沖激信號(hào)δ(t)的三種定義與相關(guān)性質(zhì)的簡(jiǎn)單討論

1、精選文檔沖激信號(hào)(t)的三種定義與相關(guān)性質(zhì)的簡(jiǎn)單討論 信息科學(xué)與工程學(xué)院1132班 樊列龍 學(xué)號(hào)：0909113224有一些物理現(xiàn)象，如理學(xué)中的爆炸、沖擊、碰撞······，電學(xué)中的放電、閃電雷擊等，它們都有共同特點(diǎn)： 持續(xù)時(shí)間短. 取值極大. 沖擊函數(shù)（或沖擊信號(hào)）就是對(duì)這些物理現(xiàn)象的科學(xué)抽象與描述。通常用(t)表示沖激信號(hào)，它是一個(gè)具有有限面積的窄而高的尖峰信號(hào)，它也可以被稱作函數(shù)或狄拉克（Dirac）函數(shù)，在信號(hào)領(lǐng)域中占有非常重要的地位. 由于沖激函數(shù)的特殊性，現(xiàn)給出其兩種不嚴(yán)格的定義如下：定義一：用脈沖函數(shù)極限定義沖激信號(hào).

2、如圖1-1(a)的矩形脈沖，寬為，高為，其面積為A.當(dāng)A=1稱之為單位沖激信號(hào). 現(xiàn)保持脈沖面積不變，逐漸減小，則脈沖的幅度逐漸增大，當(dāng)時(shí)，矩形脈沖的極限成為單位沖激函數(shù)，即： （1-1）沖擊信號(hào)的波形就如1-1(b)所示.(t)只表示在t=0點(diǎn)有“沖激”，在t=0點(diǎn)以外的各處函數(shù)值均為0，其沖激強(qiáng)度（沖激面積）為1，若為A則表示一個(gè)沖擊強(qiáng)度為E倍單位值得函數(shù)，描述為A=E(t)，圖形表示時(shí)，在箭頭旁邊注上E。(a)逐漸減小的脈沖函數(shù)(b)沖激信號(hào) 圖1-1 也可以用抽樣函數(shù)的極限來定義(t)。有 （1-2）對(duì)式（1-2）作如下說明： Sa(t)是抽樣信號(hào)，表達(dá)式為 （1-3）圖 1-2其波形

3、如圖1-2所示，Sa(t)1/t,1/t隨t的增大而減小，sint是周期振蕩的，因而Sa(t)呈衰減振蕩；并且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)t=±,±2,···，sint=0，從而Sa(t)=0，是其點(diǎn) 把原點(diǎn)兩側(cè)兩個(gè)第一個(gè)零點(diǎn)之間的曲線部分稱為“主瓣”，其余的衰減部分稱為“旁瓣”。時(shí)，并且有： 因其是偶函數(shù)有 （1-4）由式（1-4）知 （1-5） 圖 1-3式（1-5）表明，曲線下的面積為1，且k越大，函數(shù)的振幅越大，振蕩頻率越高，離開原點(diǎn)時(shí)，振幅衰減越快，當(dāng)k時(shí)，即得到?jīng)_激函數(shù)，波形表示如圖1-3. 實(shí)際上，脈沖函數(shù)的選取并不限于矩形脈沖與抽樣函數(shù)，其

4、他如三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖等地極限，也可以變?yōu)闆_激函數(shù)，作為沖激函數(shù)的定義。相應(yīng)可以表示為： 三角形脈沖： （1-6）雙邊指數(shù)脈沖： （1-7）鐘形脈沖： （1-8）這些脈沖波變?yōu)橄鄳?yīng)的沖激函數(shù)，如圖1-4(a)、(b)、(c). （a）三角脈沖（b）指數(shù)脈沖（c）鐘形脈沖圖 1-4定義二：狄拉克(Dirac)定義.狄拉克給出沖激函數(shù)的定義式為 （2-1）這一定義與上述的脈沖極限的定義式一致的，因此把函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)。現(xiàn)給出函數(shù)三個(gè)有用的特性：性質(zhì)一：展縮特性.沖擊函數(shù)是一個(gè)高而窄的峰，時(shí)間縮放會(huì)改變其面積。由于(t)的面積為1，時(shí)間壓縮的沖激信號(hào)(at)的面積為，由于沖激信號(hào)(at)仍在

5、t=0處發(fā)生，所以它可以被看做一個(gè)未壓縮的沖激，即有。由于時(shí)間位移不會(huì)影響面積的大小，所以有 （2-2）式（2-2）可以用定積分中的變量代換法加以證明。特別的當(dāng)時(shí)，式（2-2）變?yōu)?(2-3)從式（2-3）可以看出，(t)是一個(gè)偶信號(hào)。性質(zhì)二：抽樣特性（篩選性）. 用沖激函數(shù)乘以任意連續(xù)信號(hào)，就可以得到一個(gè)沖激函數(shù)，它的強(qiáng)度等于在處的值。即篩選出了。從而有 （2-4）類似有 （2-5）式（2-4）和式（2-5）表明：當(dāng)連續(xù)時(shí)間函數(shù)與單位沖激信號(hào)或相乘，并在時(shí)間內(nèi)積分，可以得到在處的函數(shù)值。性質(zhì)三：位移特性. 性質(zhì)一和性質(zhì)二表明乘積的面積等于，也就是說移除了在處的值。 （2-6）值得指出的是，沖

6、激信號(hào)與階躍信號(hào)的關(guān)系： （2-7） （2-8）的狄拉克定義也可以表示為 （2-6）上式與式（2-1）一樣都表示，處，是一個(gè)間斷點(diǎn)，但作為數(shù)學(xué)抽象式，式（2-1）中采用的約束條件，已經(jīng)概括了間斷點(diǎn)得鄰域內(nèi)的積分，反映出時(shí)的趨勢(shì)，因此采用（2-1）的描述更合適。另一方面，狄拉克-函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)上也是不嚴(yán)格的。如函數(shù)也滿足式（2-1） 其中: 為沖激偶信號(hào)，但并不是單位沖激信號(hào)。為了給出奇異函數(shù)的嚴(yán)格定義，我們先引入分配函數(shù)的概念。概念引出（1950年，L. Schwartz）電壓v(t) 表示方法： 分析說明： 讀數(shù)并不是直接待測(cè)物理量本身，而是待測(cè)函數(shù)v(t)與測(cè)試儀表特性h(t)二者綜合結(jié)果 電壓v(t)的存在和性質(zhì)借助h(t)來體現(xiàn)（測(cè)量系統(tǒng)是檢測(cè)電壓v(t)特性的手段），故稱h(t)為檢試函數(shù)。下面給出分配函數(shù)定義：定義三：用分配函數(shù)定義.指定給的值為.通過上面所給出的幾種定義和性質(zhì)，我們可以總結(jié)推導(dǎo)關(guān)于的一些基本運(yùn)算特性。（1） 相加: (3-1)（2） 相乘: (3-2)（3）反褶: （3-3）證明參見性質(zhì)一.（4）尺度: （3-4）（5）時(shí)移: （3-5）證明參見性質(zhì)二.（6）卷積:（3-6） 僅對(duì)i)進(jìn)行如下證明：（7）復(fù)合函數(shù)： （3-7）證明：用泰勒級(jí)數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)。復(fù)合函數(shù)形式的 可化簡(jiǎn)為位于處的一系列沖激函數(shù)的疊加，強(qiáng)度為。參考文獻(xiàn)：1 樊尚春，周浩敏