誤差的基本知識(shí)

1、第一章 誤差的基本知識(shí)§1.0 誤差的來(lái)源實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值問(wèn)題編程計(jì)算觀測(cè)誤差模型誤差截?cái)嗾`差舍入誤差 (1) 觀測(cè)誤差：受測(cè)量工具本身精度的影響 (2) 模型誤差：因簡(jiǎn)化和抽象，數(shù)學(xué)模型本身包含的誤差 (3) 截?cái)嗾`差：近似解與精確解之間的誤差，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值方法時(shí)產(chǎn)生 (4) 舍入誤差：取有限位小數(shù)所引起的誤差 例1 公式：所產(chǎn)生的誤差即截?cái)嗾`差 例2 R = p- 3.14159 = 0.0000026. 所產(chǎn)生的誤差即舍入誤差注：(1) 疏忽大意造成的錯(cuò)誤不屬于誤差。 (2) 總假定：由實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型是合理的，參量也是足夠精確的 (3) 主要討論截?cái)嗾`差和舍

2、入誤差。§1.1 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及有效數(shù)字1. 絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限 定義3.1 設(shè)x為精確值，x*為x的近似值，稱e = x* - x為近似值x*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差，簡(jiǎn)記為e。注：e可正可負(fù)，很難求出。（但往往知道|e|的范圍：|e| £ e） 若|e| = | x* - x | £ e(x*)，則稱e(x*)為x*的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限，簡(jiǎn)記為e。注：(1) e > 0 (2) x的范圍：x* - e £ x £ x* + e，工程上常記為：x = x* ± e。（知道誤差限就可知道精確值的范圍） 例1：“四舍五入”

3、的絕對(duì)誤差限 設(shè)x = ±0.a1a2¼ anan+1¼´10m， 十進(jìn)制標(biāo)準(zhǔn)表示式（a1¹ 0）。 四舍五入： 此時(shí)，總有2. 相對(duì)誤差與相對(duì)誤差限 絕對(duì)誤差限不能完全表示近似程度的好壞，如x = 100 ± 2，y = 10 ± 1 定義3.2 稱為近似值x*的相對(duì)誤差。 若，則稱 er為近似值x*的相對(duì)誤差限。 注：(1) 由于與相差很少，而前者不易求得，故用后者代替前者。 (2) 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限有量綱，而相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限無(wú)量綱，常用百分?jǐn)?shù)表示。 仍然考慮：x = 100 ± 2，y = 10 &#

4、177; 1： 即x* = 100，y*= 10的相對(duì)誤差限分別是2%與10%，故x*近似x的程度比y*近似y的程度好。 (3) 絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限均不唯一（上限不唯一，越小越好）。 例2：設(shè)p = 3.14159265，按四舍五入取五位數(shù)字作為其近似值：x* = 3.1416，則e = x* - p = 0.0000073，3. 有效數(shù)字和有效數(shù)字位數(shù) 定義3.3 若x*的誤差絕對(duì)值不超過(guò)某一位數(shù)的半個(gè)單位，而該位數(shù)字到x*的第1位（最左邊）非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字，這n個(gè)數(shù)字都稱為有效數(shù)字。 如設(shè)x = p = 3.14159265¼ 取x* = 3.14，則

5、|x* - x| = 0.00159265 £ 0.005 =（絕對(duì)誤差限）有效位3 取x* = 3.141，則|x* - x| = 0.00059265 £ 0.005 =有效位3 取x* = 3.142，則| x* - x| = 0.0004073 £ 0.0005 = 有效位4 注：上述做法其實(shí)就是通常的四舍五入法。 如何描述有效數(shù)字？（一般情況下在計(jì)算機(jī)中數(shù)往往規(guī)格化，故有必要考察規(guī)格化數(shù)。） 定義3.4 若x* = ± 10m ´ 0.a1a2an（a1¹ 0）是對(duì)x的第n + 1位數(shù)字進(jìn)行四舍五入后得到的近似值，即| x*

6、 - x| £ ，則x*具有n位有效數(shù)字。 注：(1) 稱x*具有n位有效數(shù)字，即| x* - x| £ (2) 有效數(shù)字位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)（即上式中的m不起作用）。只有寫成規(guī)格化數(shù)后，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字位數(shù)才有用。 (3) 4與4.0具有不同的有效數(shù)位。 例3：設(shè)準(zhǔn)確值為x = 3.78695，分析近似值= 3.7869，= 3.7870分別具有幾位有效數(shù)字。 解：|-x| = 0.00005=（小數(shù)點(diǎn)后第4位），有效位5。|-x| = 0.00005=（小數(shù)點(diǎn)后第4位），有效位5。 (4) 一般來(lái)說(shuō)，有效位數(shù)越多，其誤差值越小，但也有例外。（誤差相同，有效位不同，如下例

