2014年各區(qū)縣一模--二次函數(shù)

1、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：y2 axbx c a , b , c 為常數(shù)，a 0；2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2 k a , h , k為常數(shù)，a 0 丨；3.兩根式：ya(xXj(x X2) a 0 , X X2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只 有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式 的這三種形式可以互化二次函數(shù)解析式確實(shí)定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)

2、便一般來說，有如下幾種情況：1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)一樣的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱2y ax bx c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y2axbx2y a x h k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是2.關(guān)于y軸對(duì)稱2y ax bx c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y2axbx2y a x h k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2y axbx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后

3、，得到的解析式是2axbx2hk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1802y axbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是2axbx2a ；k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱k關(guān)于點(diǎn) m, n對(duì)稱后，得到的解析式是2h 2m 2n ka永遠(yuǎn)不變.求根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此 拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線或表達(dá)式的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與開口方向，然 后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.二次函數(shù)與一元二次方程:

4、1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)yx軸交點(diǎn)情況：ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況當(dāng)X2)，其中的x, , X2是一元二次方圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):2, - , b 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) Ax, , 0 , B x?, 0 (x程 ax2 bx c 0 a0的兩根這兩點(diǎn)間的距離AB x2 x, 當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn)1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 ； 2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2.拋物線y2(0

5、 , c);ax bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a , b , c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a , b , c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 0時(shí)為例，揭示二

6、次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的在聯(lián)系：2021年各區(qū)縣一模二次函數(shù)0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只 有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無 交占八、二次三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無實(shí)數(shù)根.房山23.如圖，拋物線yx2 bx c經(jīng)過A( 1,0)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)是B .1求拋物線的解析2假設(shè)點(diǎn)D a,a 1在第一象限的拋物線上，求點(diǎn) D關(guān)于直線BC的稱點(diǎn)D'的坐標(biāo);3在2的條件下，過點(diǎn)D作DEkBC于點(diǎn)E,反比例函數(shù)y (k 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，x點(diǎn)F

7、m, n . 3在此反比例函數(shù)圖象上，求 4n15的值.m3昌平23.如圖，二次函數(shù)y ax2 + bx -a0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B.21求二次函數(shù)的表達(dá)式；2假設(shè)反比例函數(shù)y -x>0的圖象與二次函數(shù)y ax2 + bx -a0的圖象在第x2一象限交于點(diǎn)C(p，q)，p落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間，請(qǐng)你直接寫出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；3假設(shè)反比例函數(shù)y-x>0，k>0的圖象與二次函數(shù)x象在第一象限交于點(diǎn)D(m，n)，且2m 3，試數(shù)k的取值圍.昌平25.無論k取任何實(shí)數(shù)，對(duì)于直線ykx都會(huì)經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)(0,0)，我們就稱直線y kx恒過定點(diǎn)(0,0).1無論m取任何實(shí)數(shù)，拋物線

8、y mx2 (1 3m)x 的坐標(biāo)；2A ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是1中的定點(diǎn)A X。 線y x，求邊BC所在直線的表達(dá)式3求厶2恒過定點(diǎn)Ax。，y。，直接寫出定點(diǎn)A0，ABC且B， C的角平分線分別是y軸和直 切圓的半徑1n111-1O 1x-11東城25.平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y -x 1分別與x軸，y軸交于過點(diǎn)A，B,點(diǎn)C是第一象限的一點(diǎn)，且AB=AC AB丄AC拋物線yx2 bx c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一2交點(diǎn)為D.q1求此拋物線的解析式；2判斷直線AB與CD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；3點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn) N, 使以A B, M N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四

9、邊形？彷'假設(shè)存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.豐臺(tái)23.二次函數(shù)L1: y 2x2 bx c與x軸交于A 1,0、B3,0兩點(diǎn);二次函數(shù)L2: y kx2 4kx 3k ( k工0)的頂點(diǎn)為P.(1)請(qǐng)直接寫出：b=, c=;當(dāng) APB 90：，數(shù)k的值；(3)假設(shè)直線y 15k與拋物線L2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由4 L32 .41234 x豐臺(tái)25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y ax2 c與x軸交于點(diǎn)A-2,0丨和點(diǎn)B,與y 軸交于點(diǎn)C0, 2/3，線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒

10、1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C 移動(dòng)，線段AB上有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，兩動(dòng) 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.1求該拋物線的解析式；2在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與 AOC!似？ 如果存在，請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的t的值;如果不存在，請(qǐng)說明理由3在y軸上有兩點(diǎn)M0，m和N0，m+1，假設(shè)要使得AM+MN+NP和最小，請(qǐng)直接寫 出相應(yīng)的m t的值以與AM+MN+NP最小值.備用圖西城23.拋物線y x2 kx 3與x軸交于點(diǎn)A , B，與y軸交于點(diǎn)C ,其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1 k , 0).1求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；2將1中的拋物線沿對(duì)稱軸

