計(jì)算機(jī)圖形學(xué)教案

1、第1章 緒論1.1 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)及其相關(guān)概念§ 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)（Computer Graphics）計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是研究怎樣利用計(jì)算機(jī)來顯示、生成和處理圖形的原理、方法和技術(shù)的一門學(xué)科。IEEE定義：Computer graphics is the art or science of producing graphical images with the aid of computer. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與傳統(tǒng)理論 ：交叉、界線模糊、相互滲透 CAGD（計(jì)算幾何） 逼近論（計(jì)算數(shù)學(xué)） 微分幾何 形態(tài)學(xué) 混沌學(xué) 小波理論 § 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究對象圖形通常意義下的圖形：能夠在人的視覺

2、系統(tǒng)中形成視覺印象的客觀對象都稱為圖形。圖形的要素幾何要素：刻畫形狀的點(diǎn)、線、面、體非幾何要素：反映物體表面屬性或材質(zhì)的明暗、輝度、色彩（顏色信息）計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中所研究的圖形從客觀世界物體中抽象出來的帶有顏色及形狀信息的圖和形。§ 圖形的表示點(diǎn)陣法是用具有顏色信息的點(diǎn)陣來表示圖形的一種方法，它強(qiáng)調(diào)圖形由哪些點(diǎn)組成，并具有什么灰度或色彩。 參數(shù)法是以計(jì)算機(jī)中所記錄圖形的形狀參數(shù)與屬性參數(shù)來表示圖形的一種方法。 通常把參數(shù)法描述的圖形叫做圖形（Graphics） 把點(diǎn)陣法描述的圖形叫做圖像（Image）§ 與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)的學(xué)科 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)試圖從非圖像形式的數(shù)據(jù)描

3、述來生成（逼真的）圖像。 數(shù)字圖像處理旨在對圖像進(jìn)行各種加工以改善圖像的視覺效果。 計(jì)算機(jī)視覺是研究用計(jì)算機(jī)來模擬生物外顯或宏觀視覺功能的科學(xué)和技術(shù)。 1.2 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的確立§ 醞釀期（50年代）1950年，美國MIT的旋風(fēng)1號(Whirlwind I)計(jì)算機(jī)配備了陰極射線管(CRT)來顯示一些簡單的圖形§ 萌芽期（60年代）1962年，美國MIT林肯實(shí)驗(yàn)室的Ivan.E.Sutherland發(fā)表了一篇題為"Sketchpad：一個(gè)人機(jī)通信的圖形系統(tǒng)"的博士論文，其中首次使用了“Computer Graphics

4、”§ 發(fā)展期（70年代）§ 普及期（80年代） 出現(xiàn)了帶有光柵圖形顯示器的個(gè)人計(jì)算機(jī)和工作站§ 提高增強(qiáng)期（90年代） 硬設(shè)備的發(fā)展§ 圖形顯示設(shè)備60年代中期，隨機(jī)掃描的顯示器60年代后期，存儲管式顯示器70年代中期，光柵掃描的圖形顯示器。目前正向著小型化、低電壓、數(shù)字化方向發(fā)展§ 圖形硬拷貝設(shè)備打印機(jī)、繪圖儀§ 圖形輸入設(shè)備二維圖形輸入設(shè)備、三維圖形輸入設(shè)備 圖形軟件的發(fā)展及軟件標(biāo)準(zhǔn)的形成§ 圖形軟件的發(fā)展開放式、高效率、標(biāo)準(zhǔn)化、集成化、智能化、學(xué)科交叉§  圖形軟件標(biāo)準(zhǔn) 與設(shè)備無關(guān)、與應(yīng)用無關(guān)、具有

5、較高性能§ 近二十年中，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO已經(jīng)批準(zhǔn)和正在討論的與計(jì)算機(jī)圖形有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)有：GKS、GKS-3D、PHIGS、CGM、CGI、IGES、STEP§ 事實(shí)標(biāo)準(zhǔn)：如SGI的OpenGL，微軟的Direct X，Adobe的Postscript等 1.3 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用1. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造（CAD/CAM）2. 計(jì)算機(jī)輔助繪圖3. 計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)（CAI）4. 辦公自動化和電子出版技術(shù)(Electronic Publication)5. 計(jì)算機(jī)藝術(shù)6. 在工業(yè)控制及交通方面的應(yīng)用7. 在醫(yī)療衛(wèi)生方面的應(yīng)用8. 圖形用戶界面1.4 計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng) 計(jì)算機(jī)圖形

6、系統(tǒng)的功能 計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)1.5 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究動態(tài) 計(jì)算機(jī)動畫 計(jì)算機(jī)動畫是指用程序生成一系列（幀）的景物畫面，其中當(dāng)前幀畫面是對前一幀畫面的部分修改。 地理信息系統(tǒng)例如：天氣預(yù)報(bào)的衛(wèi)星云圖 人機(jī)交互HCI（Human Computer Interface)涉及的科學(xué)領(lǐng)域包括：計(jì)算機(jī)科學(xué)（人機(jī)界面的設(shè)計(jì)和工程）心理學(xué)（人的認(rèn)知過程和行為分析）社會學(xué)和人類學(xué)（技術(shù)、工作和組織之間的交互作用）工業(yè)設(shè)計(jì)（交互式產(chǎn)品） 真實(shí)感圖形顯示應(yīng)用：影視特技、廣告動畫、機(jī)械和建筑CAD、情景仿真、飛機(jī)駕駛員訓(xùn)練、房間和座艙的光照明設(shè)計(jì)。 虛擬現(xiàn)實(shí)(Virtual-reality) 由計(jì)算機(jī)生成的一個(gè)實(shí)

7、時(shí)三維空間。使用戶產(chǎn)生一種身臨其境的感覺。 科學(xué)計(jì)算可視化（Visualization in Scientific Computing）運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將科學(xué)計(jì)算過程中及計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形及圖像在屏幕上顯示出來并進(jìn)行交互處理的理論、方法和技術(shù)。 并行圖形處理工作站網(wǎng)絡(luò)（NOW，Network of Workstation）工作站機(jī)群（workstation cluster）第2章 圖形設(shè)備提出問題§ 計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)包含哪些外部設(shè)備？圖形輸入設(shè)備、圖形輸出設(shè)備：圖形顯示設(shè)備、圖形繪制設(shè)備： 2.1 圖形輸入設(shè)備 鍵盤（keyboard）鍵盤是輸入那些如輔助圖形顯示