7、） 例4：設(shè)，它的兩個(gè)近似值和分別有3,4位有效數(shù)字。4. 有效數(shù)字與相對(duì)誤差間的關(guān)系 上面用絕對(duì)誤差來(lái)描述了有效數(shù)位，下面考慮相對(duì)誤差與有效數(shù)位的關(guān)系。 命題 設(shè)x* = ± 10k ´ 0.a1a2an（a1¹ 0）是x的近似值 若x*具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限滿足：。證明：因?yàn)閨 x*| ³ 0.a1 ´ 10 k，且x*具有n位有效數(shù)字，所以 注：有效數(shù)位越多，則相對(duì)誤差越小，反之亦然。 在實(shí)際應(yīng)用中，為了要使取得的近似數(shù)的相對(duì)誤差滿足一定的要求，可以用命題中的不等式來(lái)確定所取得近似數(shù)應(yīng)具有多少位有效數(shù)字。 例5：求的近似值，使其

8、相對(duì)誤差不超過(guò)0.1%。 解：因?yàn)?，設(shè)x*具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差滿足：（命題）。滿足此式有n = 4，故取x*= 2.449。 例6：確定圓周率p的近似值的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及有效數(shù)位。 解：因?yàn)閜* = =3.141592920×××，p××× 所以，|p* - p|=0.00000026×××，且； 誤差|e| = |p* - p| £ 0.0000005=，所以有7位有效數(shù)字。§1.2 數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)及算法穩(wěn)定性1. 函數(shù)運(yùn)算中的誤差 當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)

9、值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其誤差限可由泰勒展式估計(jì)。 (1) 設(shè)f具有二階導(dǎo)函數(shù)，x*為x的近似值，則 (2) 若f是n元函數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，xi*為xi的近似值，i=1,2,n，則2. 四則運(yùn)算中的誤差 四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例： (1) 加減法： (2) 乘法： (3) 除法：3. 浮點(diǎn)基本運(yùn)算的誤差 (1) 浮點(diǎn)數(shù)及其誤差 二進(jìn)實(shí)數(shù)：x = ± 2a´ 0.b1b2bt 其中b1 ¹ 0 機(jī)器數(shù)： x* = ± 2a´ 0.b1b2bt 符號(hào) 階碼 尾數(shù) 尾數(shù)的長(zhǎng)度由硬件決定 稱fl(x) = x*為x的機(jī)器規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)，簡(jiǎn)稱浮點(diǎn)數(shù). 記b

10、= ± 0.b1b2bt，b* = ± 0.b1b2bt，則x = 2a b，x* = 2a b*顯然，| b | ³ |b* | ³ 0.1=2-1， 所以，誤差（舍入）：|e| = | x* x | = | fl(x) x | =2a| b b*| £ 2a 2-t = 2at 相對(duì)誤差（舍入）： (2) 浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算 記fl(x)的相對(duì)舍入誤差限為，則fl(x) x = xex，|ex | £ 2t+1. 由此得到浮點(diǎn)數(shù)四則運(yùn)算產(chǎn)生的舍入誤差限為：fl(x±y) = (x±y) + (x±y)e

11、1,2=(x±y)(1+e1,2)fl(xy) = (xy)(1+e3) |ex | £ 2t+1 x=1,2,34. 例7 設(shè)x = 2101´ 0.101101，y = 211´ 0.111101，求fl(xy).解：顯然t = 110（6位），10111=10 < t對(duì)階：y = 2101´ 0.001111（01），右移2位 xy =2101(0.101101 0.001111) = 2101´ 0.011110規(guī)格化：fl(xy) = 2100´ 0.111100注：若x = 2111´ 0.101

12、101，y = 21´ 0.111101，則1111=110 ³ t，對(duì)階時(shí)有：y = 2111´ 0.000000（111101），右移6位，x±y =2111(0.101101 ± 0.000000) = 2111´ 0.101101 大數(shù)吃小數(shù) (3) 連加和連乘的誤差 例8 y = x1+x2+x3 的兩種算法. 考慮舍入誤差的影響解：(1) y = (x1+x2)+x3 fl(x1+x2) = (1+e1)(x1+x2)， fl(y) = (1+e2)(fl(x1+x2)+x3) = (1+e2)(1+e1)(x1+x2)+

13、 x3 = Þ (2) y = x1+(x2+x3) 故應(yīng)根據(jù)| x1+x2 |還是| x2+x3 |較小來(lái)選用(1)或(2). 說(shuō)明： (1) 連加的和是帶有相對(duì)誤差的各數(shù)(xk)(1+ek)的精確和，諸相對(duì)誤差限的大小因各數(shù)參加運(yùn)算的先后次序而異. (2) 連乘的運(yùn)算與各數(shù)參加運(yùn)算的先后次序無(wú)關(guān).4. 數(shù)值算法的穩(wěn)定性定義：一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即誤差），而計(jì)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng)則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。 例9 計(jì)算積分 n = 0, 1, 2, , 7（）解：(1) In = 1 nIn-1：Þ 不穩(wěn)定 (2) ：Þ 穩(wěn)定5.

