高等數(shù)學(xué)電子教案12

1、高等數(shù)學(xué)教案 第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)目的： 1、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。2、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。3、掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。4、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。5、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。6、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。 7、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。8、掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。 9、會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和 10、

2、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。11、會(huì)利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。12、理解函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件。13、掌握將定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的方法。14、會(huì)將定義在區(qū)間0，上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。15、會(huì)將定義在區(qū)間(l，l)上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn) ： 1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件 2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法； 4、泰勒級(jí)數(shù) 5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；4、

3、泰勒級(jí)數(shù)；5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)§12. 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù): 一般地，給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×叫做（常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù), 簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 級(jí)數(shù)的部分和: 作級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)斂散性定義: 如果級(jí)數(shù)的部分

4、和數(shù)列有極限s, 即 , 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒(méi)有極限, 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × ×叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性, 其中a¹0, q叫做級(jí)數(shù)的公比. 解： 如果q¹1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na®

5、¥, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級(jí)數(shù)成為 a-a+a-a+ × × ×, 時(shí)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級(jí)數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|³1, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 僅當(dāng)|q|<1時(shí), 幾何級(jí)數(shù)a¹0)收斂, 其和為. 例2 證明級(jí)數(shù) 1+3+5+× × ×+（2n-1）+× × ×是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為 . 顯然, , 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的

6、. 例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級(jí)數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 證明： 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級(jí)數(shù)收斂, 且和為ks. 表明：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零常數(shù)后，它的收斂性不會(huì)改變。 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為s±s. 證明： 如果、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 表明：兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。 性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改

7、變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 加一項(xiàng)后級(jí)數(shù)也是收斂的, 減一項(xiàng)后級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 注意: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù) （1-1)+（1-1) +× × ×收斂于零, 但級(jí)數(shù)1-1+1-1+× × ×卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 證 ： 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn, 且, 則 .

8、 注意: 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例如 調(diào)和級(jí)數(shù) 盡管它的一般項(xiàng)，但它是發(fā)散的. 因?yàn)?假若級(jí)數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. §12. 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類非常重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)有列重要結(jié)論： 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界. 證 設(shè)級(jí)數(shù) u1+ u2+ × × × + un + × × ×

9、是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。其部分和為sn 顯然sn是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界. 則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，可知級(jí)數(shù)Sun收斂；反之, 若級(jí)數(shù)Sun收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知sn有界. 定理2 (比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且un£vn (n=1, 2, × × × ). 若級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; 反之, 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × × &

10、#215; +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和數(shù)列sn有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)n³N時(shí)有un£kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)n³N時(shí)有un³kvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 解 設(shè)p£1. 這時(shí), 而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散

11、, 由比較審斂法知, 當(dāng)p£1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時(shí)有 (n=2, 3, × × ×). 對(duì)于級(jí)數(shù), 其部分和 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂. 綜上所述, p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p£1時(shí)發(fā)散. 提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 . 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p£1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3 (比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正

12、項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果(0£l<+¥), 且級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; (2)如果, 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對(duì), 存在自然數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4 (比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則 當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)

13、級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 . 這時(shí)r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和

14、sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例9 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理6 (極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例7 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例8 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為 ,

15、 或 其中. 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理7（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和s£u1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|£un+1. 證明: 設(shè)前2n項(xiàng)部分和為s2n. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列s2

16、n單調(diào)增加且有界(s2n<u1), 所以收斂. 設(shè)s2n®s(n®¥), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 從而級(jí)數(shù)是收斂的, 且sn<u1. 因?yàn)?|rn|=un+1-un+2+× × ×也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 所以|rn|£un+1. 例9 證明級(jí)數(shù)收斂, 并估計(jì)和及余項(xiàng). 證 這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù). 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 (1)(n=1, 2,× × ×), (2), 由萊布尼茨定理,

17、 級(jí)數(shù)是收斂的, 且其和s<u1=1, 余項(xiàng). 三、絕對(duì)收斂與條件收斂: 絕對(duì)收斂與條件收斂: 若級(jí)數(shù)收斂, 則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 若級(jí)數(shù)收斂, 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱級(jí)條件收斂. 例如 級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的, 而級(jí)數(shù)是條件收斂的. 定理8 如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 則級(jí)數(shù)必定收斂. 證明略 注意: 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)閨, 而級(jí)數(shù)是收斂的, 所以級(jí)數(shù)也收斂, 從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 例12

18、 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解: 由, 有, 可知, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散. § 12. 3 冪級(jí)數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列： u1(x) ， u2(x) ，u3(x)，× × ×× × × un(x) × ×× × ×由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為. 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0

19、, 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并寫成. un(x)是的簡(jiǎn)便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=un(x). 這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ 

20、5; × × +un(x). 在收斂域上有或sn(x)®s(x)(n®¥) . 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 冪級(jí)數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ &

21、#215; × × , 其中常數(shù)a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 例如一下級(jí)數(shù): 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × , . 注: 冪級(jí)數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × 

22、15; +antn+ × × × . 冪級(jí)數(shù) 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × 可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|³1時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂域?yàn)?-1, 1), 在收斂域內(nèi)有. 由此例可得： 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0 (x0¹0)時(shí)收斂, 則適合不等式|x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散.

