2015年高考數學模擬試卷(新課標)9

1、2021年高考數學模擬試卷(新課標)1. 以下命題中，錯誤的選項是(). (A) 過平面a外一點可以作無數條直線與平面a平行(B) 與同一個平面所成的角相等的兩條直線必平行(C) 假設直線/垂直平面a的兩條相交直線，那么直線/必垂直平面a(D) 垂直于同一個平面的兩條直線平行2. 集合A = x|x2-3x+2<0, B = |x|>0,a>0 >,假設“xw A是“xwB的充分非必要條件，那么a的取值圍是().(A) Ovavl (B) a>2 (C) l<n<2 (D) a>l3. 假設曲線/(x,y) = 0上存在兩個不同點處的切線重合，那

2、么稱這條切線為曲線的自公切線，以下方程的曲線有自公切線的是().(A) F + y-1 = 0 (B)卜Jy21 + = 0(C) x2 + y2 %|.v|-l = O (D) 3X2 xy + l = Q迪Hl ( s、4. 等差數列an的前"項和為S，向量= 仏OP； =(B)且OP = OP + “OP那么用小m. R表示“=<C)k-m(D)n 一 m5.耐 l + 3 + 5i + (2 1)n->x 3礦 + 3n + l6.關于方程$1=1的解為.3 2r-37.巳知全集(/ = R,集合P = < y|y = A,O<x<lk 那么QP

3、=.&設 xeR向量 a = (x,l)6 = (1,-2)且a丄厶，那么a + h=.9.在'ABC 中，假設 ZA = 60 ZB = 45 BC = 3屁 那么 AC=.10. 在極坐標系中，° = 2&+1(03&<2兀)與&誇的交點的極坐標為.11. 用一平面去截球所得截面的面積為3/rcnf,球心到該截面的距離為lcm,那么該 球的體積1/1812. 復數z = a + hi (a> heR ,且bO),假設疋一4加是實數，那么有序實數對(a, h)可以是.(寫出一個有序實數對即可)13. 關于x的不等式ax23ax+a

4、-2<0的解集為R,那么實數d的取值圍.14. 設摩夭輪逆時針方向勻速旋轉，24分鐘旋轉一周，輪上觀光箱所在圓的方程為 < + / = 1.時間2 0時，觀光箱A的坐標為(扌,f )，那么當0 </<24時(單位: 分)，動點A的縱坐標y關于/的函數的單調遞減區(qū)間是.Q 415. 假設不等式(x+y)(+ )16對任意正實數“、，恒成立，那么正實數a的最小值為.16. 計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩局部，每局部考試成績只記“合格與“不合格, 只有當兩局部考試都“合格者，才頒發(fā)計算機"合格證書.甲、乙兩人在理論考試4 21 5中“合格的概率依次為三、亍，在操作考

5、試中“合格的槪率依次為所有考試 是否合格，相互之間沒有影響.那么甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有1人獲得“合 格證書的慨率.17. 數列©,對任意的RwN",當n = 3k時，an = an ；當h3R時，an=n ,T那么該數列中的第10個2是該數列的第項.sinxe 0,2i,有以下4個命題：-/(x-2),xe(2,-w)任取兀、疋丘0、+8),都有|/(x1)-/(x2)|2恒成立； f (x) = 2kf (x+2k) (k e N*),對于一切 x w 0,-Ko)恒成立；函數y = /(x)-ln(x-l)有3個零點;對任意.V>0,不等式f(x)&

6、lt;-恒成立，那么實數R的取值圍是2,13x|_8那么其中所有真命題的序號是.19. 如圖，在體積為J亍的正三棱錐A-BCD中，長為2婦，£為棱BC的中點, 求(1) 異面直線AE與CD所成角的大小(結果用反三角函數值表示)；(2) 正三棱錐A-BCD的外表積.20. 如圖，點A、B是單位圓。上的兩點，點C是010與x軸的正半軸的交點，將銳角 a的終邊04按逆時針方向旋轉蘭到0.3V(1)假設點A的坐標為l + sm2a1 +cos 2a的值;(2)用a表示BC.并求|BC|的取值國.21.為了尋找馬航MH370殘骸，我國“雪龍?zhí)柨瓶即?021年3月26日從港口。出 發(fā)，沿北偏東