14、 數(shù)值算法的可靠性 例10 計(jì)算y = a2 b2有兩個(gè)算法：算法 1 = a ´ a，2 = b ´ b，y = 1 2；算法 1 = a + b，2 = a b，y = 1 ´ 2。討論舍入誤差對(duì)它們的影響。 解：對(duì)于算法，fl(1) = (1 + 1)a2，fl(2) = (1 + 2)b2，fl(y) = (1 + 3)fl(1) fl(2) = (1 + 3)(1 + 1)a2 (1 + 2)b2從而fl(y)的相對(duì)誤差（忽略誤差的二階項(xiàng)）與相對(duì)誤差限是對(duì)于算法，fl(1) = (1 + 4)(a b)，fl(2) = (1 + 5)(a + b)，fl

15、(y) = (1 + 6)fl(1) fl(2) = (1 + 4) (1 + 5) (1 + 6)(a2 b2)從而fl(y)的相對(duì)誤差限是比較兩式可知，當(dāng)(a2 + b2) > 2|a2 b2|，即1/3 < (a/b)2 < 3時(shí)，算法的相對(duì)誤差較小，因此算法比算法在數(shù)值上更可靠，而當(dāng)(a2 + b2) £ 2|a2 b2|時(shí)，算法比算法在數(shù)值上更可靠。例如：a = 0.3237，b = 0.3134，用4位有效數(shù)字計(jì)算a2 b2，可得如下結(jié)果：算法 a ´* a = 0.1048，b ´* b = 0.9822 ´ 101，(a

16、 ´* a) (b ´* b) = 0.66 ´ 102；算法 a +* b = 0.6371，a * b = 0.1030 ´ 101，(a +*a)(b *b) = 0.6562 ´ 102。a2 b2的準(zhǔn)確值是0.656213´ 102，可見(jiàn)算法比算法的結(jié)果可靠。而a/b = 0.3237/0.3134 = 1.032865.，滿足1/3 < (a/b)2 < 3，即由理論分析也知算法比算法的結(jié)果可靠。§1.3 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的一些原則1. 選用穩(wěn)定性好的算法，以控制誤差的傳播例：在4位有效數(shù)字的精度下求

17、定積分的值： n = 0，1，2，100解：由于初值于是可建立遞推公式這是一個(gè)數(shù)值穩(wěn)定性不好的算法，y0的舍入誤差傳播到y(tǒng)1時(shí)增大5倍，如此進(jìn)行，傳播到y(tǒng)100時(shí)將增大5100倍。 如果改變計(jì)算公式，先取一個(gè)yn的近似值，用下面的公式（1.9）倒過(guò)來(lái)計(jì)算yn-1，yn-2，即：情況就不同了。我們發(fā)現(xiàn)的誤差減小到后傳給，因而初值的誤差對(duì)以后各步的計(jì)算結(jié)果的影響是隨著n的增大而愈來(lái)愈小。 利用估計(jì)式取y100的近似值為按下式即可求出101個(gè)積分值：由于y100的誤差在計(jì)算過(guò)程中的每一步都被乘以1/5，所以該算法是一個(gè)穩(wěn)定算法。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的計(jì)算過(guò)程，由于舍入誤差不增大，因而不具體估計(jì)舍入誤差也是可

18、用的。而對(duì)于一個(gè)不穩(wěn)定的計(jì)算過(guò)程，如計(jì)算步驟太多，就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。因此，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的算法，盡量避免使用數(shù)值不穩(wěn)定的算法。2. 防止大數(shù)吃小數(shù) 對(duì)位中 連加中的順序： 如在5位機(jī)上計(jì)算. 52492=0.52492´105，ai £ 0.9 = 0.000009´105 = 0 應(yīng)先計(jì)算，再與52492相加.3. 避免相近兩數(shù)相減 有效數(shù)位會(huì)嚴(yán)重?fù)p失 如x = 1.232，y = 1.231，在4位機(jī)上計(jì)算：z = x3 y3 =(1.232)3 (1.231)3 = 0.1870 ´ 101 0.1865 ´ 101 = 0.5 ´ 102，至多1位有效數(shù)字改為：z = (x y)(x2 + xy + y2) = 0.1´ 102´(0.1518´ 101 +0.1517´ 101+0.1515´ 101) = 0.455 ´ 102，此時(shí)將有3位有效數(shù)字因?yàn)閤2、xy、y2均為四舍五入所得，其絕對(duì)誤差限為0.0005 = 0.5´103，所以z = 0.455 ´ 102的絕對(duì)誤差限為：z = 0.1´