8、的圖片標(biāo)記等非圖形數(shù)據(jù)的高效率設(shè)備。 鼠標(biāo)器(mouse)鼠標(biāo)器（簡稱鼠標(biāo)）是目前最常用的計(jì)算機(jī)輸入裝置，用來移動光標(biāo)和作選擇操作。鼠標(biāo)按測量位移的器件可分為：v 用鼠標(biāo)底部的轉(zhuǎn)輪或滾輪來記錄移動的總量和方向。v 采用光學(xué)感應(yīng)器來檢測鼠標(biāo)運(yùn)動。基本鼠標(biāo)設(shè)計(jì)可包括一些附加設(shè)備功能，以增加允許的輸入?yún)?shù)的數(shù)量。Z鼠標(biāo)包含3個(gè)按鈕：側(cè)邊的拇指轉(zhuǎn)輪、頂部的跟蹤球以及底部的標(biāo)準(zhǔn)鼠標(biāo)球。這種設(shè)計(jì)提供了6個(gè)自由度的空間位置選擇旋轉(zhuǎn)和其他參數(shù)。用Z鼠標(biāo)可以拾取一個(gè)對象，使之旋轉(zhuǎn)，并按任意方向移動。或者，可以通過三維場景，來駕馭觀察位置和方向。Z鼠標(biāo)的應(yīng)用領(lǐng)域包括虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)、CAD和計(jì)算機(jī)動畫。 光筆(lig

9、ht pen)光筆是一種檢測裝置，它靠檢測熒光屏上的發(fā)光點(diǎn)來選擇屏幕的位置坐標(biāo)。光筆有3個(gè)基本功能：定位、拾取和筆畫跟蹤。拾取是選中顯示器上已顯示的圖形或字符以便作進(jìn)一步的加工處理。筆畫跟蹤用光筆拖動光標(biāo)實(shí)現(xiàn)定位，可用于圖形編輯。工作原理：光筆的形狀和大小像一支圓珠筆，筆尖處開有一個(gè)圓孔，讓熒光屏上的光通過這個(gè)孔進(jìn)入光筆。光筆的頭部有一組透鏡，把所收集的光聚集到光導(dǎo)纖維的一個(gè)端面上，光導(dǎo)纖維再把光信號無折射的傳到另一端，再將光信號轉(zhuǎn)換成電信號，經(jīng)過整形后輸出一個(gè)有合適信噪比的邏輯電平，并作為中斷信號送給計(jì)算機(jī)和顯示器的顯示控制器。 觸摸屏(touch screen)觸摸屏也叫觸摸板(touch

10、 panel)。這種裝置以手指觸摸的方式選擇屏幕位置。主要有：光學(xué)的（紅外線式）、電子的（電阻式和電容式）、聲音的（聲波式）幾種。紅外線式觸摸屏的工作原理：紅外線式觸摸屏通常是在屏幕的一邊用紅外器件發(fā)射紅外光，而在另一邊設(shè)置接收裝置檢測光線的遮擋情況。這里可有兩種方式：一種是利用互相垂直排列的兩列紅外發(fā)光器件在屏幕上方與屏幕平行的平面內(nèi)組成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，而在相對應(yīng)的另外兩邊用光電器件接收紅外線光，檢查紅外線的遮擋情況。當(dāng)手指觸在屏幕上時(shí)，就會擋住一些光束，光電器件就會因?yàn)榻邮詹坏焦饩€而發(fā)生電平變化。另一種是傾斜角光束掃描系統(tǒng)，它利用扇形的光束從屏幕兩角照射屏幕，在和屏幕平行的平面內(nèi)形成一個(gè)光平面。

11、產(chǎn)生觸摸時(shí)，通過測量投射在屏幕其余兩邊的陰影覆蓋范圍來確定手指的位置。 操縱桿(joystick) 跟蹤球（trackball）和空間球（spaceball） 跟蹤球常安裝在鍵盤或其他設(shè)備如Z鼠標(biāo)上，用作二維定位設(shè)備。空間球提供6個(gè)自由度，用作三維定位和選擇設(shè)備。 數(shù)據(jù)手套(data glove)數(shù)據(jù)手套是一種戴在手上的傳感器，它能給出用戶所有手指關(guān)節(jié)的角度變化，來自手套的輸入，可用來給虛擬場景中的對象定位或操縱該場景。 數(shù)字化儀(digitizer)數(shù)字化儀用來在所作的畫或?qū)ο笊蠏呙瑁⑤斎胍唤M坐標(biāo)位置，相互以直線段連接，以逼近曲線或表面形狀。 圖像掃描儀(scaner)圖象掃描儀可直接把圖

12、紙、圖表、照片、廣告畫等輸入到計(jì)算機(jī)中，在將它們傳過一個(gè)光學(xué)掃描機(jī)構(gòu)時(shí)，灰度或彩色等級被記錄下來，并按圖象方式進(jìn)行存儲。掃描儀的分類：按所支持的顏色，掃描儀可分為單色掃描儀和彩色掃描儀；按所采用的固態(tài)器件又分為電荷耦合器件掃描儀、MOS電路掃描儀、緊貼型掃描儀等。按掃描的寬度和操作方式可分為大型掃描儀、臺式掃描儀和手動掃描儀。掃描儀的評價(jià)指標(biāo)：幅面、分辨率、支持的顏色、灰度等級等。掃描儀的幅面有：A0、 A1、 A4。掃描儀分辨率是指在原稿的單位長度（英寸）上取樣的點(diǎn)數(shù)，單位是d/i,常用的分辨率為3001000 d/i. 聲頻輸入系統(tǒng)也稱為聲音輸入系統(tǒng)，在某些圖形工作站中，采用話音識別器作為

