運算方法和運算器

1、第二章 運算方法和運算器學習重點l 數(shù)據(jù)與文字的表示l 定點加法、減法運算l 定點運算器的組成l 浮點運算的步驟2.1 數(shù)據(jù)與文字的表示方法 數(shù)據(jù)格式計算機中使用的數(shù)據(jù)可分成兩大類：數(shù)值數(shù)據(jù):數(shù)字數(shù)據(jù)的表示（定點、浮點）符號數(shù)據(jù):非數(shù)字符號的表示（ASCII、漢字、圖形等）數(shù)值數(shù)據(jù)的表示格式有定點數(shù)、浮點數(shù)兩種1.定點數(shù)的表示方法小數(shù)點的位置固定不變，通常表示成純小數(shù)或純整數(shù)。用n+1位字表示定點數(shù) X, x= xnxn-1xn-2x1x0純小數(shù)時表示范圍：0X1-2-n純整數(shù)時表示范圍：0X2n-12.浮點數(shù)的表示方法 任意進制數(shù)N表示：N=ReM M為尾數(shù)，數(shù)的精度； e為指數(shù)(整數(shù))，數(shù)

2、的范圍； R為基數(shù)，二進制為2,十進制為10； 浮點數(shù)由階碼、尾數(shù)及其符號位組成。規(guī)格化：若不對浮點數(shù)的表示作出明確規(guī)定，同一個浮點數(shù)的表示就不是惟一的。例如:0.010100102110.00101001021000.1010010210IEEE754標準(規(guī)定了浮點數(shù)的表示格式,運算規(guī)則等)規(guī)則規(guī)定了32位和64位兩種基本格式規(guī)則中,尾數(shù)用原碼,指數(shù)用移碼(便于對階和比較)，基數(shù)為2尾數(shù)域的最高有效位為1，稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。32位的浮點數(shù)S數(shù)的符號位，1位，在最高位，“0”表示正數(shù)，“1”表示負數(shù)。E是階碼，8位，采用移碼表示。移碼比較大小方便。M是尾數(shù)，23位，在低位部分，采用純小

3、數(shù)表示。規(guī)格化的浮點數(shù)尾數(shù)域最左位(最高有效位)總是1， 故這一位經(jīng)常不予存儲，而認為隱藏在小數(shù)點的左邊(1.M) 。采用這種方式時，將浮點數(shù)的指數(shù)真值e變成階碼E時，應將指數(shù)e加上一個固定的偏移值127(01111111)，即E=e+127。一個規(guī)格化的32位浮點數(shù)x的真值表示為x=(-1)S(1.M)2E-127設e=E-127x=(-1)S(1.M)2e例1若浮點數(shù)x的754標準存儲格式為(41360000)16，求其浮點數(shù)的十進制數(shù)值。解：將16進制數(shù)展開后，可得二制數(shù)格式為0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000S 階碼(8位) 尾數(shù)(23位)指

4、數(shù)e=階碼E-127=10000010-01111111=00000011=(3)10包括隱藏位1的尾數(shù)M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011于是有x=(-1)S1.M2e=+(1.011011)23=+1011.011=(11.375)10例2將數(shù)(20.59375)10轉換成754標準的32位浮點數(shù)的二進制存儲格式。解:首先分別將整數(shù)和小數(shù)部分轉換成二進制數(shù)： 20.59375=10100.10011然后移動小數(shù)點，使其在第1，2位之間 10100.10011=1.01001001124e=4于是得到： E=e+127=4+127=131S=0,

5、 E=131=10000011, M=010010011最后得到32位浮點數(shù)的二進制存儲格式為：41A4C000)16真值x為零表示：當階碼E為全0且尾數(shù)M也為全0時的值，結合符號位S為0或1，有正零和負零之分。真值x為無窮大表示：當階碼E為全1且尾數(shù)M為全0時，結合符號位S為0或1，也有+和-之分。這樣在32位浮點數(shù)表示中，要除去E用全0和全1（255）表示零和無窮大的特殊情況，對于規(guī)格化浮點數(shù)，E的范圍變?yōu)?到254，因為E=e+127，所以真正的指數(shù)值e則為-126到+127。因此32位浮點數(shù)表示的絕對值的范圍是10-381038（以10的冪表示）。64位的浮點數(shù)中符號位1位，階碼域11

