第三章分子對(duì)稱性和點(diǎn)群

1、第三章第三章 分子對(duì)稱性和點(diǎn)群分子對(duì)稱性和點(diǎn)群 分子具有某種對(duì)稱性分子具有某種對(duì)稱性. . 它對(duì)于理解和應(yīng)用分子它對(duì)于理解和應(yīng)用分子量子態(tài)及相關(guān)光譜有極大幫助量子態(tài)及相關(guān)光譜有極大幫助. . 確定光譜的選擇定則需要用到對(duì)稱性確定光譜的選擇定則需要用到對(duì)稱性. . 標(biāo)記分子的量子態(tài)需要用到對(duì)稱性標(biāo)記分子的量子態(tài)需要用到對(duì)稱性. .3.1 3.1 對(duì)稱元素對(duì)稱元素對(duì)稱性對(duì)稱性是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分的圖象是指分子具有兩個(gè)或更多的在空間不可區(qū)分的圖象. .把等價(jià)原子進(jìn)行交換的操作叫做把等價(jià)原子進(jìn)行交換的操作叫做對(duì)稱操作對(duì)稱操作. .對(duì)稱操作依賴的幾何集合對(duì)稱操作依賴的幾何集合( (點(diǎn)點(diǎn)

2、, ,線線, ,面面) )叫做叫做對(duì)稱元素對(duì)稱元素. .3.1.1 3.1.1 n n 重對(duì)稱軸重對(duì)稱軸, C, Cn n ( (轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)) )n/2轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角ICCCCnnnnn,.,32I I 為恒等操作為恒等操作主軸主軸: : n n 最大的軸。最大的軸。 產(chǎn)生產(chǎn)生 n n-1 -1 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。3.1.2 3.1.2 對(duì)稱面對(duì)稱面, , ( (反映反映) ) 2 = I h :垂直于主軸的對(duì)稱面垂直于主軸的對(duì)稱面 v :包含主軸的對(duì)稱面包含主軸的對(duì)稱面 d :包含主軸且平分包含主軸且平分 兩個(gè)兩個(gè)C2軸的對(duì)稱面軸的對(duì)稱面3.1.3. 3.1.3. 對(duì)稱中心對(duì)稱中心, , i i (

3、(反演反演) )i2 = I3.1.4 3.1.4 n n 重旋轉(zhuǎn)反映軸重旋轉(zhuǎn)反映軸, , S Sn nSn = h Cn 由于由于S1 = h C1 = , S2 = h C2 = i所以所以S1 和和S2無(wú)意義無(wú)意義.3.1.5 3.1.5 恒等元素恒等元素, , E E 或或 I I所有分子都具有恒等元素所有分子都具有恒等元素 E (E (有時(shí)也寫為有時(shí)也寫為 I ).I ).是保持群論規(guī)則必需的元素是保持群論規(guī)則必需的元素. .Sn = h Cn = Cn h3.1.6 3.1.6 元素的生成元素的生成 v = v C2 , v 包含包含CH2面面, 而而v 包含包含CF2面面. 對(duì)對(duì)

4、Cn , 會(huì)產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生(n-1)個(gè)對(duì)稱操作個(gè)對(duì)稱操作. 如如: 3323CCC1 -65623462363266CC),C(C),C(C),C(C,C1 -n1 -nnCC類似地類似地, v = v C2 , C2 = v v（注意順序）（注意順序）nhn2222nhnhnhnnSC , SCCCC當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,ICS nnhnnnI CS ,CS 2nn2h2nnhnnhnnnn4h42223333-14h424h4h444444h4SC SCC , SCCS SCI3h322223333h333h3hh444455523h3333h3h36

5、663h3SC SCC , SCSCCC ,SCC ,SCII例例:3.2 3.2 群的定義和基本性質(zhì)群的定義和基本性質(zhì) 定義定義: : 群群 G G 是一個(gè)不同元素的集合是一個(gè)不同元素的集合A,B,R, A,B,R, 對(duì)于一定的乘法規(guī)則對(duì)于一定的乘法規(guī)則, , 滿足以下四個(gè)條件滿足以下四個(gè)條件: : 1) 1) 封閉性封閉性 群中任意兩個(gè)元素群中任意兩個(gè)元素R R和和S S的乘積等于集合中另一個(gè)元素的乘積等于集合中另一個(gè)元素, T=RS, T=RS 2) 2) 結(jié)合律結(jié)合律 A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C 3) 3) 有唯一的恒等元素有唯一的恒等元素 E E, ,使得對(duì)任意群元