7、a角的射線OZ方向航行，而在港口北偏東0角的方向上有一個給科考船補給物資的小島AOA = 300>/13 海里,且 tana =壬,cos 0 =現指揮部需要緊急征調位于港口0正東加海里的B處的補給船，速往小島A裝上補給物資供應科 考船.該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇.經測算當兩船運行的航線與海 岸線圍成的三角形OBC的面積S最小時，這種補給方案最優(yōu).0B(1) 求S關于“2的函數關系式S(m)；(2) 應征調位于港口正東多少海里處的補給船只，補給方案最優(yōu)？22.設橢圓I；的中心利拋物線匚的頂點均為原點o, r】、r的焦點均在x軸上，過匚 的焦點f作直線/與r交于a、b兩點.

8、在r上各取兩個點將其坐標記錄于 下表中：X3-24y*-2>/30-421求匚的標準方程;2假設/與匚交于C、D兩點，化為I；的左焦點，求主竺的最小值；S 厶 FqCD3點P、0是匚上的兩點，且OP丄O0,求證：!_= +_=為定值；反之，當OP OQ? + !=為此定值時，OP丄O0是否成立？請說明理由.0P OQ23.曲線C的方程為y2 = 4.v,過原點作斜率為1的直線和曲線C相交，另一個交點記為片，過片作斜率為2的直線與曲線C相交，另一個交點記為冬，過£作斜率 為4的直線與曲線C相交，另一個交點記為乙，如比下去，一般地，過點化作斜率為2" 的直線與曲線C相交，

9、另一個交點記為化札，設點代兀,，兒wN*1指出,并求兒+i與兒的關系式neN* ；2求y2J/?eN*的通項公式，并指出點列人，P、,匕出，向哪一點無限接近？說明理由；3令an = y2-y2n數列©的前"項和為S，設»=,求所有可能-Sn + 14 ° 的乘積bj bjQO W j <n的和.參考答案1. B解析試題分析：按順序考察，對A,我們知道，我平面外一點有且只有一個平面與這個平面平 行，而那個平面的所有直線與與這個平面平行，故力正確；對B,如圓錐的所有母線與底 面所成的角都相等，但它們不平行，B錯誤，應選0. C、D是線面垂直的判定與性質

10、定 理.考點：線面平行與垂直的判定與性質.2. A解析試題分析：由題意A = x|l<x<2, 8 = xx<-2x>a,題設條件說明AqB.所以 0 Vd vl.考點：解不等式，充分必要條件.3. C解析試題分析：A中曲線方程為，=一亍+1,曲線是拋物線，沒有自公切線，B中方程化簡為.丫?0時，x+l' + h= 4. xSO時，+此曲線是兩段劣圓弧，不存在自公切線，C中曲線如以下列圖，是兩個圓弧，相應的兩個圓有公切線，即曲線有自公切線,解析試題分析：由題意丄=耳+巴二d,所以Pg%,片,如，只伙，學在同一條直 n2nnt kf />7線上，那么由 OP

11、 = A OPl + /hOP1 得& + “ = 1,且n = Am4-pk ,解得“= .選 C.考點：向量中三點共線的性質，向量的線性表示.15. -3解析試題分析：limZ + J+"-1+3“ + 1=lim 二=lun _r+ 3h + 1 f 3,1S+ + 7n ir考點：數列的極限.6. 2解析試題分析：原方程為2、(2'3)3 = 1,即(2x)2-3-2J-4 = 0, (2" 4)(2'+1) = 0,所以2r=4, x = 2.考點：行列式，指數方程.7. (-8,1解析試題分析：p = y|y>l = (l,+oo)