23、 證 先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 即級(jí)數(shù)收斂. 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×). 這樣級(jí)數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值. 因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)收斂, 也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全

24、確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|<R時(shí), 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 當(dāng)|x|>R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+¥, 這時(shí)收斂域?yàn)?-¥, +¥). 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求法，

25、有下列定理：定理2 如果, 其中an、an+1是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 簡(jiǎn)要證明: . (1)如果0<r<+¥, 則只當(dāng)r|x|<1時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的, 故R=+¥. (3)如果r=+¥, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1. 例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為R=+¥

26、, 從而收斂域?yàn)?-¥, +¥). 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 因?yàn)?, 所以收斂半徑為R=0, 即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑: 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.提示: . 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2£t

27、<2. 因?yàn)?2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1, 3). 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)anxn及bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: anxn+bnxn =(an+bn)xn , 減法: anxn-bnxn =(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-1+ × &#

28、215; × +anb0)xn+ × × × 除法： 這里假定。為了決定系數(shù)，可以將 與相乘，然后比較與的同次冪項(xiàng)系數(shù)得出。關(guān)于冪級(jí)數(shù)，有以下的重要性質(zhì)性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級(jí)數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R(或-R, R)連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xÎI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|<R),

29、 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, xÎ-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對(duì)上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x ¹0時(shí), 有. 從而. 因?yàn)?, 所以, 當(dāng)x¹0時(shí), 有, 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級(jí)數(shù)的和. 解 考慮冪級(jí)數(shù), 此級(jí)數(shù)在-1, 1)上收斂, 設(shè)其和函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. §12. 4 函數(shù)展開成冪

30、級(jí)數(shù) 一、泰勒級(jí)數(shù) 問(wèn)題: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”, 就是說(shuō), 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù), 我們就說(shuō), 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù), 或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù), 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 以前學(xué)過(guò)泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級(jí)數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f¢(x), f¢¢(x), &#

31、215; × × , f (n)(x), × × × , 則當(dāng)n®¥時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級(jí)數(shù) 這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0). 但是 除了x=x0外, f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 對(duì)此，有以下定理： 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n®0時(shí)的極限為零, 即 . 證

32、明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)® f(x)(n®¥). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)®0(n®¥)對(duì)一切xÎU(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)&

33、#174;f(x), 即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x). 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0, 得 , 此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ 

34、15; × ×+nanxn-1+ × × × , f ¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × ×

35、; × × × × × × × ×f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×. 注意: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 但是, 反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f

36、(x). 因此, 如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái), 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)

37、( 0), × × × . 第三步 寫出冪級(jí)數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)®0(n®¥). 是否為零. 如果Rn(x)®0(n®¥), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R<x<R). 例1 將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f (n)(x)=ex(n=1, 2, × × ×), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, × × ×). 于是得級(jí)數(shù)

38、, 它的收斂半徑R=+¥. 對(duì)于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 , 而, 所以, 從而有展開式 . 例2 將函數(shù)f(x)=sin x 展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?n=1, 2, × × ×), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, × × × (n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得級(jí)數(shù) , 它的收斂半徑為R=+¥. 對(duì)于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 ®0 (n ®¥). 因此得展開式 .

39、 . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f ¢(x)=m(1+x)m-1, f ¢¢(x)=m(m-1)(1+x)m-2, × × × × × × × × ×, f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n, × × × × × × × × ×, 所以

40、f(0)=1, f ¢(0)=m, f ¢¢(0)=m(m-1), × × ×, f (n)(0)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × ×于是得冪級(jí)數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 已知 (-¥<x<+¥). 對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得 . 例5 將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)? 把x換成-x2, 得 (-1<x<1).注: 收斂半徑的確定: 由-1<-

41、x2<1得-1<x<1. 例6 將函數(shù)f(x)=ln(1+x) 展開成x的冪級(jí)數(shù). 分析 因?yàn)? 而是收斂的等比級(jí)數(shù)(-1<x<1)的和函數(shù): . 所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分, 得 . 解: f(x)=ln(1+x) (-1<x£1). 上述展開式對(duì)x=1也成立, 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)x=1時(shí)收斂, 而ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開成的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?, 并且有 , , 所以 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級(jí)數(shù). 解 因?yàn)?. 提示: ,. , , 收斂域: 由和得. 小結(jié)：常用的展開式

42、 , , , , .§12. 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 一、近似計(jì)算 例1 計(jì)算的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001. 解 因?yàn)? 所以在二項(xiàng)展開式中取, , 即得 . 這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快. 取前兩項(xiàng)的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10-4, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得： . 例2 計(jì)算ln 2的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001. 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值, 其誤差為 .為了保證誤差不超過(guò), 就需要取