6、素使得對(duì)任意群元素 R, R, 有有 RE=ER=RRE=ER=R 4) 4) 每個(gè)元素每個(gè)元素 R R 必有逆元素必有逆元素 R R-1-1, , 使得使得 RRRR-1 -1 =R=R-1 -1 R=ER=E性質(zhì)性質(zhì): 1) 若若 AB=AC 則則 B=C 2) (AB) 1 =B 1 A 1 因?yàn)橐驗(yàn)?(AB)(AB) 1 =ABB 1 A 1 =AA 1 =E3.2.1 3.2.1 群的定義與分類群的定義與分類( (與矩陣運(yùn)算一致與矩陣運(yùn)算一致) )10群的分類群的分類阿貝爾群阿貝爾群 群元素的乘積都可對(duì)易的群群元素的乘積都可對(duì)易的群 SR=RS SR=RS非阿貝爾群非阿貝爾群 群中至

7、少有一對(duì)元素乘積不能對(duì)易群中至少有一對(duì)元素乘積不能對(duì)易有限群有限群 群元素的數(shù)目有限，群元素的個(gè)數(shù)稱為群元素的數(shù)目有限，群元素的個(gè)數(shù)稱為群的階群的階無(wú)限群無(wú)限群 群元素的數(shù)目無(wú)限群元素的數(shù)目無(wú)限連續(xù)群連續(xù)群 群元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫群元素可用一組連續(xù)變化的參數(shù)描寫離散群離散群 群元素可以用離散指標(biāo)表述，數(shù)目是可數(shù)的群元素可以用離散指標(biāo)表述，數(shù)目是可數(shù)的例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字）例一：數(shù)群（群元素為數(shù)字） (1) (1)全部整數(shù)的集合全部整數(shù)的集合, , 乘法規(guī)則為代數(shù)加法乘法規(guī)則為代數(shù)加法, , 則構(gòu)成一個(gè)群則構(gòu)成一個(gè)群. . 恒等元素為恒等元素為 0. 0. 數(shù)數(shù) n n 的逆元素為

8、的逆元素為 (-n).(-n). 封閉性和結(jié)合律是顯然的封閉性和結(jié)合律是顯然的. . (2)(2)數(shù)的集合數(shù)的集合 1, -1, i, -i, 1, -1, i, -i, 乘法規(guī)則為代數(shù)乘法乘法規(guī)則為代數(shù)乘法, , 則構(gòu)成一個(gè)群則構(gòu)成一個(gè)群. . 恒等元素為恒等元素為1. 1. 數(shù)數(shù) (-1) (-1) 的逆元素為的逆元素為(-1).(-1). 數(shù)數(shù) (i) (i) 的逆元素為的逆元素為 (-i).(-i). (3) (3)全體非零整數(shù)的集合全體非零整數(shù)的集合, , 乘法規(guī)則為乘法規(guī)則為代數(shù)乘法代數(shù)乘法, ,不構(gòu)成群不構(gòu)成群. . 數(shù)數(shù) n n 的逆元素為的逆元素為 1/n ,1/n ,不為整

9、數(shù)，不在群元素中不為整數(shù)，不在群元素中. .例二：置換群（群元素為變換位置的操作，例二：置換群（群元素為變換位置的操作，乘法規(guī)則乘法規(guī)則為從右到左相繼操作為從右到左相繼操作）. S. S3 3 群群 ( ( 三階置換群三階置換群 ) ) 如如123123E123231D123312F123132A123321B123213C123123123E231312123DF123123123132321231ABD123:2311 2 31 2 3將將 1、2、3 處之物分別放于處之物分別放于 2、3、1 處處123123123132123321321231先作先作B置換操作置換操作后作后作A置換操作