12、,所以：P = (y),1.考點：集合的運算.&y/10解析試題分析：由題意 ab = x-2 = 01 x=2, &+b = (3,1), a + b = 32 +(-1/ =.考點：向量垂直與向量的模.9. 2忑解析試題分析：由正弦定理得丄咯二竺廠即竺二=丄&】，解得AC = 2書.sin B sin 4sin 45° siii60°考點：正弦定理.10. (龍+ 1,彳)解析試題分析：由題意p= 2xf + l=兀+1,故其交點極坐標為(兀+1冷).考點：曲線的交點坐標.3211. 兀3解析試題分析：設截面圓半徑為廣，那么龍尸=3龍，尸=3 ,

13、球半徑為R,那么/?2 = r:+J2 = 3 + l = 4t R = 2 ,所以卩= */?' = ¥龍(cm5)考點：球的截面的性質，球體積公式.12.(2,1)或滿足a = 2b的任意一對非零實數對解析試題分析：Z2 -= (« + bi)2 - 4b(a + bi) = ci2 -b2 - 4ab+(2ab - 4b2 )i 是實數，那么 lab-Mr =0 ,由于0 ,故a = 2b.考點：復數的概念.13. (-£,0解析試題分析：0 = 0時，不等式為一 2<0,恒成立，當時，有< <0,A = 9cr - 4a(a -

14、2) v 0.QQ解得一一<a<0,綜上有一一Vd<0.55考點：不等式恒成立問題，二次不等式的解集.14. 2.14解析試題分析：由題意，7* = 24 ,設 y = sm(曲+ 0)，那么 |- =» 又 sm(O+0) = £2?存+尹夢，,71,兀兀、0 =, 即 y = sm(/ + ),312324 + 2 </<24 + 14,取 k = 0,那么 2<r <14. 考點：三角函數的解析式與性質.15. 4解析試 題 分 析：(兀+y)(£ + *) = d + 4+色 + 叟?d + 4 + 4 苗=(&a

15、mp;+2)x yy x(7« + 2)2 >16=>«>4t 因此a 最小值為 4.考點：根本不等式.八2316. 45解析試題分析：甲合格的概率為x = »乙合格的概率是x = ,兩人中恰有1人合格5 253 692 的概率是jX(l二)+(二)x2-空9丿 '57 945考點：相互獨立事件有一個發(fā)生的概率.17. 39366 ( 23夕)解析試題分析：由題意，6 = 2, 4=。6=冬=2，由此可得4=2，k w N*,故第10個32應該是4屮=2,即第239項.考點：數列的通項公式與數列的項.18. ®解析試題分析：從函

16、數的定義可知f(x)hV=l ,/(x)w小=一1 ,因此|/()-/()|<1-(-1) = 2 正 確；由 定 義fa + 2k) = tf(x+2k-2) = *f(x+2k-4) = *fa+2k-2i) = . = *fa),因此 /(Q = 2*/(x+2R),錯誤；函數y = /(x)與，= ln(l)的圖象如以下列圖所求，它們有三個交點，因此方程f(x) = hi(x-l)有3個解，正確；對，由于/(|) = p(事實上從函數定義95919k薩廠帀分即%時'不等式介r不恒成立，故錯誤.或圖象可知/極呦=/(2,1-1-1) = £因此不等式f(x) &l

17、t; 要成立，必須有缶 S.1 2加亠*2/?-k> 22】故填®.19- (1) arccosT; (2) E風解析試題分析：1此題求異面直線所成的角，根據定義要把這個角作出來，一般平移其中一條, 到與另一條相交為此，題中由于有BC的中點E,因此我們以8D中點F,就有曰那么ZAEF就是所求的角或其補角；2要求正三棱錐的外表積，必須求得斜高，由已 知體積，可以先求得棱錐的高，取ABCD的中心0,那么A0就是棱錐的高，下面只要根 據正棱錐的性質正棱錐中的直角三角形應該能求得側棱長或斜高，有了斜高，就能求得 棱錐的側面積了，再加上底面積，就得到外表積了.試題解析：1過點A作AO丄平