43、級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算. 這樣做計(jì)算量太大了, 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.把展開式 中的x換成-x , 得 ,兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: .令, 解出. 以代入最后一個(gè)展開式, 得 .如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值, 則誤差為 .于是取 .同樣地, 考慮到舍入誤差, 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù): , , , .因此得 ln 2»0.6931. 例3 利用 求sin9°的近似值, 并估計(jì)誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度),從而 .其次, 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度. 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開式中令, 得 .等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 且各項(xiàng)

44、的絕對(duì)值單調(diào)減少. 取它的前兩項(xiàng)之和作為的近似值, 起誤差為 .因此取 , 于是得 sin9°»0.15643.這時(shí)誤差不超過(guò)10-5.例4 計(jì)算定積分 的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001（取）. 解： 將ex的冪級(jí)數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 .于是, 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積, 得 .前四項(xiàng)的和作為近似值, 其誤差為 ,所以 . 例5 計(jì)算積分 的近似值, 要求誤差不超過(guò)0.0001. 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間0, 1上連續(xù)，展開被積函數(shù), 有 . 在區(qū)間0, 1上逐

45、項(xiàng)積分, 得 . 因?yàn)榈谒捻?xiàng) , 所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ × × ×+(un+ivn)+ × × ×其中un , vn (n=1, 2, 3, × × ×)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù) u1+u2 + × × × +un+ × × ×收斂于和u, 并且虛部所成的級(jí)數(shù). v1+v2+ × × × +vn+ 

46、15; × ×收斂于和v, 就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對(duì)收斂: 如果級(jí)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂, 則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) . 可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即 . 歐拉公式: 當(dāng)x=0時(shí), z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是

47、z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因?yàn)閑ix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): .特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). 也就是說(shuō)，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)在處的值的模為，輻角為的復(fù)數(shù)。§12.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù) 稱為三角級(jí)數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, × × ×)都

48、是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, × × ×, cos nx, sin nx, × × × 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-p, p上的積分等于零, 即 (n=1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×), (k, n=1, 2, × × ×, k¹n), (k,

49、n=1, 2, × × ×, k¹n). 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間-p,p上的積分不等于零, 即 , (n =1, 2, × × ×), (n =1, 2, × × ×). 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 問(wèn)題: 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開成三角級(jí)數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, × × × 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則 . 類似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, ×

50、× ×), , (n =1, 2, × × ×). 系數(shù)a0, a1, b1, × × × 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級(jí)數(shù): 三角級(jí)數(shù) 稱為傅里葉級(jí)數(shù), 其中a0, a1, b1, × × ×是傅里葉系數(shù). 問(wèn)題: 一個(gè)定義在(-¥, +¥)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個(gè)周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來(lái)說(shuō), 這兩個(gè)問(wèn)題的答案

51、都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足: 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn), 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且 當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于f(x); 當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂于. 例1 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在-p, p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn)x=kp (k=0, ±1, ±2, × × × )處不連續(xù), 在其它點(diǎn)處連續(xù), 從而由收斂定理

52、知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂, 并且當(dāng)x=kp時(shí)收斂于 , 當(dāng)x¹kp時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: (n =0, 1, 2, × × ×); 1-(-1)n 于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 (-¥<x<+¥ x ¹0, ±p, ±2p, × × ×). 例2 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在-p,p)上的表達(dá)式為 將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點(diǎn)x=(2k+1)p (k=0, ±1,

53、77;2, × × × )處不連續(xù), 因此, f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=(2k+1) p處收斂于 . 在連續(xù)點(diǎn)x (x¹(2k+1)p)處級(jí)數(shù)收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)計(jì)算如下: ; (n =1, 2, × × ×). f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 (-¥<x<+¥ ; x ¹±p, ±3p, × × × ). 周期延拓: 設(shè)f(x)只在-p,p上有定義, 我們可以在-p, p)或(-p, p外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義, 使它拓廣成周

54、期為2p的周期函數(shù)F(x), 在(-p, p)內(nèi), F(x)=f(x). 例3 將函數(shù) 展開成傅里葉級(jí)數(shù). 解 所給函數(shù)在區(qū)間-p, p上滿足收斂定理的條件, 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí), 它在每一點(diǎn)x處都連續(xù), 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在-p, p上收斂于f(x). 傅里葉系數(shù)為: ; (n =1, 2, × × ×). 于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 (-p£x£p). 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí), f(x)cos nx是奇函數(shù), f(x)sin nx是偶函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 an=0 (n=0, 1, 2, × × ×), (n=1, 2, 3, × × ×). 因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù) . 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí), f(x)cos nx是偶函數(shù), f(x)sin nx是奇函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 (n=0, 1, 2, 3, × × ×), bn=0 (n=1, 2, × × ×). 因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)