10、置換操作123231123231123123123132321231ABD容易看出相應(yīng)的乘法關(guān)系容易看出相應(yīng)的乘法關(guān)系僅作僅作D置換操作置換操作相繼兩次置換操作與單相繼兩次置換操作與單次置換操作結(jié)果相同次置換操作結(jié)果相同注意乘法從右向左進(jìn)行！注意乘法從右向左進(jìn)行！補(bǔ)充補(bǔ)充: :亦可將置換操作作用于等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)亦可將置換操作作用于等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)此時(shí)置換操作可以直觀看為相應(yīng)位置的指標(biāo)變化此時(shí)置換操作可以直觀看為相應(yīng)位置的指標(biāo)變化第一行表示變換前的指標(biāo)，第二行表示變換后的指標(biāo)第一行表示變換前的指標(biāo)，第二行表示變換后的指標(biāo)例三：矩陣群（群元素為矩陣，例三：矩陣群（群元素為矩陣，乘法規(guī)則為矩陣

11、乘法乘法規(guī)則為矩陣乘法）100010100010100001001001010001001010010100001100010100E A BC D F001010100100001010010100001DFE例四例四: :對(duì)稱操作群對(duì)稱操作群( (群元素為對(duì)稱操作群元素為對(duì)稱操作, ,乘法規(guī)則為相繼兩次操作乘法規(guī)則為相繼兩次操作）(1) D(1) D3 3=e,d,f,a,b,c=e,d,f,a,b,ce: e: 恒等操作恒等操作d: d: 繞繞 z z 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 120120 f: f: 繞繞 z z 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 240240 a: a: 繞繞 a a 軸順

12、時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 180180 b: b: 繞繞 b b 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 180180 c: c: 繞繞 c c 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 180180 故故 ad = b(2)(2)空間反演群空間反演群 E,i, iE,i, i為空間反演操作為空間反演操作. . i i2 2 = E= ED D3 3群的乘法表群的乘法表重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排重排定理：乘法表中每一行和每一列都是所有群元素的重排ad = b , da = c，D3群為群為6階非阿貝爾群階非阿貝爾群3.2.2 3.2.2 群的乘法表群的乘法表對(duì)有限群，把元素所有可能的乘積全部列出（左列

13、對(duì)有限群，把元素所有可能的乘積全部列出（左列元素乘頂行元素），構(gòu)成一個(gè)表，稱群的乘法表元素乘頂行元素），構(gòu)成一個(gè)表，稱群的乘法表. .例例1. 1. 求求3 3階群的乘法表階群的乘法表. .(錯(cuò))G=E,A,A2 3 3階群只能為循環(huán)群階群只能為循環(huán)群(?) 循環(huán)群循環(huán)群: : 整個(gè)群是由一個(gè)元素及其所有的冪產(chǎn)生整個(gè)群是由一個(gè)元素及其所有的冪產(chǎn)生. . 如如: : 構(gòu)成構(gòu)成n n階循環(huán)群階循環(huán)群C Cn n EC,.,C,C,Cnn3n2nn例例2. 2. 求求4 4階群的乘法表階群的乘法表. .（1 1）顯然存在一個(gè)循環(huán)群）顯然存在一個(gè)循環(huán)群2=AB3=AABC4=AE222=ABCE（2

14、2）非循環(huán)群）非循環(huán)群 欲構(gòu)成非循環(huán)群，欲構(gòu)成非循環(huán)群， 可能是各元素的逆元素為自身可能是各元素的逆元素為自身 即即 , ,再根據(jù)重排定理即可得乘法表再根據(jù)重排定理即可得乘法表子群子群: : 設(shè)設(shè) H H 是群是群 G G 的非空子集的非空子集, , 若對(duì)于群若對(duì)于群 G G 的乘法規(guī)則的乘法規(guī)則, ,集合集合 H H 也也滿足群的四個(gè)條件滿足群的四個(gè)條件, ,則稱則稱 H H 是是 G G 的子群的子群. . 1) 1) 封閉性封閉性2) 2) 結(jié)合律結(jié)合律： H H屬于屬于G G并且為相同的乘法規(guī)則，因此結(jié)合律顯然滿足并且為相同的乘法規(guī)則，因此結(jié)合律顯然滿足3) 3) 恒等元素恒等元素：針