13、輸入設(shè)備，以接收操作者的命令。 1 視頻輸入系統(tǒng)視頻信號采集板（卡）、視頻信號輸入卡、視頻信號處理裝置、視霸卡（video blunster）2.2 圖形顯示設(shè)備2.2.1 陰極射線管CRTCRT（Cathode Ray Tube）是一種真空器件，它利用電磁場產(chǎn)生高速的、經(jīng)過聚焦的電子束，偏轉(zhuǎn)到屏幕的不同位置轟擊屏幕表面的熒光材料而產(chǎn)生可見圖形。從外形上看，CRT為：管頸部分、錐體部分、屏幕部分 從結(jié)構(gòu)上看，CRT為：電子槍、偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)、熒光屏 (1)電子槍電子槍的主要功能是產(chǎn)生一個(gè)沿管軸（Z軸）方向前進(jìn)的細(xì)電子束轟擊熒光屏。 電子束應(yīng)滿足下列要求：a.具有足夠的電流強(qiáng)度。b.電流的大

14、小和有無必須是可控的。c.具有很高的速度。d.在熒光屏上應(yīng)能聚焦很小的光亮，以保證顯示器有足夠的分辨率。 電子槍的結(jié)構(gòu) 以上五個(gè)電極用玻璃絕緣柱支撐組裝成一個(gè)堅(jiān)實(shí)的整體，總稱為電子槍。 (2)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)電子束偏轉(zhuǎn)有電偏轉(zhuǎn)和磁偏轉(zhuǎn)兩種方法磁偏轉(zhuǎn)磁偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)是利用磁場使電子束產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，掃描熒光屏產(chǎn)生字符或圖形。造成枕形失真可以導(dǎo)出，當(dāng)偏轉(zhuǎn)線圈的匝數(shù)一定時(shí)，偏轉(zhuǎn)電流I與偏轉(zhuǎn)角的正弦成正比。校正的措施有二：一是將產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)磁場的鋸齒形電流預(yù)先產(chǎn)生一些失真；二是“桶形失真”電偏轉(zhuǎn) (3)CRT的熒光屏CRT熒光屏（Phosphor Screen）是用熒光粉涂敷在玻璃底壁上制成的，常用沉積法涂敷熒光粉。玻璃底壁

15、要求無氣泡，表面光學(xué)拋光。對熒光粉的性能要求是： 發(fā)光顏色滿足標(biāo)準(zhǔn)白色、發(fā)光效率高、余輝時(shí)間合適以及壽命長等。 彩色陰極射線管三基色原則蔭罩式彩色顯象管主要結(jié)構(gòu)：三色熒光屏、三支電子槍、蔭罩板。顯示原理 缺點(diǎn)§ 為了避免混色，熒光點(diǎn)的面積比電子束截面要大些§ 只有15%左右的電子到達(dá)屏幕§ 管子的亮度低§ 要提高管子的亮度，則需提高第二陽極的高壓 黑底蔭罩管彩色顯象管必須滿足色純度、會聚和白平衡的要求穿透式彩色顯示原理結(jié)構(gòu)缺點(diǎn)：當(dāng)圖形彩色轉(zhuǎn)換速度很快時(shí)，相應(yīng)的高壓轉(zhuǎn)換速度亦迅速，這要求轉(zhuǎn)換速度精度功耗 CRT圖形顯示器1. 隨機(jī)掃描的圖形顯示器又稱為向量

16、（vector）顯示器、筆劃（Stroke writing）顯示器。隨機(jī)掃描（random-scan）的圖形顯示器中電子束的定位和偏轉(zhuǎn)具有隨機(jī)性，即電子束的掃描軌跡隨顯示內(nèi)容而變化，只在需要的地方掃描，而不必全屏掃描。 隨機(jī)掃描工作原理：隨機(jī)掃描顯示器的基本工作過程特點(diǎn)：l 無冗余掃描、速度快、圖像清晰、比光柵系統(tǒng)更高的分辨率、生成光滑線條l 不能顯示逼真場景、和電視標(biāo)準(zhǔn)不一致、驅(qū)動系統(tǒng)也較復(fù)雜2. 直視存儲管圖形顯示器直視存儲管DVST（direct-view storage tube）從表面上看直視存儲管的特性極象一個(gè)有長余輝的熒光屏，一條線一旦畫在屏幕上，在一小時(shí)之內(nèi)都將是可見的。特點(diǎn)：

17、§ 無需刷新；§ 很復(fù)雜的圖形都可以在極高的分辨率下無閃爍地顯示；§ 成本較低；§ 不能顯示彩色；§ 不能局部修改；§ 擦除和重畫過程對復(fù)雜圖形來講，可能要幾秒鐘。3. 光柵掃描的圖形顯示器在光柵掃描系統(tǒng)中，電子束橫向掃描屏幕，一次一行，從頂?shù)降醉槾芜M(jìn)行。當(dāng)電子束橫向沿每一行移動時(shí)，電子束的強(qiáng)度不斷變化來建立亮點(diǎn)的圖案。 刷新速率：每秒60到80幀，即60Hz或80Hz。水平回掃（horizontal retrace），行掃描垂直回掃（verticle retrace），場掃描逐行掃描和隔行（interlaced）掃描：隔行掃描技術(shù)主

18、要用于較慢的刷新速率，以避免閃爍工作原理：光柵掃描是控制電子束按某種光柵形狀進(jìn)行的順序掃描，而字符、圖像是靠Z軸信號控制輝亮來形成的。§ 刷新緩沖存儲器（refresh buffer）或稱幀緩沖存儲器（frame buffer）§ 象素（pixel或pel，是picture element的簡寫）§ 象素信息從應(yīng)用程序轉(zhuǎn)換并放入幀緩沖區(qū)的過程稱之為掃描轉(zhuǎn)換過程。特點(diǎn)：最合適顯示濃淡和色彩圖形，可以顯示逼真場景，和電視標(biāo)準(zhǔn)一致。走樣 平板顯示器（flat-panel display）低電壓、輕小型、數(shù)字化顯示器件平板顯示器（flat-panel display）&#

