格型自適應濾波器

1、第四章 格型自適應濾波器本章研究另一類線性自適應濾波器，其是設計基于階數(shù)更新和時間更新的遞歸算法。這種新的自適應濾波器與前面章節(jié)所研究的濾波器的不同之處在于階數(shù)更新。而這可以利用均勻采樣后時間數(shù)據(jù)的時移特性來實現(xiàn)。就結(jié)構(gòu)而言，階更新獲得一種計算高效、模塊化以及格型的結(jié)構(gòu)；它可將前面m-1階計算得到的信息傳遞到更新后的m階濾波器。最后結(jié)果是實現(xiàn)其計算復雜度與濾波器m階呈線性關(guān)系的自適應濾波器。與其他類型線自適應濾波器相同，階遞歸自適應濾波器的設計也是基于下面兩種方法：1 隨機梯度法 它建立在前向線性格型預測器和后向格型預測器的基礎(chǔ)上。2 最小二乘法 它建立在卡爾曼濾波器與最小二乘濾波器之間對應關(guān)

2、系的基礎(chǔ)上。LMS和RLS濾波器同屬于橫向自適應濾波器，在實際應用中，一個橫向濾波器的最優(yōu)階數(shù)通常是未知的，這就需要通過比較不同階數(shù)的濾波器來確定最優(yōu)的階數(shù)。但是，當改變橫向濾波器的階數(shù)時，LMS和RLS算法必須重新運行，這顯然是很不方便且費時，而格型濾波器解決了這一難題。格型濾波器最突出的特點是局部相關(guān)聯(lián)的?；瘔K結(jié)構(gòu)，格型系數(shù)對于數(shù)值擾動的低靈敏性，以及格型算法對于信號協(xié)方差矩陣特征值擴散的相對惰性，使得其算法具有快速收斂和優(yōu)良數(shù)值特性，已被廣泛應用于信號預測和濾波處理。4.1 梯度自適應格型算法梯度自適應格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）濾波器具有對稱的格

3、型結(jié)構(gòu)，從隨機梯度法得出的階遞歸自適應濾波器設計簡單，但在特性方面是近似的；其設計的簡單性在于格型濾波器的每一級只有一個反射系數(shù)。其設計準則和LMS算法一樣是使均方誤差為最小。圖4.1示出了一個單級格型預測器的方框圖：圖4.1單級格型預測器6其輸入輸出關(guān)系用單個參數(shù)反射系數(shù)來表征。假設輸入數(shù)據(jù)廣義平穩(wěn)且km為復值。對于km的估計，首先考慮代價函數(shù) (4-1)其中，是第m級前向預測誤差，是第m級后向預測誤差。和在第二章已有定義，它們都是在本級濾波器輸出端測量的；為統(tǒng)計期望算子；引入1/2是為了簡化表達式。格型濾波器的輸入輸出關(guān)系為： (4-2) (4-3)把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)

4、，并對代價函數(shù)求關(guān)于km的偏導數(shù)，我們得到： (4-4)如令該梯度等于零，則當代價函數(shù)取得最小值時，即得反射系數(shù)最優(yōu)值為： (4-5)式(4-5)就是反射計算的計算公式。由于式(4-5)涉及使用集平均。設輸入信號是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m級格型預測器反射系數(shù)的估計為： (4-6)我們定義： (4-7)是直到時刻n（包含n）測得的m級輸入前向預測誤差和延遲的后向預測誤差的總能量.將式(4-6)中的與其他和式分離，即得計算總能量的遞歸公式: (4-8)采用類似方式，可對6式中的分子寫出遞歸公式，它表示時間平均互相關(guān) (4-9)將式(4-8)和式(4-9)代入式(4

5、-6)，可得反射系數(shù)估計值的遞歸關(guān)系式為： (4-10)為了最終確定梯度格型濾波器算法的表達式，對式(4-8)和式(4-10)做如下兩點修改：1 引入步長參數(shù)，用來控制從一次迭代到下一次迭代傳遞中每個反射系數(shù)的調(diào)整量： (4-11)2 修改式(4-8)的能量估計器，使之成為如下形式： (4-12)式中是一個介于0<<1之間的新參數(shù)。導出式(4-10)的遞歸估計器，原來假設工作在平穩(wěn)情況下，為了處理非平穩(wěn)情況下的統(tǒng)計變量，引入修改后的式(4-11)。修改的目的是使估計器具備記憶功能，并借助預測能量最接近的過去值及現(xiàn)在值來計算反射系數(shù)的估計值。在GAL算法中，當反射系數(shù)的更新式中使用時