15、對(duì)每個(gè)子群加入群：針對(duì)每個(gè)子群加入群G G的恒等元素即可的恒等元素即可4) 4) 逆元素逆元素因此滿足條件因此滿足條件1 1）與）與4 4）是證明子群成立的關(guān)鍵）是證明子群成立的關(guān)鍵. . 顯然顯然, , 恒等元素恒等元素 E E 單獨(dú)構(gòu)成的群和群?jiǎn)为?dú)構(gòu)成的群和群 G G 自身是平庸子群自身是平庸子群. . 3.2.3 3.2.3 群的子群群的子群 例例1. 1. 在在 D D3 3=e,d,f,a,b,c =e,d,f,a,b,c 中中, , 子集子集 e,d,f,e,a,e,b,e,ce,d,f,e,a,e,b,e,c都是子群都是子群. . e,d,f e,d,f：df=fd=edf=fd

16、=e e,a e,a：aa=eaa=e e,b, e,c e,b, e,c與與e,ae,a同理可證同理可證例例2. 2. 乘法規(guī)則為代數(shù)加法乘法規(guī)則為代數(shù)加法, , 全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的群R R 全體整數(shù)構(gòu)成一個(gè)子群全體整數(shù)構(gòu)成一個(gè)子群Z Z例例3. 3. 三階置換群三階置換群S S3 3123123E123231D123312F123132A123321B123213C123123123E231231123DFE,D,F構(gòu)成構(gòu)成S3的一個(gè)的一個(gè)3階子群階子群AABBCCEE,A、 E,B、 E,C分別構(gòu)成分別構(gòu)成S3的的2階子群階子群共軛元素共軛元素: B=X: B=X-1-1AX

17、 ( X,A,BAX ( X,A,B都是群都是群G G的元素的元素) ) 元素的元素的共軛類共軛類: : 一組彼此共軛的所有元素集合稱為群的一個(gè)類一組彼此共軛的所有元素集合稱為群的一個(gè)類. . f f 類類 = x= x-1-1fx, x fx, x 取遍所有的群元素取遍所有的群元素 (A和和B共軛）共軛）3.2.4 3.2.4 群的共軛類群的共軛類共軛元素的性質(zhì)共軛元素的性質(zhì)（1 1）每個(gè)元素與其自身共軛）每個(gè)元素與其自身共軛（2 2）若）若A A與與B B共軛，則共軛，則B B與與A A共軛共軛（3 3）傳遞性：若）傳遞性：若A A與與B B及及C C共軛，則共軛，則B B與與C C共軛共

18、軛1A AAA11XAXBYAYC11AXBXYCY111111BX YCYXYXCYXZ CZ(令令 ）1YXZ例例. . 求求 D D3 3 的所有共軛類的所有共軛類D3=e,d,f,a,b,ce 類類: x-1ex =ed 類類: a-1da=ac=fa 類類: b-1ab=bd=c d-1ad=fb=c c-1ac=cf=b所以所以 D D3 3 的共軛類為的共軛類為: e, d,f, a,b,c一個(gè)群的所有群元素可以按照共軛類進(jìn)行劃分一個(gè)群的所有群元素可以按照共軛類進(jìn)行劃分. .3.3 3.3 點(diǎn)群點(diǎn)群 分子的所有對(duì)稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群分子的所有對(duì)稱元素構(gòu)成分子的點(diǎn)群. .這些對(duì)稱元

19、素至少保持空間中的一點(diǎn)這些對(duì)稱元素至少保持空間中的一點(diǎn)( (分子質(zhì)心分子質(zhì)心) )不變不變, , 從而成為點(diǎn)群從而成為點(diǎn)群. . 如如 H H2 2O O 的所有對(duì)稱元素為的所有對(duì)稱元素為: : (yz),(xz),C I,vv21. C1. Cn n點(diǎn)群點(diǎn)群IC,.,C,C,Cnn3n2nn2. S2. Sn n 點(diǎn)群點(diǎn)群 (n(n為偶數(shù)為偶數(shù)) )IS,.,S,S,Snn3n2nniS23. C3. Cnv nv 點(diǎn)群點(diǎn)群有一個(gè)有一個(gè) C Cn n 軸和軸和 n n 個(gè)包含該軸的對(duì)稱面?zhèn)€包含該軸的對(duì)稱面 vC v上下兩個(gè)平面平行，各平面中兩上下兩個(gè)平面平行，各平面中兩個(gè)相鄰的硫氰酸根夾角均