19、167; 非發(fā)射顯示器（none-missive display）§ 發(fā)射顯示器（emissive display）1. 液晶顯示器（Liquid Crystal Display）v 液晶的電光效應(yīng)：當(dāng)液晶分子的某種排列狀態(tài)在電場作用下變?yōu)榱硪环N排列狀態(tài)時(shí)，液晶的光學(xué)性質(zhì)隨之改變。v 液晶顯示的機(jī)理是通過能阻塞或傳遞光的液晶材料，傳遞來自周圍的或內(nèi)部光源的偏振光。2. 等離子體顯示板（氣體放電顯示器）3. 薄片光電顯示器4. 發(fā)光二極管顯示器（Liquid-Emitting Diode）它常用于設(shè)計(jì)大型的室內(nèi)室外的顯示屏。v 結(jié)構(gòu)原理：二極管以矩陣排列形成顯示器的象素位置v 特點(diǎn)：暖

20、色效應(yīng)5. 激光顯示器特點(diǎn)：可以在非常短的時(shí)間內(nèi)顯示很復(fù)雜的圖象，不能擦除 。 三維觀察設(shè)備一是采用從變焦距的柔性震動鏡面反射CRT圖象。二是顯示具立體感的視圖。v 利用不同的刷新周期交替地顯示兩視圖將屏幕分半。v 使用頭盔式結(jié)構(gòu)。2.3 圖形顯示子系統(tǒng)簡單的光柵圖形顯示子系統(tǒng)：其中，幀緩沖存儲器可在系統(tǒng)主存的任意位置，顯示控制器訪問幀緩存，以刷新屏幕，但此時(shí)顯示控制器訪問幀緩沖存儲器均須通過系統(tǒng)總線，故總線成為系統(tǒng)的主要瓶頸。常用的光柵圖形顯示子系統(tǒng)：幀緩沖存儲器由顯示控制器直接訪問，它既可以使用系統(tǒng)主存的固定區(qū)域，又可以是專用的顯示內(nèi)存。顯示圖形時(shí)所需的掃描轉(zhuǎn)換工作直接由CPU來完成，即由

21、CPU計(jì)算出表示圖形的每個(gè)象素的坐標(biāo)并將其屬性值寫入相應(yīng)的幀緩存單元。由于掃描轉(zhuǎn)換的計(jì)算量相當(dāng)大，這樣做會加重CPU的負(fù)擔(dān)。發(fā)展的光柵圖形顯示子系統(tǒng)：除了幀緩存和顯示控制器外，它還包含顯示處理器和獨(dú)立的顯示處理器存儲區(qū)域（器）。獨(dú)立的顯示處理器存儲區(qū)域主要用來存放顯示處理時(shí)的一些程序和數(shù)據(jù)。顯示處理器（display processor），又稱圖形控制器（graphics controller）或顯示協(xié)處理器（display coprocessor），它把從圖形顯示處理的事務(wù)中解脫出來，其主要任務(wù)是掃描轉(zhuǎn)換待顯示的圖形。 顯示子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)目前常用的PC圖形顯示子系統(tǒng)主要由三個(gè)部件組成：§

22、; 幀緩沖存儲器（幀緩存）§ 顯示控制器（display controller），又稱視頻控制器（video controller）§ ROM BIOS注意：通常將PC中的圖形顯示子系統(tǒng)簡稱為圖形顯示卡（顯卡）。 相關(guān)概念1. 分辨率光點(diǎn)一般是指電子束打在顯示器的熒光屏上，顯示器能夠顯示的最小的發(fā)光點(diǎn)。象素點(diǎn)是指圖形顯示在屏幕上的時(shí)候，按當(dāng)前的圖形顯示分辨率所能提供的最小元素點(diǎn)。三種分辨率：屏幕分辨率，也稱為光柵分辨率，它決定了顯示系統(tǒng)最大可能的分辨率，任何顯示控制器所提供的分辨率也不能超過這個(gè)物理分辨率。通常用水平方向上的光點(diǎn)數(shù)與垂直方向上的光點(diǎn)數(shù)的乘積來表示。顯示分辨率

23、是計(jì)算機(jī)顯示控制器所能夠提供的顯示模式分辨率，實(shí)際應(yīng)用中簡稱為顯示模式。§ 對于文本顯示方式，顯示分辨率用水平和垂直方向上所能顯示的字符總數(shù)的乘積表示。§ 對于圖形顯示方式，則用水平和垂直方向上所能顯示的象素點(diǎn)總數(shù)的乘積表示。顯示分辨率不同，它所對應(yīng)的象素點(diǎn)大小也不同。圖形的存儲分辨率是指幀緩沖區(qū)的大小，一般用緩沖區(qū)的字節(jié)數(shù)表示。§ 存儲分辨率不僅與顯示分辨率有關(guān)，還與象素點(diǎn)的色彩有關(guān)。§ 幀緩存大小的計(jì)算： x方向的象素點(diǎn)數(shù)*y方向的象素點(diǎn)數(shù)*(log2n)/8 其中：n為顏色數(shù)或灰度等級數(shù)Ø 屏幕分辨率決定了所能顯示的最高分辨率。Ø

24、; 顯示分辨率和存儲分辨率對所能顯示的圖形分辨率也有控制作用。2. 象素與幀緩存屏幕上一個(gè)象素點(diǎn)就對應(yīng)幀緩存中的一組信息。§ 組合象素法（Packed Pixel Method）§ 顏色位面法（Color Plane Method）在組合象素法中，一個(gè)圖形象素點(diǎn)的全部信息被編碼成一個(gè)數(shù)據(jù)字節(jié)，按照一定方式存儲到幀緩存中，編碼字節(jié)的長度與點(diǎn)的屬性（如顏色、灰度等）有關(guān)。在顏色位面法中，幀緩存被分成若干獨(dú)立的存儲區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域稱為一個(gè)位面（Bit Plane），每個(gè)位面控制一種顏色或者灰度，每一個(gè)圖形象素點(diǎn)在每個(gè)位面中占一位，通過幾個(gè)位面中的同一位組合成一個(gè)象素。3. 顏色查