6、位，尾數(shù)域52位，指數(shù)偏移值是1023。因此規(guī)格化的64位浮點數(shù)x的真值為：x=(-1)S(1.M)2E-1023 e=E-1023浮點數(shù)所表示的范圍遠比定點數(shù)大。一臺計算機中究竟采用定點表示還是浮點表示，要根據(jù)計算機的使用條件來確定。一般在高檔微機以上的計算機中同時采用定點、浮點表示，由使用者進行選擇。而單片機中多采用定點表示。機器碼:機器中表示的數(shù), 要解決在計算機內(nèi)部數(shù)的正、負符號和小數(shù)點運算問題。原碼、反碼、補碼、移碼例7將十進制真值(127,1,0,1,127)列表表示成二進制數(shù)及原碼、反碼、補碼、移碼值。例8設機器字長16位,定點表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問：(1)定點原碼整數(shù)表

7、示時,最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?(2)定點原碼小數(shù)表示時,最大正數(shù)是多少?最小負數(shù)是多少?定點原碼整數(shù)表示最大正數(shù)值(215-1)10(32767)10最小負數(shù)值(215-1)10(32767)10定點原碼小數(shù)表示 最大正數(shù)值(1-2-15)10(0.111.11)2最小負數(shù)值(1-2-15)10(0.111.11)2數(shù)字編碼輸入的優(yōu)點是無重碼,且輸入碼與內(nèi)部編碼的轉換比較方便,缺點是代碼難以記憶。拼音碼是以漢字拼音為基礎的輸入方法。使用簡單方便，但漢字同音字太多,輸入重碼率很高,同音字選擇影響了輸入速度。 為了加快輸入速度,在上述方法基礎上,發(fā)展了詞組輸入、聯(lián)想輸入等多種快速輸入方法。

8、更理想的輸入方式是利用語音或圖象識別技術“自動”將拼音或文本輸入到計算機內(nèi),并將其自動轉換為機內(nèi)代碼表示。目前這種理想已經(jīng)成為現(xiàn)實，如語音輸入、手寫輸入、OCR等。 漢字內(nèi)碼漢字內(nèi)碼是用于漢字信息的存儲、交換、檢索等操作的機內(nèi)代碼,一般采用兩個字節(jié)表示。漢字機內(nèi)代碼中兩個字節(jié)的最高位均規(guī)定為“1”。（一級漢字3755個，二級漢字3008個） 注意：有些系統(tǒng)中字節(jié)的最高位用于奇偶校驗，此情況下用三個字節(jié)表示漢字內(nèi)碼。 校驗碼校驗碼（只介紹奇偶校驗碼）引入：信息傳輸和處理過程中受到干擾和故障，容易出錯。解決方法：是在有效信息中加入一些冗余信息（校驗位）奇偶校驗位定義缺點其它校驗方法還有Hammin

9、g，CRC2.2定點加法、減法運算 補碼加減法補碼加法公式：x+y補=x補+y補補碼減法公式：x-y補=x補+-y補該公式將減法轉變?yōu)榧臃ㄈ绾吻?y補?y=0.0111 y補=0.0111-y補=1.1001例: x=-0.1011,y=0.0111,求x+y=?解: x補=1.0101 y補=0.0111x+y補=x補+y補 =1.0101+0.0111=1.1100x+y=-0.0100例: x=0.11011,y=-0.11111,求x-y=?解: x補=0.11011 y補=1.00001 -y補=0.11111x-y補=x補+-y補=1.11010課堂練習例: x0.1011, y0

10、.1001,求x+y補=?例: x0.1101,y0.1011,求x+y 補=? 溢出的檢測可能產(chǎn)生溢出的情況兩正數(shù)加，變負數(shù)，上溢（大于機器所能表示的最大數(shù)）兩負數(shù)加，變正數(shù)，下溢（小于機器所能表示的最小數(shù)）雙符號位法（參與加減運算的數(shù)采用變形補碼表示）Sf1 Sf20 0正確（正數(shù)）01上溢10下溢11正確（負數(shù)）Sf1和Sf2相同表示正確的符號，邏輯表達式為V=Sf1Sf2,可以用異或門來實現(xiàn)單符號位法Cf C000正確01上溢10下溢11正確V=CfC0 其中Cf為符號位產(chǎn)生的進位,C0為最高有效位產(chǎn)生檢驗舉例：0.1100, 0.1000,求 0.1100, 0.1000,求 結果出