20、為個(gè)相鄰的硫氰酸根夾角均為120，上下兩個(gè)平面旋轉(zhuǎn)上下兩個(gè)平面旋轉(zhuǎn)60 即可重合即可重合.S6 六硫氰酸根合鉻離子六硫氰酸根合鉻離子4. D4. Dn n點(diǎn)群點(diǎn)群有一個(gè)有一個(gè)C Cn n軸和軸和n n個(gè)垂直于該軸的個(gè)垂直于該軸的C C2 2軸軸. .5. C5. Cnhnh點(diǎn)群點(diǎn)群有一個(gè)有一個(gè)C Cn n軸和一個(gè)垂直于該軸的對(duì)稱面軸和一個(gè)垂直于該軸的對(duì)稱面 h h. .三乙胺合鈷離子三乙胺合鈷離子 風(fēng)扇形構(gòu)型風(fēng)扇形構(gòu)型D36. D6. Dndnd點(diǎn)群點(diǎn)群有一個(gè)有一個(gè)C Cn n軸軸, ,一個(gè)一個(gè)S S2n2n軸軸, n, n個(gè)垂直個(gè)垂直于該軸的于該軸的C C2 2軸軸, n, n個(gè)平分個(gè)平分C

21、 C2 2軸的對(duì)軸的對(duì)稱面稱面 d d. . 7. D7. Dnhnh群群有一個(gè)有一個(gè)C Cn n軸軸, n, n個(gè)垂直于該軸的個(gè)垂直于該軸的C C2 2軸軸, 1, 1個(gè)垂直于該軸的對(duì)稱面?zhèn)€垂直于該軸的對(duì)稱面 h hD3hH2為為D h8. Td點(diǎn)群點(diǎn)群有有4個(gè)個(gè)C3軸軸, 3個(gè)個(gè) C2軸軸, 6個(gè)對(duì)稱面?zhèn)€對(duì)稱面 d.正四面體對(duì)稱群正四面體對(duì)稱群. .9. O h點(diǎn)群點(diǎn)群有有3個(gè)個(gè)C4軸軸, 4個(gè)個(gè)C3軸軸, 3個(gè)個(gè) h , 6個(gè)對(duì)稱面?zhèn)€對(duì)稱面 d, 對(duì)稱中心對(duì)稱中心 i.正八面體對(duì)稱群正八面體對(duì)稱群. .3.4 3.4 群的表示群的表示3.4.1 3.4.1 向量和矩陣向量和矩陣 向量具有

22、一定的大小和方向向量具有一定的大小和方向.aaazyxA是數(shù)的有序排列是數(shù)的有序排列, , 代表在坐標(biāo)軸上的投影代表在坐標(biāo)軸上的投影.2222aaazyxAbababazzyyxxBA 矩陣是由數(shù)值或符號(hào)組成的長(zhǎng)方形列陣矩陣是由數(shù)值或符號(hào)組成的長(zhǎng)方形列陣. . 如如333231232221131211aaaaaaaaaA行列333231232221131211bbbbbbbbbB維數(shù)維數(shù): : 每行和每列中矩陣元的個(gè)數(shù)每行和每列中矩陣元的個(gè)數(shù).矩陣加法矩陣加法:ijijijbacBAC ,矩陣乘法矩陣乘法:kkjikijbacABC ,矩陣與向量的乘法矩陣與向量的乘法:31i321333231

23、232221131211321 , jjijxayxxxaaaaaaaaayyy（i1,2,3)矩陣的跡矩陣的跡 (trace) 或特征標(biāo)或特征標(biāo) (character):iiiaAATr)(相似變換相似變換:ASSA1AATrTr(S(S為正交矩陣為正交矩陣) )證明證明:TrTriijijkkijkjikiiijkjkijkjkjjjkjAAS A SAS SAAAttS SSSE( (這個(gè)性質(zhì)在群表示中很有用）這個(gè)性質(zhì)在群表示中很有用）矩陣的直和矩陣的直和m m 階矩陣階矩陣 A A 與與 n n 階矩陣階矩陣 B B 的直和為由下式定義的的直和為由下式定義的 m + n m + n 階