25、找表顏色查找表也稱調(diào)色板，是由高速的隨機(jī)存儲器組成，用來儲存表達(dá)象素色彩的代碼。此時(shí)幀緩沖存儲器中每一象素對應(yīng)單元的代碼不再代表該象素的色彩值，而是作為查色表的地址索引。4. 顯示長寬比顯示長寬比，即水平點(diǎn)數(shù)與垂直點(diǎn)數(shù)之比。要求在屏幕兩個(gè)方向上相同象素點(diǎn)數(shù)產(chǎn)生同樣長度的線段，以使圖形不至發(fā)生畸變。5. 屏幕坐標(biāo)系2.3.3 PC圖形顯示卡（自學(xué)）1MDA（Monochrome Display Adapter）2. CGA（Color Graphics Adapter）3.EGA（Extended Graphics Array）/VGA（Video Graphics Array）2.4 圖形繪制

26、設(shè)備1. 打印機(jī)撞擊式（針式打印機(jī)）非撞擊式（包括激光打印機(jī)、噴墨打印機(jī)）針式打印機(jī)的工作原理：它隔著色帶將某種點(diǎn)陣圖案壓在紙上。這類打印機(jī)通常有一個(gè)打印頭，其上包含一組按矩陣方式排列的金屬針，依靠選擇打出某些針來形成點(diǎn)陣圖案，針的數(shù)目決定打印機(jī)的質(zhì)量。采用不同顏色的色帶，可以在撞擊式打印機(jī)上得到有限的彩色輸出。 激光打印機(jī)的工作原理：激光光束在涂覆光電材料（如硒）的旋轉(zhuǎn)鼓上建立電荷分布，調(diào)色劑施與鼓，而后轉(zhuǎn)印到紙上實(shí)現(xiàn)輸出。激光打印機(jī)通過分趟沉積青色（Cyan)、品紅(Magenta)、黃色(Yellow)三種顏料來實(shí)現(xiàn)彩色繪制。噴墨打印機(jī)的工作原理：通過噴墨頭在打印紙上橫向移動，逐行水平噴

27、墨于打印紙上來實(shí)現(xiàn)圖像印制。打印紙包裹在鼓上，充電荷的墨水受電場偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生點(diǎn)陣模式。噴墨法將青、品紅、黃三種顏色同時(shí)在一趟中沿每個(gè)打印行噴射在紙上產(chǎn)生彩色圖案。2. 繪圖儀v 筆式繪圖儀v 平板式繪圖儀v 滾筒式繪圖儀第4章 圖形的表示與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)提出問題§ 如何在計(jì)算機(jī)中建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ捅硎静煌瑘D形對象？§ 如何組織圖形對象的描述數(shù)據(jù)以使存儲這些數(shù)據(jù)所要的空間最省，檢索、處理這些數(shù)據(jù)的速度較快？造型技術(shù)：把研究如何在計(jì)算機(jī)中建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ捅硎静煌瑘D形對象的技術(shù)稱為造型技術(shù)。按所構(gòu)造的圖形對象來劃分，可分為：規(guī)則對象(幾何造型)：是指能用歐氏幾何進(jìn)行描述的形體。如點(diǎn)、線、面或?qū)?/p>

28、體等。不規(guī)則對象：是指不能用歐氏幾何進(jìn)行描述的對象。如山、水、草、云等自然界豐富多彩的對象。4.1 基本概念 基本圖形元素與段的概念客觀世界的圖形非常復(fù)雜，為了能用計(jì)算機(jī)處理圖形，就要對圖形對象進(jìn)行分解與綜合，也就是說，把復(fù)雜的對象看作是由某些比較簡單對象按某種規(guī)則構(gòu)造出來的 ，比較簡單的對象又是由更簡單的圖形對象構(gòu)造而成的，分解到最后最后就是基本圖形元素。基本圖形元素：圖素或圖元、體素圖素是指可以用一定的幾何參數(shù)和屬性參數(shù)描述的最基本的圖形輸出元素。如點(diǎn)、線、圓等。體素是三維空間中可以用有限個(gè)尺寸參數(shù)定位和定形的體，常有三種定義形式： (1)從實(shí)際形體中選擇出來，可用一些確定的尺寸參數(shù)控制其

29、最終位置和形狀的一組單元實(shí)體。(2)由參數(shù)定義的一條(或一組)輪廓線沿一條(或一組)空間參數(shù)曲線作掃描運(yùn)動而產(chǎn)生的形體。(3)用代數(shù)半空間定義的形體(只適用正則形體)。段（也稱圖段、結(jié)構(gòu)和對象）段是指具有邏輯意義的有限個(gè)圖素（或體素）及其附加屬性的集合，§ 圖素或體素用數(shù)據(jù)來描述，段用規(guī)則來描述。§ 段可以嵌套§ 段一般具有三個(gè)特性：可見性、醒目性、可選擇性。 幾何信息與拓樸信息圖形對象的描述離不開大量的圖形信息和非圖形信息。§ 圖形對象及構(gòu)成它的點(diǎn)、線、面的位置、相互間關(guān)系和幾何尺寸等都是圖形信息；§ 表示圖形對象的線型、顏色、亮度以及供模擬

30、、分析用的質(zhì)量、比重、體積等數(shù)據(jù)，是有關(guān)對象的非圖形信息。圖形信息又包括：幾何信息：形體在歐氏空間中的位置和大小拓?fù)湫畔ⅲ盒误w各分量（點(diǎn)、邊、面）的數(shù)目及其相互間的連接關(guān)系。1. 幾何信息 (1)幾何分量的數(shù)學(xué)表示參考書上的點(diǎn)、線、平面、二次曲線的表示方法。(2)幾何分量之間的相互關(guān)系只用幾何信息來表示形體還不充分，常常還會出現(xiàn)形體表示上的二義性。 圖4-2 幾何信息的二義性2. 拓樸信息平面立體的幾何分量之間一共有九種拓?fù)潢P(guān)系在歐拉幾何中，通常允許的運(yùn)動只是剛體運(yùn)動。l 剛體運(yùn)動：不改變圖形上任意兩點(diǎn)間的距離，也不改變圖形的幾何性質(zhì)的運(yùn)動。l 拓?fù)溥\(yùn)動：允許形體作彈性運(yùn)動，即在拓?fù)潢P(guān)系中，對