18、面BCD ,垂足為0,那么。為BCD的中心，由2:-3 AO=V3 得40 = 1 (理 1 分文 2 分)又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE = £理2分文4分理5分文8分理6分文10分所以，異面直線AE與CD所成的角的大小為aiccosV6理7分文12分取3D中點F,連結AF、EF ,故EF CD ,所以ZAEF就是異面直線AE與CD所成的角.理4分文6分 在AAEF 中，AE = AF =邁,EF = *,所以 cos ZAEF =AE2 + EF2-AF2 _x/6 2AEEF- = 42由AE = >/2可得正三棱錐A-BCD的側面積為13S = 3 BC AE

19、 = * 2忑忑=3來理 10 分所以正三棱錐A-BCD的外表積為S = 3>/6 + -02=3>/6 + 3>/3 .理 12 分4考點：1異面直線所成的角；2棱錐的體積與外表積.20. (1) ； (2)18解析3 4試題分析：1單位圓上點A的坐標為,根據三角函數的定義有 cosz = -,sma = -,這樣我們很快可求得sin2zcos2a,也即求出上單2冬的值；2551 +cos 2aBC在卜OEC中，此三角形的兩邊長為1, BOC = a + -而，因此只要應用余弦定理就 3能求得BC的長，|BC=2 2cosa + j,要求其國，首先求得a + y的圉，根據

20、<z + yp-y,此時可得 cosa +彳w -£,#,那么必有 W1,2 + JT, BC 的圍隨之而得，|3C|wl,“+©.34試題解析：(1)由，cosa = -.sina = 一 (2分)554分8分c c24。r 7sin 2a = 2 sin a cos a = 、 cos 2a = cos* a snr a =25251 +蘭6分l + sin2a 25 _ 491 +cos 2a 7 is(2)由單位圓可知:|OC| = |OB| = 1,= a +由余弦定理得：|BC= OC十OB -2OCOBcos ZCOB= 1 + 1 2cos= 2-2c

21、os a + 310 分: aw7ta + e3G12 分|BC|2g(1,2 + >/3),.-.|BC|g2丿14 分考點：1三角函數的定義與求值；2余弦定理與三角函數的圍問題.21. (1) S(m)=300"m-700(/n > 700): (2) 1400.解析試題分析：1此題條件可以理解為ZBOC是固定的，點A也是不變，直線BC過點A , 要求 BOC面枳的最小值，根據條件.我們用解析法來解題，以0為坐標原點向向 為x正半軸，向北方向為y軸正半軸，建立直角坐標系，那么可得直線OZ的方程為y = 3x.點A坐標為900,600,又有點B坐標為人0.可得直線BA方

22、程它與直線OZ的交點C的坐標可解得，而SSOBC=OByct這樣要求的表達式就可得；2在1根底上,S = 300/Zr ,其最小值求法，把分式的分子分母同時除以加丄，得尸黑，分母m - 700“7001_m是關于丄的二次函數，最值易求.m試題解析：1以0點為原點，正北的方向為y軸正方向建立直角坐標系，1分 那么直線 0Z 的方程為 y = 3x ,設點 A xo, yo ,那么= 30V13 sin/? = 900 ,3分4分y0 = 300>/13cos/7 = 600,即 A (900f 600),又B m, 0»那么直線AB的方程為：y =八殷0x_m,900 一 m由此

23、得到C點坐標為:200/n600/ww-700 /h-700)>6分(7 > 700)8分:,Sm) = OBxyc=300用m-1002由知S7=300F _300加一700 一 7001nr m10 分300300晉+ -700(+一爲尸+爲12 分刪當知爲即心4°°時S'最小,(或令 I = m- 700 t 那么 S(m)=300/ _m- 700300(/ + 700)'7002> 840000.當且僅當m = 1400時，S加最小14 分征調加=1400海里處的船只時，補給方案最優(yōu). 考點：解析法解應用題.22.1r.：+=i,