24、矩陣階矩陣 C C ： BABAC00符號(hào)符號(hào) 代表直和代表直和。這個(gè)概念很容易推廣到多個(gè)矩陣的直和。例如矩陣這個(gè)概念很容易推廣到多個(gè)矩陣的直和。例如矩陣nmlkjihgfCedcbBaA,的直和是下面的六階方陣的直和是下面的六階方陣: :分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣nmlkjihgfedcbaCBAD0000000000000000000000分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)的性質(zhì)：CBADdetdetdetdet11221212ABABA AB BTrCTrBTrATrD其中其中 A A1 1 和和 A A2 2 都是都是 n n 階矩陣，階矩陣，B B1 1 和和 B B2 2 都是都是 m

25、m 階矩陣。階矩陣。矩陣的直積矩陣的直積如果有兩個(gè)矩陣如果有兩個(gè)矩陣 ，另有一個(gè)矩陣，另有一個(gè)矩陣 ，它們的矩陣元之間滿足關(guān)系它們的矩陣元之間滿足關(guān)系qpnmBA,nqmpCjlikklijBAC,則矩陣則矩陣 C C 就是矩陣就是矩陣 A A 和和 B B 的直積的直積 ，記作，記作BAC2221121122211211bbbbBaaaaA例如例如由定義有由定義有特征標(biāo)特征標(biāo): : BABaBaBA2211推廣：推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)因子矩陣的特征標(biāo)的乘積直積矩陣的特征標(biāo)等于每個(gè)因子矩陣的特征標(biāo)的乘積。22222122222121211222112212211121221221122

26、2112111121211121211111122211211babababababababababababababababaBaBaBaBaBAC 21212211BBAABABA通過(guò)直接計(jì)算可以證明，若通過(guò)直接計(jì)算可以證明，若 和和 是階相同的矩陣，是階相同的矩陣， 和和 是階相同的矩陣，則有是階相同的矩陣，則有 1A 2A 1B 2B注意兩個(gè)矩陣間沒(méi)有符號(hào)時(shí)代表矩陣的乘積，注意兩個(gè)矩陣間沒(méi)有符號(hào)時(shí)代表矩陣的乘積，如如 表示兩個(gè)矩表示兩個(gè)矩陣陣 和和 的乘積的乘積。 1A 2A 21AA3.4.2 3.4.2 群的表示群的表示( (矩陣群矩陣群) ) 選定一組基向量選定一組基向量, ,把群

27、元素用一個(gè)矩陣表示把群元素用一個(gè)矩陣表示, ,且且 (1) (1) 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng). . 任一群元素任一群元素 g g 都有對(duì)應(yīng)的矩陣都有對(duì)應(yīng)的矩陣 A(g).A(g). (2) (2) 保持群的乘法規(guī)律不變保持群的乘法規(guī)律不變. . 即即 A(f)A(g)=A(fg)A(f)A(g)=A(fg) 則稱為則稱為群的表示群的表示.100010001E100010001xy100010001yz100010001i1000cossin0sincos)(C1000cossin0sincos)(S在三維空間中對(duì)稱操作的矩陣表示在三維空間中對(duì)稱操作的矩陣表示. .（表示的乘積等于乘積的表示）表示的乘積

28、等于乘積的表示）繞繞 z z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)恒等表示恒等表示: : A(g)=1 (A(g)=1 (對(duì)所有群元素對(duì)所有群元素) ) 特征標(biāo)特征標(biāo): : 表示矩陣對(duì)角元之和表示矩陣對(duì)角元之和. 共軛類的特征標(biāo)相等共軛類的特征標(biāo)相等. 從從 f=X-1gX 得得 A(f)=A(X)-1A(g)A(X) 從而從而 jjjgAgA)()()()(fgAA100010001)(eA100032cos32sin032sin32cos)(dA100034cos34sin034sin34cos)(fA3)(eA032cos21)(dA034cos21)(fA例例: D3=e,d,f,a,b,c在三維空間的表示在