31、圖形可隨意地伸張扭曲。但圖上各個(gè)點(diǎn)仍為不同的點(diǎn)，決不允許把不同的點(diǎn)合并成一個(gè)點(diǎn)。拓樸等價(jià)：即一個(gè)圖形作彈性運(yùn)動可使之與另一個(gè)圖形重合。拓樸性質(zhì)：就是那些與該圖拓樸等價(jià)的圖形所具有的性質(zhì)。 坐標(biāo)系用戶坐標(biāo)系建模坐標(biāo)系觀察坐標(biāo)系規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)設(shè)備坐標(biāo)系坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系仿射坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系極坐標(biāo)系圖4-4 坐標(biāo)系的分類 幾何元素1、點(diǎn) 是0維幾何元素，分端點(diǎn)、交點(diǎn)、切點(diǎn)和孤立點(diǎn)等。在自由曲線面的描述中常用三種類型的點(diǎn)：控制點(diǎn)：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，相應(yīng)曲線曲面不一定經(jīng)過的點(diǎn)。型值點(diǎn)：用來確定曲線和曲面的位置與形狀，相應(yīng)曲線曲面一定經(jīng)過的點(diǎn)。插值點(diǎn)：為提高曲線和曲面的輸出精度，在型

32、值點(diǎn)之間插入的一系列點(diǎn)。2、邊(線) 是1維幾何元素，是兩個(gè)鄰面（正則形體）或多個(gè)鄰面（非正則形體）的交界。3、面 是2維幾何元素，是形體上一個(gè)有限、非零的區(qū)域，由一個(gè)外環(huán)和若干個(gè)內(nèi)環(huán)界定其范圍。4、環(huán) 是有序、有向邊（真線段或曲線段）組成的面的封閉邊界。5、體 是3維幾何元素，由封閉表面圍成空間，也是歐氏空間R3中非空、有界的封閉子集，其邊界是有限面的并集。 實(shí)體的定義在實(shí)體造型中必須保證形體的有效性，有效的標(biāo)準(zhǔn)是能否“客觀存在”。圖4-5 帶有懸掛面的立方體客觀存在的三維形體具有這樣一些性質(zhì)：(1)剛性：必須具有一定的形狀(2)維數(shù)的一致性：物體的各個(gè)部分均應(yīng)是三維的即內(nèi)部的連通性，不能有

33、孤立的邊界(3)占據(jù)有限的空間：即體積有限(4)邊界的確定性：根據(jù)物體的邊界能區(qū)別物體的內(nèi)部和外部(5)封閉性：經(jīng)過一系列剛體運(yùn)動和任意序列的集合運(yùn)算后，仍然是有效的物體.三維空間中的物體是一個(gè)內(nèi)部連通的三維點(diǎn)集，是由其內(nèi)部的點(diǎn)集及緊緊包著這些點(diǎn)的表皮組成的。利用正則集的概念來定義上述的三維有效物體：組成一個(gè)三維物體的點(diǎn)的集合可以分為內(nèi)部點(diǎn)和邊界點(diǎn)兩部分，由內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集的閉包就是正則集.三圍空間中的正則集就是正則形體，也就是三維有效物體。一個(gè)開集的閉包指的是該開集與其所有邊界點(diǎn)的集合的并集，其本身是一個(gè)閉集。定義點(diǎn)集的正則運(yùn)算r為：正則運(yùn)算即為先對物體取內(nèi)點(diǎn)再取閉包的運(yùn)算。r·A

34、稱為A的正則集。 圖4-6 二維點(diǎn)集及其正則點(diǎn)集盡管正則形體可以描述三維有效形體，但不是所有的正則形體都是實(shí)體模型的描述對象，如圖4-7。圖4-7 正則形體通常實(shí)體造型系統(tǒng)會將其分為兩個(gè)有效立方體，即實(shí)體模型描述的實(shí)體應(yīng)具有二維流形性質(zhì)。所謂二維流形性質(zhì)即：對于實(shí)體表面上的任意一點(diǎn)，都可以找到一個(gè)圍繞著它的任意小的領(lǐng)域，該領(lǐng)域與平面上的一個(gè)圓盤是拓?fù)涞葍r(jià)的。 實(shí)體定義：對于一個(gè)占據(jù)有限空間的正則形體，如果其表面是二維流形，則該正則形體為實(shí)體。該定義條件可檢測，因此可由計(jì)算機(jī)來衡量一個(gè)形體是否為實(shí)體。 正則集合運(yùn)算有效實(shí)體的封閉性：即一個(gè)有效的實(shí)體經(jīng)過一系列的集合運(yùn)算之后仍為一個(gè)有效的實(shí)體。把能

35、夠產(chǎn)生正則形體的集合運(yùn)算稱為正則集合運(yùn)算。其相應(yīng)的正則集合算子以*（正則交）、*（正則并）、-*（正則減）表示。有兩種方法實(shí)現(xiàn)正則運(yùn)算：間接方式、直接方式。間接方式：先按照通常的集合運(yùn)算求出結(jié)果，然后再用一些規(guī)則加以判斷，刪去那些不符合正則形體定義的部分，如孤立邊、孤立面等，從而得到正則形體。用間接方式產(chǎn)生正則形體主要基于點(diǎn)集拓?fù)涞念I(lǐng)域概念。如果P是點(diǎn)集S的一個(gè)元素，那么點(diǎn)P的以R（R0）為半徑的領(lǐng)域指的是圍繞點(diǎn)P的半徑為R的小球（二維情況下為小圓）。當(dāng)且僅當(dāng)P的領(lǐng)域?yàn)闈M時(shí)，P在S之內(nèi)；當(dāng)且僅當(dāng)P的領(lǐng)域?yàn)榭諘r(shí)，P在S之外；當(dāng)且僅當(dāng)P的領(lǐng)域既不滿也不空時(shí)，P在S的邊界上。這一性質(zhì)可以用來對普通集