6、變步長參數(shù)=時引入了一種類似于歸一化LMS算法的歸一化形式。由式(4-12)可以看出，對于較小的前后向預測誤差，參數(shù)相應較??；或者等效地，步長參數(shù)相應較大。從實用觀點看，這種性能很比較需要。本質(zhì)上，小的預測誤差意味著自適應格型預測器正在為它所運行的外部環(huán)境提供一個精確的模型。因此，如果預測誤差增大，應該是外部環(huán)境變化引起的；在這種情況下，能夠?qū)@種變化作出快速響應的自適應格型器將是高度合乎需要的。事實上，可通過設定為一個較大值來實現(xiàn)這一目的，這也使得GAL算法中的式(4-10)一開始就能夠快速收斂到新的環(huán)境。但是，加到自適應格型預測器的輸入數(shù)據(jù)含噪過多（即有用信號上加有很強的白噪聲成分）則由自

7、適應格型預測器所產(chǎn)生的預測誤差相應就大。在這種情況下，參數(shù)取較大值，或者等效地，步長參數(shù)取較小值。因此，這時GAL算法中式(4-10)并不恰好像我們所希望的那樣，能對外界環(huán)境的變化作出快速相應。GAL算法的流程歸納如下：參數(shù)：M=最終預測階數(shù)中的=0.09多級格型預測：對于階數(shù)m=1,2,M,置 (4-13)取0.01，取為0。.對于時間步：n=1,2,置 (4-14)對于預測階數(shù)m=1,2,M,和對于時間步：n=1,2,計算 (4-15) (4-16) (4-17) (4-18)4.2 GAL算法仿真分析用自適應預測來驗證新算法的收斂性能。自適應預測示意圖如圖2.7所示。所示。計算機仿真條件

8、為:設輸入信號x(n)由二階AR模型所產(chǎn)生x(n)=1.558x(n-1)-0.81x(n-2)+V(n) (4-19)其中a1=1.558，a2=-0.81,V(n)為一白噪聲， 我們用一個二階LMS自適應橫向預測器和一個二階梯度自適應格型預測器分別對a1和a2作出估計，通過迭代，這兩種方法的估計值和分別分別趨于1.558和-0.81。需要注意的是，因為自適應格型預測器估計出的是反射系數(shù)和，所以需要將其進行換算，也即和可按下式算出： (4-20) (4-21)圖4.2示出了三種算法的n，n曲線。圖4.2 兩種算法權(quán)值收斂軌跡以上曲線均為獨立實驗100次取平均得來。由圖4.2可見，LMS算法和

9、GAL算法算得的和都分別趨于1.558和-0.81，但自適應格型算法的收斂速度比橫向自適應算法快很多。梯度自適應格型濾波器算法的反射系數(shù)用遞推算法得來，不涉及矩陣求逆，其計算量比LMS略高，比RLS算法低?？蓱门c比LMS算法要求高的場合。但是，一些場合往往需要更高的收斂速度才能滿足要求。這就迫使我們研究一種收斂更快的格型算法。那就是下面要介紹的LSL算法。4.3 最小二乘格型算法基于最小二乘法的階遞歸自適應濾波器比較精確；但其算法表達式需要更多的軟件編碼關(guān)系。其算法的復雜性在于最小二乘格型預測器的每一級需要兩個不同的反射系數(shù)來表征它，一個用于前向預測，另一個用于后向預測。這種非對稱的格型濾波