29、三維空間的表示100010001)(aA2222cossin0cossin033331002222( )( ) ( )010sincos0sincos03333001001001A bA a A d 4444cossin0cossin033331004444( )( ) ( )010sincos0sincos03333001001001A cA a A f 1)(aA1)(bA1)(cA令令作為表示空間的基。映射作為表示空間的基。映射A為：為：xz.,z,654232221yzxyyx例例: 求以求以 為基函數(shù)的為基函數(shù)的 群的表示矩陣。群的表示矩陣。xzyz,xy,z,y,x2223D rg

30、frfgA1 rggfrggfrgfgArfgAgArfggA1111)( 32223213242122222321324212222232132132)(234143 2341432123)(234341 2343412321)(zzCzCAzdAxyyxyxyCyCAydAxyyxyxxCxCxCAxdAxz.,654232221yzxyxyx 5623231313135623231313134212223231313132321 23212321)(2123 21232123)(214343 21434321232321)(yzxzzyxzCxCzCxCxzCAxzdAyzxzzyxzC

31、yCzCyCyzCAyzdAxyyxyxyxyCxCyCxCxyCAxydA21-2300002321-00000021-04343000100002304143002304341)(dA所以所以 的表示矩陣為的表示矩陣為)(dA同理可得其余操作的表示矩陣同理可得其余操作的表示矩陣100000010000001000000100000010000001)(eA21-2300002321-00000021-04343000100002304143002304341)( fA10000001-0000001-000000100000010000001)(aA21-23-000023-2100000

32、021043-430001000023-04143002304341)(bA21-23000023210000002104343-000100002304143002304341)(cA表示的分類表示的分類: :(1)等價(jià)表示等價(jià)表示 若若A(g)是群是群G的一個(gè)表示的一個(gè)表示, X是一正交變換矩陣是一正交變換矩陣, 則則 B(g)=X-1A(g)X是表示是表示A的等價(jià)表示的等價(jià)表示.(因?yàn)橐驗(yàn)?B(g)B(f)= X-1A(g)X X-1A(f)X= X-1A(g)A(f)X= X-1A(gf) X=B(gf), 從而保持乘法規(guī)律不變從而保持乘法規(guī)律不變)等價(jià)表示有相等的特征標(biāo)等價(jià)表示有相等

33、的特征標(biāo). )()(ggAB例：二階群的二維等價(jià)表示例：二階群的二維等價(jià)表示0110A1001E表示表示1 1表示表示2 21001E1001B2 22 22 22 2P 12 22 2012 22 21010012 22 22 22 2P APB正交變換矩陣正交變換矩陣因此因此, , 表示表示1 1與表示與表示2 2為兩組等價(jià)的二維表示為兩組等價(jià)的二維表示 0Tr ATr B(2) (2) 可約表示與不可約表示可約表示與不可約表示若表示若表示A A可通過(guò)相似變換形成對(duì)角分塊的等價(jià)可通過(guò)相似變換形成對(duì)角分塊的等價(jià)表示表示, , 則稱為則稱為可約表示可約表示, , 否則為不可約表示否則為不可約表

34、示.)()()(00)()()( 21211gAgAgAgAXgAXgA( (對(duì)所有的群元素對(duì)所有的群元素) )如如 D D3 3 群在直角坐標(biāo)系下的表示就是可約表示群在直角坐標(biāo)系下的表示就是可約表示. . 10010( )010 =101001A e 22cossin02233cossin2233( )sincos012233sincos00133A d 10010( )010=101001A a 44cossin04433cossin4433( )sincos014433sincos00133A f 22cossin02233cossin2233( )sincos012233sincos0