36、合運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行檢查。直接方式：定義出正則集合算子的表達(dá)式，用它直接得出符合正則形體定義的結(jié)果。用直接方式產(chǎn)生正則形體是建立在集合成員分類的基礎(chǔ)上的。在三維空間中，給定一個(gè)正則形體S，空間點(diǎn)集被分為三個(gè)子集：S的內(nèi)部點(diǎn)集、S的邊界點(diǎn)集、S之外的點(diǎn)集。分類函數(shù)：若給定一個(gè)正則形體S及一個(gè)有界面G，則G相對于S的分類函數(shù)可為： C(S,G)=G in S, G out S, G on S 其中， 用-G表示有界面G的反向面。即，如果有界面G在P點(diǎn)的法向?yàn)镹P(G)，則有界面-G在P點(diǎn)的法向就是-NP(G)。于是：G on S=G shared (b·S), G shared (-b

37、83;S)其中， 則G相對于S的分類函數(shù)C(S,G)可為：C(S,G)=G in S, G out S, G shared (b·S), G shared (-b·S)正則集合算子定義三個(gè)正則集合算子關(guān)于邊界面的表達(dá)式： 平面多面體與歐拉公式平面多面體是表面由平面多邊形構(gòu)成的三維物體。簡單多面體指與球拓?fù)涞葍r(jià)的那些多面體。歐拉公式證明簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E和面數(shù)F滿足如下關(guān)系：V-E+F=2。令H表示多面體表面上孔的個(gè)數(shù)，G表示貫穿多面體的孔的個(gè)數(shù)，C表示獨(dú)立的、不相連接的多面體數(shù)，則擴(kuò)展后的歐拉公式為：V-E+F-H=2（C-G）第5章 基本圖形生成算法提出問題如何

38、在指定的輸出設(shè)備上根據(jù)坐標(biāo)描述構(gòu)造基本二維幾何圖形（點(diǎn)、直線、圓、橢圓、多邊形域、字符串及其相關(guān)屬性等）。圖形的生成：是在指定的輸出設(shè)備上，根據(jù)坐標(biāo)描述構(gòu)造二維幾何圖形。圖形的掃描轉(zhuǎn)換：在光柵顯示器等數(shù)字設(shè)備上確定一個(gè)最佳逼近于圖形的象素集的過程。 5.1 直線的掃描轉(zhuǎn)換直線的繪制要求：§ 1.直線要直；§ 2.直線的端點(diǎn)要準(zhǔn)確，即無定向性和斷裂情況；§ 3.直線的亮度、色澤要均勻；§ 4.畫線的速度要快；§ 5.要求直線具有不同的色澤、亮度、線型等。解決的問題：給定直線兩端點(diǎn)P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，畫出該直線。 數(shù)值微分法(D

39、DA法)直線的微分方程：DDA算法原理： =1/max(|x|,|y|) max(|x|,|y|)=|x|，即|k|1的情況：max(|x|,|y|)=|y|，此時(shí)|k|1：程序：void DDAline(int x0, int y0, int x1, int y1) int dx, dy, epls, k; float x, y, xIncre, yIncre; dx=x1-x0; dy=y1-y0; x=x0; y=y0; if(abs(dx)>abs(dy) epls=abs(dx); else epls=abs(dy); xIncre=(float)dx/(float)epls;

40、 yIncre=(float)dy/(float)epls; for(k=0;k<=epls;k+) putpixel(int)(x+0.5),(int)(y+0.5); x+=xIncre; y+=yIncre; 注意：round(x)=(int)(x+0.5)特點(diǎn)：§ 增量算法§ 直觀、易實(shí)現(xiàn)§ 不利于用硬件實(shí)現(xiàn) 中點(diǎn)Bresenham算法直線的方程該直線方程將平面分為三個(gè)區(qū)域： 對于直線上的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)=0； 對于直線上方的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)>0； 對于直線下方的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)<0?；驹恚杭俣?k1，x是最大位移方向判別式：則有：誤

41、差項(xiàng)的遞推：d<0：d0：初始值d的計(jì)算由于我們用的只是d的符號，用2dx代替d來擺脫小數(shù)。d0=0.5-k變?yōu)閐=x-2yd<0時(shí)，d=d+1-k變?yōu)閐=d+2x-2yd>0時(shí)，d=d-k變?yōu)閐=d-2y0k1時(shí)Bresenham算法的算法步驟為：1.輸入直線的兩端點(diǎn)P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。2.計(jì)算初始值x、y、d=x-2y、x=x0、y=y0。3.繪制點(diǎn)(x,y)。判斷d的符號。若d<0，則(x,y)更新為(x+1,y+1)，d更新為d+2x-2y；否則(x,y)更新為(x+1,y), d更新為d-2y。4.當(dāng)直線沒有畫完時(shí)，重復(fù)步驟3。否則結(jié)束。程

42、序：void MidBresenhamline(int x0, int y0, int x1, int y1) int dx, dy, d, UpIncre, DownIncre, x, y, xend; if(x0>x1) x=x1; x1=x0; x0=x; y=y1; y1=y0; y0=y; x=x0; y=y0; dx=x1-x0; dy=y1-y0; d=dx-2*dy; UpIncre=2*dx-2*dy; DownIncre=-2*dy; while(x<=x1) putpixel(x,y); x+; if(d<0)y+;d+=UpIncre; Else d+

43、=DownIncre; 改進(jìn)的Bresenham算法假定直線段的0k1基本原理：誤差項(xiàng)的計(jì)算 d初=0; 每走一步：d=d+k ; 一旦y方向上走了一步，d=d-1.改進(jìn)1：令e=d-0.5 e初=-0.5; 每走一步有e=e+k; if (e>0) then e=e-1.改進(jìn)2：用2ex來替換e§ e初=-x;§ 每走一步有e=e+2y;§ if (e>0) then e=e-2x.算法步驟：1.輸入直線的兩端點(diǎn)P0(x0,y0)和P1(x1,y1)。2.計(jì)算初始值x、y、e=-x、x=x0、y=y0。3.繪制點(diǎn)(x,y)。4.e更新為e+2y，判斷

