR1LR(CLR1Q121c 57解：解： rank B = 2， 簡化判別陣為簡化判別陣為 213

36、21321uu100110 xxx110010011xxx例：判斷下列多輸入系統(tǒng)的可控性例：判斷下列多輸入系統(tǒng)的可控性 111001011110ABBBAABBQrn1c0313121313detQQdetT1c1c 系統(tǒng)不可控系統(tǒng)不可控58五、狀態(tài)可觀測性五、狀態(tài)可觀測性問題：反饋控制需要狀態(tài)信息，但問題：反饋控制需要狀態(tài)信息，但 x 通常無法通常無法直接測取，能否通過輸出直接測取，能否通過輸出 y 確定狀態(tài)變量？確定狀態(tài)變量？DuCxyBuAxx 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構圖線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構圖BCADx xyu59142423131214231424231312132411c2L

37、1x)RRRRRRRR(yu0L1xxRR1RR1C100RRRRRRRRL1xxRRRR,uy,ux,ix 時有時有當當例：選取例：選取顯然，通過顯然，通過 y 可以確定狀可以確定狀態(tài)變量態(tài)變量 x1 ( iL )，但不能確，但不能確定定 x2 ( uc )，所以系統(tǒng)是，所以系統(tǒng)是不完全可觀測的。不完全可觀測的。1u60-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C121221121221121xxyuCR1CR1xxCR100CR1xx 間間表表達達式式為為例例：系系統(tǒng)統(tǒng)如如圖圖，狀狀態(tài)態(tài)空空可以證明，可以證明，R1 C1 = R2 C2 時系時系統(tǒng)不可觀測（直觀解釋？）統(tǒng)不可觀測（直

38、觀解釋？）)t (x)t (x)t (x)t (x210201 但但 R1 C1 R2 C2 時系統(tǒng)完全可時系統(tǒng)完全可觀測。觀測。61Kalman問題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測？問題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測？uR1xxR1yuL1CR1xxLR00CR1xx12111212121 u(t)R1R2L+- y x1+- x2C難以直觀判斷！難以直觀判斷！62 對于任意給定的輸入對于任意給定的輸入u(t) ，如果能在有限的時間，如果能在有限的時間區(qū)間區(qū)間 t0, t1內(nèi)，根據(jù)輸出內(nèi)，根據(jù)輸出y(t) 的量測值唯一地確定的量測值唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0) ，則稱系統(tǒng)是可觀測的。，

39、則稱系統(tǒng)是可觀測的。狀態(tài)可觀測性定義：狀態(tài)可觀測性定義：?？乜刂浦戚斴斎肴霝闉榧醇闯醭跏际紶顮顟B(tài)態(tài)對對應應零零時時刻刻，：測測性性定定義義等等價價簡簡化化如如下下為為了了分分析析方方便便，將將可可觀觀0)t (u,)0(x)t (x0 63 0At00)tt(Att)t(Att)t(A0)tt(AxCet y0t,0)t (uxCeBueCt y BueCxCet y0000 ，則有，則有令令 線性定常系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)線性定常系統(tǒng)的可觀測性判據(jù) 01n1n101n0k0kkxCACAC)t ()t ()t (xA)t (C)t ( y nCACACACrankQ rank1n2o 有解的充要

40、條件是有解的充要條件是Qo ：可觀測：可觀測 性判別陣性判別陣D = 0根據(jù)根據(jù)Cayley-Hamilton定理定理64結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充要條件為結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充要條件為nQranko 來來判判斷斷。可可通通過過直直接接計計算算系系統(tǒng)統(tǒng)出出單單輸輸oQdet 。是是否否為為零零來來判判斷斷可可根根據(jù)據(jù)系系統(tǒng)統(tǒng)出出多多輸輸QQdetoTo 說明：說明：m m為為C C陣陣的的秩秩。判判據(jù)據(jù)為為的的簡簡化化多多輸輸出出系系統(tǒng)統(tǒng)n,CACACrankmn 65-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1 x11yuCR1CR1xxCR100CR1xx22112

41、1221121 R1 C1 R2 C2 可觀測可觀測R1 C1 = R2 C2 不可觀測不可觀測 2211oCR1CR111CACQ重新討論前面的例：重新討論前面的例：同可控性同可控性條件條件66Kalman問題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測？問題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測？uR1x1R1yuL1CR1xxLR00CR1xx111212121 u(t)R1R2L+- y x1+- x2CR1 R2 C L 可觀測可觀測R1 R2 C = L 不不可觀測可觀測 LRCR11R1CACQ2211o)CR1LR(R1Q121o 同可控性同可控性條件條件67注：非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的可控性注：非奇異線性變

42、換不改變系統(tǒng)的可控性 和可觀測性和可觀測性設變換關系為設變換關系為CPC,BPB,APPA11 即變換前后的可控性判別陣同秩即變換前后的可控性判別陣同秩則變換后的可控性判別陣為則變換后的可控性判別陣為 c11n11n1111ncQPBAABBPBAPABPBPBABABQ 可觀測性的情況類似（自證）可觀測性的情況類似（自證）68對偶性原理對偶性原理 1cT1nTTTTT1n2ToQC)A(CACCACACACQ 別別陣陣的的可可控控性性和和可可觀觀測測性性判判分分別別為為系系統(tǒng)統(tǒng)和和 )B,C,A()C,B,A(QQTTT11111o1c 1o1nTT2TTTTTT1nTcQ)A(B)A(BA

43、BBBAABBQ ，有有別別陣陣的的可可控控性性和和可可觀觀測測性性判判對對于于系系統(tǒng)統(tǒng))C,B,A( 可觀測（或可控）可觀測（或可控）可控（或可觀測）可控（或可觀測）稱為對偶系統(tǒng)，且有稱為對偶系統(tǒng)，且有與系統(tǒng)與系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)11 69六、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)六、可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)012230122asasasbsbsb)s(U)s(Y)s(G 數(shù)數(shù)為為設設系系統(tǒng)統(tǒng)輸輸入入輸輸出出傳傳遞遞函函 xbbbyu100 xaaa100010 x210210 標標準準形形為為則則狀狀態(tài)態(tài)空空間間模模型型的的可可控控70 122222caaa1a10100BAABBQ可控性判別陣為可控性判別

44、陣為顯然滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)可控。顯然滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)可控。上述結(jié)論可推廣到任意上述結(jié)論可推廣到任意 n 階系統(tǒng)，表達為階系統(tǒng)，表達為可控標準形的系統(tǒng)一定是狀態(tài)可控的?？煽貥藴市蔚南到y(tǒng)一定是狀態(tài)可控的。71觀觀測測標標準準形形，即即的的另另一一種種對對偶偶實實現(xiàn)現(xiàn)為為可可012230122asasasbsbsb)s(U)s(Y)s(G x100yubbbxa10a01a00 x210210 （滿秩，可觀測）（滿秩，可觀測）TcoQQ 可觀測性判別陣為可觀測性判別陣為上述結(jié)論可推廣到任意上述結(jié)論可推廣到任意 n 階系統(tǒng)，表達為可觀測階系統(tǒng)，表達為可觀測標準形的系統(tǒng)一定是狀態(tài)可觀測的。標準形的系統(tǒng)一定是狀態(tài)可觀測的。T1T1T1111BC,CB,AAC,B,A 則可觀標準形的則可觀標準形的設可控標準形為設可控標準形為)(72可觀測標準型的一般表達式可觀測標準型的一般表達式 x100