11、向上平移，使其頂點(diǎn) M落在線段BC上，記該拋物線為G， 求拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；3將線段BC平移得到線段BC B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C丨使其經(jīng)過2中 所得拋物線G的頂點(diǎn)M，且與拋物線G另有一個(gè)交點(diǎn)N，求點(diǎn)B到直線0C的距離h的取值 圍。門頭溝23.關(guān)于x的一元二次方程x2 (5m 1)x 4m2 m 0.1求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;2假設(shè)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)大于 3,另一個(gè)小于8,求m的取值圍;3拋物線y x2 (5m 1)x 4m2 m與x軸交于點(diǎn)A、B點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，現(xiàn)坐標(biāo)系有一矩形OCDE如圖11,點(diǎn)C0, -5)，D6, -5) ，E6, 0),當(dāng)m

12、取第2問中符合題意的最小整數(shù)時(shí)，將此拋物線上下平移 h個(gè)單 位，使平移后的拋物線與矩形OCD有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié) 合圖形寫出h的取值或取值圍直接寫出答案即可.燕山23.關(guān)于x的一元二次方程x2 2(k 1)x k2 2k 3 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.1求k的取值圍；2當(dāng)k取最小的整數(shù)時(shí)，求拋物線y x22(k 1)x k2 2k 3的頂點(diǎn)坐標(biāo)以與它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；3將(2)中求得的拋物線在x軸下方的局部沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余局部不變，得到一個(gè)新圖象請(qǐng)你畫出這個(gè)新圖象，并求出新圖象與直線y x m有三個(gè)不同公共點(diǎn)時(shí)m的值.密云23.拋物線y 3ax22bx c1丨假設(shè)ab 1,c1求該拋

13、物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；2假設(shè)a-c b32，證明拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；3假設(shè)a1-,c 2b且拋物線在2x 2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值3平谷23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y x 1與拋物線y= ax2 + bx 3a0交于A、7 / 13B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)不與 點(diǎn)A、B重合過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,作PDL AB于點(diǎn)D.1求拋物線的解析式；2設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m 用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值； 連結(jié)PB,線段卩。把厶PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的 m的值，使這兩個(gè)三角形的面 積比為

14、1:2 假設(shè)存在，直接寫出m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.順義23.拋物線y x2 2mx m2 1與x軸交點(diǎn)為A、B點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，與y軸交 于點(diǎn)C.1試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，假設(shè) BOC是等腰三角形，求拋物線的 解析式；3一次函數(shù)y kx b，點(diǎn)Pn，0是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在2的條件下，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn) M交拋物線y x2 2mx m2 1于點(diǎn)N,假設(shè)只有 當(dāng)1 n 4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.延慶23.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y專x2 |mx m2 3m 2與x軸的交點(diǎn)分別為原

15、864-2BjJJifali*4-2 0a-6II點(diǎn)0和點(diǎn)A,點(diǎn)B4, n在這條拋物線上.1求B點(diǎn)的坐標(biāo)；2將此拋物線的圖象向上平移 7個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；23在2的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在 x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個(gè)新的圖象請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線 y lx b與此2圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值圍.23.關(guān)于x的- 兀二 次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0.1如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值圍;2在1的條件下，當(dāng)關(guān)于x的拋物線y mx2 3(m 1)x 2m 3與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，且x 4時(shí)，求m的整數(shù)

16、值.25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A( 2 3，0)，點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)C是線段0A的中點(diǎn).1點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PO的值最小時(shí)，畫出符合要求的點(diǎn)P保存作圖痕跡；求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與PQPO的最小值;y 2當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)O C的拋物線y=ax2+bx+c與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，Jl求a的值并指出這個(gè)公共點(diǎn)所在象限.海淀23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y mx2 (m n)x n m 0的圖象與y軸正半 軸交于A點(diǎn).1求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；2設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中右側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn)B,假設(shè) ABO 45，將直線AB向下平移2個(gè)單位得到直線

17、I，求直線I的解析式；3在2的條件下，設(shè)M (p,q)為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3 p 0時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線I的下方，求m的取值圍.2341蔦-4-3 -2 _- 1 O-1-2 -3-4 -5通州23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y x2 2x 8的圖象與一次函數(shù)y x b 的圖象交于A B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為7 點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上A、B兩 點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn) A B重合，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于 點(diǎn)C,作PDlAB于點(diǎn)D.1求b與sin / ACP的值；2用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)；3連接PB,線段PCffi PDB

18、分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的 m值，使這兩個(gè)三角形的 面積之比為1:2.如果存在，直接寫 出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.通州25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半圓的圓心點(diǎn)A在x軸上，直徑0B=8，點(diǎn)C是半圓上一點(diǎn)，COA 60，二次函數(shù)y a(x h)2 k的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B C動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,點(diǎn)Q以每秒兩個(gè)單位的速度在 OB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的 對(duì)稱點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D P、Q,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， DPQ勺面積為y.1求二次函數(shù)y a(x h)2 k的表達(dá)式；2當(dāng) DQP 120時(shí)，直接寫出 點(diǎn)P的坐標(biāo)；3在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過程中， DPC的面積存在最大值嗎？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)的t大興23.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸的正半軸交于A(x1,Q)、B(x2,0)兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離為2