44、e的符號。若e>0，則(x,y)更新為(x+1,y+1)，同時(shí)將e更新為e-2x；否則(x,y)更新為(x+1,y)。5.當(dāng)直線沒有畫完時(shí)，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。程序:void Bresenhamline(int x0, int y0, int x1, int y1) int x, y, dx, dy, e; dx=x1-x0; dy=y1-y0; e=-dx; x=x0; y=y0; while(x<=x1) putpixel(x,y); x+; e=e+2*dy;if(e>0)y+; e=e-2*dx; 5.2 圓的掃描轉(zhuǎn)換解決的問題：繪出圓心在原點(diǎn)，半徑為整數(shù)R的圓

45、x2+y2=R2。 八分法畫圓圖5-9 圓的對稱性八分法畫圓的程序：Void circlePoint(int x,int y) putpixel(x,y); putpixel(y,x); putpixel(-y,x); putpixel(-x,y); putpixel(-x,-y); putpixel(-y,-x); putpixel(y,-x); putpixel(x,-y); 簡單方程產(chǎn)生圓弧算法原理：利用其函數(shù)方程，直接離散計(jì)算。圓的函數(shù)方程為： x2+y2=R2。圓的極坐標(biāo)方程為： 中點(diǎn)Bresenham畫圓構(gòu)造函數(shù)F(x,y)=x2-y2-R2。§ 對于圓上的點(diǎn)，有F(x,

46、y)=0；§ 對于圓外的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)>0；§ 而對于圓內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)<0。 算法原理：M的坐標(biāo)為：M(xi +1,yi-0.5) 當(dāng)F(xM,yM)<0時(shí)，取Pu(xi +1,yi)； 當(dāng)F(xM,yM)>0時(shí)，取Pd(xi +1,yi-1)； 當(dāng)F(xM,yM)=0時(shí)，約定取Pd。構(gòu)造判別式：當(dāng)d<0時(shí)，下一點(diǎn)取Pu(xi +1,yi)；當(dāng)d>=0時(shí)，下一點(diǎn)取Pd(xi +1,yi-1)。誤差項(xiàng)的遞推：d<0： d>=0： 判別式的初始值：改進(jìn)：用d-0.25代替d。算法步驟：1.輸入圓的半徑R。2.計(jì)算

47、初始值d=1-R、x=0、y=R。3.繪制點(diǎn)(x,y)及其在八分圓中的另外七個(gè)對稱點(diǎn)。4.判斷d的符號。若d<0，則先將d更新為d+2x+3，再將(x,y)更新為(x+1,y)；否則先將d更新為d+2(x-y)+5，再將(x,y)更新為(x+1,y-1)。5.當(dāng)x<y時(shí)，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。程序：Void MidBresenhamcircle(int x) int x,y,d; x=0; y=r; d=1-r; while(x<y) circlePoint(x,y); if(d<0) d+=2*x+3; else d+=2*(x-y)+5; y-; x+; 5.3

48、 橢圓的掃描轉(zhuǎn)換 橢圓的特征對于中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓，關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱，因此可以采用四分法畫橢圓。算法基礎(chǔ)：構(gòu)造函數(shù)： 對于橢圓上的點(diǎn)，有F(x,y)=0； 對于橢圓外的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)>0； 對于橢圓內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)(x,y)<0。解決問題：以弧上斜率為1的點(diǎn)作為分界將第一象限橢圓弧分為上下兩部分。 上半部分，x方向?yàn)樽畲蟮奈灰品较?；下半部分y方向?yàn)樽畲蟮奈灰品较?。判斷方法：法向量：引?-1：若在當(dāng)前中點(diǎn)，法向量的y分量比x分量大，即 而在下一個(gè)中點(diǎn)，不等號改變方向，則說明橢圓弧從上部分轉(zhuǎn)入下部分。 橢圓的中點(diǎn)Bresenham算法算法原理先推導(dǎo)上半部分的橢圓繪制公式：Pu(

49、xi+1,yi)p(xi,yi)Pd(xi+1,yi-1)M(xi+1,yi-0.5)5-17 上半部分橢圓弧的繪制原理判別式： 若d10，取Pu(xi+1,yi) 若d1>0，取Pd(xi+1,yi-1)誤差項(xiàng)的遞推d10：d1>0： 判別式的初始值：再來推導(dǎo)橢圓弧下半部分的繪制公式：原理: 判別式 : 若d2>0，取Pl(xi,yi-1) 若d20，取Pr(xi+1,yi-1)誤差項(xiàng)的遞推d2>0：d20： 注意：§ 上半部分的終止判別;§ 下半部分誤差項(xiàng)的初值.算法步驟：1.輸入橢圓的長半軸a和短半軸b。2.計(jì)算初始值d=b2+a2(-b+0.

50、25)、x=0、y=b。3.繪制點(diǎn)(x,y)及其在四分象限上的另外三個(gè)對稱點(diǎn)。4.判斷d的符號。若d0，則先將d更新為d+b2(2x+3)，再將(x,y)更新為(x+1,y)；否則先將d更新為d+b2(2x+3)+a2(-2y+2)，再將(x,y)更新為(x+1,y-1)。5.當(dāng)b2(x+1)<a2(y-0.5)時(shí)，重復(fù)步驟3和4。否則轉(zhuǎn)到步驟6。6.用上半部分計(jì)算的最后點(diǎn)(x,y)來計(jì)算下半部分中d的初值：7.繪制點(diǎn)(x,y)及其在四分象限上的另外三個(gè)對稱點(diǎn)。8.判斷d的符號。若d0，則先將d更新為b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)，再將(x,y)更新為(x+1,y-1)；否則先將d更新為d+a2(-2yi+3)，再將(x,y)更新為(x,y-1)。9.當(dāng)y>0時(shí)，重復(fù)步驟7和8。否則結(jié)束。程序:Void MidBresenhamllipse( int a , int b ) int x , y ; float d1 , d2 ; x=0 ; y=b ; d1=b*b+a*a*(-b+0.25) ; putpixel