35、0133A b 44cossin04433cossin4433( )sincos014433sincos00133A c D D3 3 群在直角坐標(biāo)系下群在直角坐標(biāo)系下的表示可約化成了一的表示可約化成了一組二維不可約表示與組二維不可約表示與一組一維不可約表示一組一維不可約表示規(guī)則一規(guī)則一. . 點(diǎn)群中不可約表示的數(shù)目等于共軛類的數(shù)目點(diǎn)群中不可約表示的數(shù)目等于共軛類的數(shù)目. . 如如 D3中有中有 3個(gè)共軛類個(gè)共軛類 e, d,f, a,b,c, 故有故有 3個(gè)不可約表示個(gè)不可約表示.規(guī)則二規(guī)則二. .點(diǎn)群中所有不可約表示的維數(shù)的平方和等于群的階點(diǎn)群中所有不可約表示的維數(shù)的平方和等于群的階n.n

36、. 在在 D3中中, 從而從而 nlllk222216232221lll2 , 1321lll群論的任務(wù)之一就是要找出點(diǎn)群所有不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo)群論的任務(wù)之一就是要找出點(diǎn)群所有不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo). .k 為群中所有共軛類的數(shù)目為群中所有共軛類的數(shù)目;hj 為共軛類為共軛類j j中的群元素個(gè)數(shù)中的群元素個(gè)數(shù).規(guī)則三規(guī)則三. . 點(diǎn)群中不可約表示特征標(biāo)間的正交關(guān)系點(diǎn)群中不可約表示特征標(biāo)間的正交關(guān)系: :rskjjsjrjnRRh1)(*)(nRR2)(nRhkjjj12)( 對(duì)對(duì)不可約表示不可約表示: 或?qū)?duì)可約表示可約表示: :nRR2)(12111009)(2RRA如如 D3 群在

37、直角坐標(biāo)系下的表示群在直角坐標(biāo)系下的表示一般地一般地, ,可約表示可約表示 的分解公式的分解公式: :由此可得該可約表示由此可得該可約表示 中含不可約表示中含不可約表示 r r 的數(shù)目的數(shù)目. .)(*)(1jjjjrRRhnar由此很容易判斷可約表示由此很容易判斷可約表示設(shè)群設(shè)群 有兩個(gè)表示有兩個(gè)表示,agG，,agAA，,agBB，作表示矩陣作表示矩陣 和和 的直積的直積agAagB直積矩陣的集合直積矩陣的集合 構(gòu)成群的一個(gè)直積表示構(gòu)成群的一個(gè)直積表示。aaagBgAgCCgCa,，因此因此 C C 也是群也是群 G G 的一個(gè)表示，稱為是表示的一個(gè)表示，稱為是表示 A A 和和 B B

38、的直積表示的直積表示。保持保持 G G 的乘法規(guī)律不變的乘法規(guī)律不變. . 對(duì)任意對(duì)任意 ，有，有Ggga，ggCggBggAgBgBgAgAgBgAgBgAgCgCaaaaaaa群的直積表示群的直積表示設(shè)表示設(shè)表示 A A 和和 B B 的特征標(biāo)的特征標(biāo)為為 和和 ，則直積表示則直積表示 C C 的特征標(biāo)為的特征標(biāo)為abaBaAaaaCgggBgAgtrtr如果如果 A A 和和 B B 分別是有限群分別是有限群G G的不等價(jià)不可約表示，則由特征的不等價(jià)不可約表示，則由特征標(biāo)的正交性定理，可得標(biāo)的正交性定理，可得而而 0|1|BABBAA，aBnaaBaAaACCggggn1*1|一般不等于一般不等于1 1，故，故 C C 一般是一般是 G G 的可約表示的可約表示。點(diǎn)群的特征標(biāo)表點(diǎn)群的特征標(biāo)表說(shuō)明說(shuō)明: A1為全對(duì)稱表示為全對(duì)稱表示 A 表示對(duì)主軸是對(duì)稱的表示對(duì)主軸是對(duì)稱的 B 表示對(duì)主軸是反對(duì)稱的表示對(duì)主軸是反對(duì)稱的我們經(jīng)常需要考慮兩個(gè)不可約表示的乘積我們經(jīng)常需要考慮兩個(gè)不可約表示的乘積, 即表示的直積即表示的直積, 如如1 1- 1- 1 :12BA 故 212BBA1- 1- 1 1 :21BB 221ABB對(duì)稱對(duì)稱: :反對(duì)稱反對(duì)稱: :vCvvCv) 1() 1(22xxxxxxxxyzxzCE ,