數(shù)學(xué)建模作業(yè)(2)

1、習(xí)題一在節(jié)存儲模型中的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來一樣。、不允許缺貨的存儲模型問題分析 若生產(chǎn)周期短、產(chǎn)量少，會使存儲費用小，準(zhǔn)備費用大，貨物價格不變；而周期長、產(chǎn)量多，會使存儲費大，準(zhǔn)備費小，貨物價格不變。所以必然存在一個最佳周期，使總費用最小。顯然，應(yīng)建立一個優(yōu)化模型。模型假設(shè)為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q為連續(xù)量。根據(jù)問題性質(zhì)作如下假設(shè)：(1) 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r。(2) 每次生產(chǎn)費用為ci,每天每件產(chǎn)品存儲費為C2,購買每件貨物所需費用為C3.(3) 生產(chǎn)能力為無限大(相對

2、于需求量)，當(dāng)存儲量降為零時，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來 供給需求，即不允許缺貨。模型建立將存儲量表示為時間t的函數(shù)q (t)，t=0生產(chǎn)Q件,存儲量q(O)=Q，q(t)以需求速率r遞減，直到q(T)=O，如圖，顯然有：Q=rT圖(1)不允許缺貨模型的存儲量q (t)一個周期內(nèi)的存儲費是C2/ q(t)dt,其中積分恰好等于圖中三角形面積QT/2，因為一個周期的準(zhǔn)備費是ci，購買每件貨物的費用為C3,得到一個周期的總費用為：2C=ci+C2QT/2+r Tc 3=Ci+C2 r T /2+ r T c3則每天的平均費用是C(T)=ci/T+r c 3+C2 r T/2上式為這個優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。

3、模型求解求T使上式的C最小。容易得到T=V2ci/ (C2r )貝9 Q=V2cir/c 2二、允許缺貨的存儲模型(1) 模型假設(shè)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r。(2) 每次生產(chǎn)費用為ci,每天每件產(chǎn)品存儲費為C2,購買每件貨物所需費用為C3.(3) 生產(chǎn)能力為無限大(相對于需求量)，允許缺貨，每天每件損失費為C4,但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)(或訂貨)時補(bǔ)足。，模型建立因存儲量不足造成缺貨時，可以認(rèn)為存儲量函數(shù)q(t)為負(fù)值，如圖所示，周期仍記為T,Q是每周期初的存儲量，當(dāng) t=Ti時q(t)=O,于是有Q=r T i在Ti到T這段時間內(nèi)需求率r不變，q(t)按原斜率繼續(xù)下降。由于規(guī)定缺貨量需補(bǔ)足，所

4、以在t=T時數(shù)量為R的產(chǎn)品立即到達(dá)，使下周期初的存儲量恢復(fù)為Q.2所以 C=c 1+C2QT/2+ r Tc 3+C4r(T-T 1) /2將模型的目標(biāo)函數(shù)-每天的平均費用-記作T和Q的二元函數(shù)C(T,Q)=c i/T+c 2&/(2rT)+ +r c3+a(Rt-Q) 2/(2Tr)模型求解利用微分法求T和Q使C(T,Q)最小，令dC/dT=O ,dC /dQ =0,可得T =V2ci(c 2+c4)/(rc 2C4) , Q2ci rc 4/(c 2(C2+C3)由以上兩個模型可以看出在不允許缺貨模型和缺貨模型中結(jié)果都與原來一樣存儲模型問題：建立不允許缺貨存儲模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)

5、k，銷售速率為常數(shù)r,k > r,在每個生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時間(Ov t vTo) 邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間(Tov t v T )只銷售不生產(chǎn).畫出儲存量q(t)的圖形，設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為C1,單位時間每件產(chǎn)品儲存費為C2,以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期。討論K>> r和Kr的情況。問題分析：在t< T0時間內(nèi)k>r有儲存量以k r速率增加，在T°v t v T時間內(nèi)，儲存量以 r速率遞減，而一個周期的總費用為C(t)與生產(chǎn)周期，產(chǎn)量與需求量，生產(chǎn)準(zhǔn)備費，儲存費之間的關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。可根據(jù)數(shù)學(xué)最值定理求出最優(yōu)周期。模型假設(shè)：為處

6、理方便考慮連續(xù)模型，即生產(chǎn)周期T和生產(chǎn)量Q都是連續(xù)量，故作出如下假設(shè)1. 生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷售速率為常數(shù)r,k > r。2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為C1,單位時間每件產(chǎn)品儲存費為C2。3. 開始的一段時間(0v t v T0) 一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間(T°v t v T ) 只銷售不生產(chǎn)4. 不允許缺貨。模型建立：將存儲量表示為時間T的函數(shù)q(t)，在0 v t v To, q(t)以的速率增加；在 Tov tvT時間內(nèi)，q(t)以r的速率遞減，直到 q(t) = 0，如圖所示，顯然有-(k r ) t0v t v Toq(t)=0T0 T t則一個周期內(nèi)的儲存費為C2/

7、 o(q(t)dt一個周期的總費用為 C (t) = ci+ C2( k r ) To T則平均費用為 g(t)=C(t)/T= c 1 /T+ c 2 ( k r ) To/T + c 2 ( k r ) To ( T To) /T 由于(k r ) To=r (T To)故 g(t)= c 1 /T+c 2( k r ) rT/2k模型求解：使平均費用最小的最優(yōu)周期為T=V2cik/c 2r (k-r )模型分析：當(dāng)k>> r時，T=V2ci/c 2r相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況。當(dāng) Q r時，T* a,因為產(chǎn)量被銷售量抵消，無法形成儲存量。model:mi n=100*x1+40*x5+40*x6;x1+x6>4;x2+x4>6;x3+x5>5;x1+x5>8;x1+x5-x4>8;x2+x3=x1;endGlobal optimal soluti on found.Objective value:In