11、現(xiàn)了01或10的情況就為溢出基本的加法和減法器基本的加法和減法器全加器半加器全加器考慮低位進位Ci和向高位的進位Ci+1半加器不考慮低位進位圖2.3行波進位的補碼加法減法器2.3 定點乘法運算乘法實現(xiàn)方法l 在現(xiàn)有的加法和減法器的基礎上增加適當?shù)木€路及控制邏輯可以實現(xiàn)l 用LSI和VLSI工藝實現(xiàn)專用的乘法器 LSI (Large-scale integration大規(guī)模集成電路)l 編制子程序(單片機等低端機器) 原碼并行乘法人工算法與機器算法的同異性 由加法器完成乘法運算需要如下改進n n位乘n位積可能為2n位. n 乘積的最后是所有部分積之和，有n個數(shù)相加，而FA只有兩個輸入端 方法一：

12、硬件實現(xiàn)方法(串行的“加法和移位”),硬件結構簡單,速度太慢(已經(jīng)淘汰). 方法二：不帶符號位的陣列乘法器要實現(xiàn)n位n位時,需要n(n1)個全加器和n2個“與”門。 圖2.4 mn位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖帶符號位的陣列乘法器計算機中定點數(shù)通常用補碼表示，而前面介紹的不帶符號陣列乘法器是用原碼計算乘法的，為了能進行補碼乘法，需要在計算乘法之前和之后增加求補電路。原理：算前求補乘法器算后求補求補電路工作特點E=0時，輸入和輸出相等E=1時，則從數(shù)最右端往左邊掃描，直到第一個1的時候，該位和右邊各位保持不變0A=A，左邊各數(shù)值位按位取反1A=A例17 設15,13,用帶求補器的原碼陣列乘法器求出

13、乘積？解: 設最高位為符號位,則輸入數(shù)據(jù)為原 01111 原 11101 符號位單獨考慮,算前求補級后 |1111,|1101 算后經(jīng)求補級輸出并加上乘積符號位1,則原碼乘積值為111000011。換算成二進制數(shù)真值是 (11000011)2=(-195)10十進制數(shù)驗證：15(13)195相等。2.4定點運算器的組成2.4.1 多功能算術/邏輯運算單元(ALU)一位全加器(FA)的邏輯表達式為FiXiYiCn+i (2.30) Cn+i+1XiYiYiCn+iCn+iXi4位ALU圖2.10ALU的邏輯結構原理框圖問題：片內(nèi)是串行進位還是并行進位？4位之間采用先行進位公式,根據(jù)式（2.30）

14、,每一位的進位公式可遞推如下：第0位向第1位的進位公式為 Cn1Y0X0Cn其中Cn是向第0位（末位）的進位。第1位向第2位的進位公式為 Cn2Y1X1Cn1 Y1Y0X1X0X1Cn第2位向第3位的進位公式為 Cn3Y2X2Cn2 Y2Y1X1Y0X1X2X0X1X2Cn第3位的進位輸出（即整個4位運算進位輸出）公式為Cn4Y3X3Cn3Y3Y2X3Y1X2X3Y0X1X2X3X0X1X2X3Cn設GY3Y2X3Y1X2X3Y0X1X2X3PX0X1X2X3 則 Cn4GPCn 這樣,對一片ALU來說,可有三個進位輸出。其中G稱為進位發(fā)生輸出,P稱為進位傳送輸出。在電路中多加這兩個進位輸出的

15、目的,是為了便于實現(xiàn)多片（組）ALU之間的先行進位,為此還需一個配合電路,稱之為先行進位發(fā)生器(CLA)74181ALU邏輯電路圖（總體）74181ALU邏輯電路圖（總體）表2.5 74181ALU算術/邏輯運算功能表設計16位ALUCn+4=G0+P0CnCn+8=G1+P1Cn+4Cn+12=G2+P2Cn+8Cn+16=G3+P3Cn+12片內(nèi)先行進位,片間串行進位Cn+4=G0+P0Cn Cn+8=G1+P1Cn+4=G1+G0P1+P0P1CnCn+12=G2+P2Cn+8=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2Cn Cn+16=G3+P3Cn+12=G3+G2P3+G1P2P3+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn=G*+P*CnG*為成組先行進位發(fā)生輸出P*為成組先行進位傳送輸出成組先行進位部件CLA的邏輯圖16位先行進位ALU圖2.13用兩個16位全先行進位部件級聯(lián)組成的32位ALU三態(tài)門組成的雙向數(shù)據(jù)總線2.5浮點