10、器的設計準則采用最小二乘（LS）方法，使預測誤差的平方和為最小。圖4.3是一個LS格型濾波器。其中和分別為第m級格型濾波器的前向殘差和后向殘差，稱為反射系數(shù)，p為濾波器的階數(shù)15。與只有一個反射系數(shù)的LMS格型濾波器不同的是，LS格型濾波器的前向反射系數(shù)和后向反射系數(shù)是不相等的。圖4.3 RLS自適應格型濾波器19由上圖可以寫出前、后向預測誤差的方程，即有 (4-22) (4-23)式(4-22)和式(4-23)表明了以下事實：(1) 第m級濾波器在n時刻的前（后）向預測誤差不僅與前一級n時刻的前向預測誤差有關(guān)，而且還決定于前一級n-1時刻的后向預測誤差。(2) LS格型濾波器設計的核心問題就

11、是推導前、后向反射系數(shù)的遞推公式，即如何使用前級濾波器的有關(guān)參數(shù)推出本級的前、后向反射系數(shù)。(3) LS格型濾波器既含有階數(shù)遞歸（本級參數(shù)與前級參數(shù)有關(guān)），又包含了時間遞推（當前時刻的濾波器參數(shù)與前一時刻的參數(shù)有關(guān)）。定義以下參數(shù)：偏相關(guān)系數(shù) (4-24)前、后預測誤差剩余 (4-25) (4-26)前向反射系數(shù) (4-27)后向反射系數(shù) (4-28)引入個分量的單位向量（也叫抽取向量），得到角度參量的定義式為： (4-29)迭代公式為： (4-30)所以，可得到LS格型（Least Square Lattice, LSL）自適應濾波算法如下1015：初始化 (4-31) (4-32) (4-

12、33)對計算 (4-34) (4-35) (4-36)對于計算 (4-37) (4-38) (4-39) (4-40) (4-41) (4-42)其中，參數(shù)應選擇接近穩(wěn)態(tài)預測誤差的平方值。4.4 最小二乘格型算法特性分析格型算法與橫向算法最顯著的不同是它具有輸入信號正交化的功能。首先考慮格型濾波器第階抽頭處，格型算法中前向預測誤差必然與過去的數(shù)據(jù)樣本正交以達到最小均方誤差值，即 (4-43) (4-44)其中代表統(tǒng)計期望。同理，對于反向預測誤差有 (4-45) (4-46)這里的選取滿足正交條件，同樣兩個預測誤差滿足同樣的正交條件。然后考慮格型濾波器第階抽頭處，表示由預測的的誤差。因為階預測誤

13、差利用了時刻的所有信息，所以，第m階預測中必須包含從可以預測得到關(guān)于的信息，然而許多信息已經(jīng)包含在之中，而正交化就要求我們只考慮帶來的新信息。因此，考慮反向預測誤差，它表示由預測的誤差，也就是說代表了樣本中的新信息，于是關(guān)于的一種可取的遞推表達式為 (4-47) (4-48)這里的使?jié)M足新的正交條件 (4-49)類似的，可以得到反向預測器的遞推式 (4-50) (4-51)于是 (4-52)按照同樣的分析，我們可以把自適應預測濾波器擴展到更高階數(shù)。因此，利用格型結(jié)構(gòu)只要繼續(xù)增加濾波器的階數(shù)即可構(gòu)成預測濾波器。這正是格型結(jié)構(gòu)的逐級正交性，每個反射系數(shù)都可以分別予以確定。格型濾波器的正交性就是：反

14、向預測誤差可以由信號延遲形式的格蘭姆施密特型正交化公式導出。正交變量的這個特性使格型結(jié)構(gòu)有利于自適應濾波，也容易確定信號能量通過每個預測級后的衰減。這個特點可用于按比例確定預測誤差以保證良好的數(shù)值特性。一些重要的特性如下： (4-53)， (4-54) (4-55) (4-56) (4-57) (4-58)如果信號在自相關(guān)函數(shù)已知的情況下是平穩(wěn)的，每一級的前向與反向預測誤差能量均相同，那么兩個反射系數(shù)相等，而且可用對稱的雙乘法器格型結(jié)構(gòu)計算這些預測誤差的遞推式。假如被建模的信號是平穩(wěn)的，通過組合取樣數(shù)據(jù)估計和，可確定單一的反射系數(shù)。對于非平穩(wěn)信號來說，使反射系數(shù)隨時間變化可產(chǎn)生自適應估計。在諸