24、 r,： y2 = 4x. ；2-；3證明見解析.43-3解析試題分析：1分析哪些點在橢圓上，哪些點在拋物線上，顯然-2,0是橢圓的頂點，因 此a = 2,從而點、/了.一£是橢圓上的點，另兩點生拋物線上，代入它們的標準方程可求 得其方程；2 F.AB與化CD的頂點都是壯，底在同一直線上，因此基、其面積之比這樣我們只要求出直線/與兩曲線相交弦長即可，直線4分理設料到直線/的距離為d,SFqCdy = kx-b與曲線/x,y = 0交于兩點，其弦長為,當然由于 直線過圓錐曲線的焦點，弦長也可用焦半徑公式表示;3從題意可看出，只有把|OP| ,OQ 求出來，才能得出結論，為了求OP, O

25、Q,我們可設OP方程為y = kx,那么00方程為I117y = 這樣|OP|, O0都能用R表示出來，再計算一+ 可得其為定值k17反之假設我們只能設OP方程為y = k、x, 00方程為y = k、x、分別 OP 卩0 12求出OPOQt代入此式，得出k&,如果一定能得到叭=-1,那么就一定有OP丄O0,否那么就不一定有OP丄O0.1np- Icq12Fl,0是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，當直線/的斜率存在時,設人 y = R(x_i),設織切)，B(x_y> C(xry3) , D(x4,y4)聯立方程>0恒成一力 ，得 k2x2 -(2k2 +4)x+k2 =0

26、 ,“0 時y = k(x-l)立.AB也可用焦半徑公式得：|肋| =耳+耳+ 2 =竺單5分聯立方程+ 143» 得(3±4k2)x2 -Sk2x+4k2-12 = 0 9 >()恒成立.y = g l)14十“QJ=J汝嚴+啟唄+叭(3+4k2)23 +荻&分)4(1 + T).Sziab _ k _3 + 4L _ 1 4 4' 712(1 + F)= 3T =戸+亍>亍3 + 4/當直線/的斜率不存在時，/： x = l,SZqAb _ 4S嶺 CQ 3此時.|4國=4CD = 3.所以，邑蘭的最小值為勺.S倫 CD38分9分10 分11

27、73理證明：假設P、Q分別為長軸和短軸的端點，那么 一+ = OP |OQ1211 分假設P. Q都不為長軸和短軸的端點.設OP y = fcr;那么OQ:y =- + 兀.PXp,p ,災侖聯立方程V=1-解得g是'處崔Ty = kx12 分£+r=i冋理.聯立方程<43竝豈_12k'121'解得“廠站刁必=站石;13 分1111Ik2+ 77-i=p=0P OQ"122k212R1212 + 12 123 + 4k + 3 + 4L3k2 + 4 + 3k2 + 47 反之，對于r;上的任意兩點只q.當亠+!=上時, OP OQ 12設OP

28、:y = klx, OQ:y = k2x.易得122 _ 12 防7 徨 4燈+ 34R/+37彳予=1212 妤+ 12 12 好+12 12即8屮2? + Ik； + 6 = 7伙f好 + 好 + R2? +1亦即ktk2 =±lf 15 分716 分所以當_L_+_L_為定值_時，OP丄O0不成立 op- OQ- 12“反之的方法二：如果有OP丄O0,且O0不在坐標軸上，作O0關于坐標軸對稱的射 線與r；交于0, OQ = OQt顯然，OP丄O0與OP丄O0不可能同時成立.考點：1橢圓、拋物線的標準方程；2直線與圓錐曲線相交弦長問題；3直線與圓錐 曲線的綜合問題.23.1畑+ 兒=4 $；2兒】 = £+扌擴心2,罟,詈;342rt+3-5.4n+:+1645解析試題分析：1由于kppj2，點出，鬥比又都是拋物線上的點，代入進去變形可得到兒 與兒札的關系為兒“ +兒=4*；2由于只要求數列兒的奇數項，因此把1中得 到的關系式中分別為2一