15、如雜波抑制、噪聲消除和均衡等應用中，格型結(jié)構(gòu)正交性的主要意義在于得到快速的跟蹤或者收斂特性。由于反向預測誤差是輸入時間序列延遲型的格蘭姆施密特正交化，因而格型算法得到了廣泛的應用。4.5 LSL算法聯(lián)合估計過程在許多應用情況下，我們希望由期望響應所表述某個過程性質(zhì)的預測和由輸入信號所包含的有關(guān)過程進行預測和估計，這時，如何推導出一個自適應格型濾波器來實現(xiàn)與期望信號的匹配就很重要。將后向預測誤差序列用于另一自適應處理過程中是格型聯(lián)合估計過程的核心。簡單來說，聯(lián)合處理分為2個階段，利用格型濾波結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的后向預測誤差序列再同時經(jīng)過單獨的另外一次常規(guī)自適應濾波處理。經(jīng)過格型結(jié)構(gòu)濾波后, 提取其中產(chǎn)生的

16、后向預測誤差序列作為聯(lián)合估計的輸入信號。因為后向預測誤差彼此之間具有正交的特性, 使得格型結(jié)構(gòu)前后兩級間是去耦的, 因此級間信號抗干擾性得到了保障。對后向預測誤差序列做加權(quán)求和, 并與參考信號進行比較, 以獲得誤差。通過對期望信號引入方式的分析, 聯(lián)合估計過程有兩種模式, 分為總體誤差更新和階誤差遞歸更新方式, 它們對權(quán)值的更新的方式不同。總體誤差更新方式如圖4.4所示：圖4.4總體誤差更新方式Error! Reference source not found.以當前時刻的總體誤差即為期望信號與整個濾波系數(shù)同時和所有估計器輸入信號的乘積之差作為調(diào)整下一時刻整個濾波系數(shù)的修正因子;總體誤差為:

17、(4-59)階誤差遞歸更新方式如圖4.5所示：圖4.5階誤差更新方式Error! Reference source not found.在當前時刻先從第一級濾波系數(shù)進行調(diào)整, 逐次計算每一個濾波系數(shù)的更新, 調(diào)整后的單級誤差成為下級單元的期望信號, 依次遞歸計算每一級的誤差和濾波系數(shù)以達到整體最優(yōu)。單級誤差為: (4-60) m=0,1,2,M (4-61)如果一定需要嚴格限制估計過程中濾波模型本身噪聲所帶來的測量誤差, 那么就有必要采用后一種模型中的直接獲取法進行聯(lián)合估計,因為階誤差遞歸更新模型以每一級為最優(yōu)處理對象, 致使總的M級測量誤差之和也將最小; 但是如果不需要嚴格關(guān)注濾波模型本身噪

18、所帶來的測量誤差, 從實用性的角度考慮, 普遍采用前一種易于實現(xiàn)的總體誤差更新模型。在這兩種聯(lián)合過程估計模型中，濾波系數(shù)的更新均可以采用NLMS 算法或者是RLS算法以及其他類型的更新算法。為了更少的增加計算復雜度，對于濾波系數(shù)的更新采用歸一化LMS算法。這樣，總體算法可以稱為：LSL-NLMS算法。聯(lián)合過程估計的總體結(jié)構(gòu)如圖4.6所示：圖4.6聯(lián)合過程估計的總體結(jié)構(gòu)Error! Reference source not found.上圖中，下半部分的期望相應估計器推導流程歸納為：對預測階數(shù)：m=0,1,2,M，置 (4-62)對時間步n=0,1,2,置 (4-63) (4-64)對于預測階數(shù)m=0,1,2,M和時間步n=0,1,2,計算 (4-65) (4-66) (4-67) (4-68)其中取0.05。4.6 LSL-NLMS算法的仿真分析仿真一：下面通過計算機模擬來檢驗RLS自適應格型聯(lián)合過程估計算法的性能，并將其和GAL、RLS及LMS算法作對比。仿真條件和4.2節(jié)一樣，通過對比權(quán)矢量系數(shù)a1，a2的預測值和的軌跡來評價兩種算法的性