高考中的立體幾何

1、高考中的立體幾何高考中的立體幾何考點考點 1 1：證明平行：證明平行：主要以線面平行或者面面平行為出題載體?。褐饕跃€面平行或者面面平行為出題載體！解決辦法：可以直接法和間接法！直接法：證明已知直線平行與面內(nèi)的一條直解決辦法：可以直接法和間接法！直接法：證明已知直線平行與面內(nèi)的一條直線！間接法：證明面面平行來推出線面平行！證明面面平行則需加一步已知直線！間接法：證明面面平行來推出線面平行！證明面面平行則需加一步已知直線在該平面內(nèi)！線在該平面內(nèi)！考點考點 2:2: 證明垂直證明垂直：主要以線面垂直與面面垂直為出題載體?。褐饕跃€面垂直與面面垂直為出題載體！解決方法：證明已知直線垂直面內(nèi)兩條相交直

2、線可以推出線面垂直，如證明面解決方法：證明已知直線垂直面內(nèi)兩條相交直線可以推出線面垂直，如證明面面垂直則需加一步證明已知直線在另一個面內(nèi)！面垂直則需加一步證明已知直線在另一個面內(nèi)！考點考點 3 3：點到平面的距離：點到平面的距離：主要以點到一個面的距離為出題載體?。ǘ嘁娕c文：主要以點到一個面的距離為出題載體?。ǘ嘁娕c文科）科）解決辦法：解決辦法： 絕大多數(shù)是用等體積法來求解，即先求出立體圖形的體積在求出點絕大多數(shù)是用等體積法來求解，即先求出立體圖形的體積在求出點到平面里的那個平面的面積最后建立等式求解！極少數(shù)是可以直接求出。到平面里的那個平面的面積最后建立等式求解！極少數(shù)是可以直接求出?？键c考

3、點 4 4：線面角：線面角：主要以直線與面所成的角度出題！（多見于選擇題）：主要以直線與面所成的角度出題?。ǘ嘁娪谶x擇題）解決辦法：解決辦法： 構(gòu)建三角或直角三角形利用正余弦定理求解前者，利用三角函數(shù)求構(gòu)建三角或直角三角形利用正余弦定理求解前者，利用三角函數(shù)求見后者！在構(gòu)造三角形時，常需要將直線平行平移到面上組建三角形！見后者！在構(gòu)造三角形時，常需要將直線平行平移到面上組建三角形！考點考點 5 5：求體積：求體積：主要以求錐體體積為出題載體?。ǔＲ娪谖目疲褐饕郧箦F體體積為出題載體?。ǔＲ娪谖目疲┙鉀Q辦法：根據(jù)公式進行各未知量的求解進而應(yīng)用公式求解！解決辦法：根據(jù)公式進行各未知量的求解進而應(yīng)

4、用公式求解！考點考點 6 6：二面角：二面角：主要以求二面角的大小或函數(shù)值為主要出題載體（常見于理：主要以求二面角的大小或函數(shù)值為主要出題載體（常見于理科）科）解決辦法：解決辦法：1.1.先構(gòu)造二面角（先構(gòu)造二面角（a.a.先找與兩面都相交的直線是否有與兩面的交線先找與兩面都相交的直線是否有與兩面的交線垂直如果垂直則直接向交線引垂線即可構(gòu)造成功也是最簡單的。垂直如果垂直則直接向交線引垂線即可構(gòu)造成功也是最簡單的。b.b.如果找不到如果找不到與兩面相交的直線垂直與兩面的交線時，則需尋找合適的與兩面相交直線過與與兩面相交的直線垂直與兩面的交線時，則需尋找合適的與兩面相交直線過與一面的交點引兩面交線

5、的垂線在連接垂足與直線與另一面的交點，應(yīng)用三垂線一面的交點引兩面交線的垂線在連接垂足與直線與另一面的交點，應(yīng)用三垂線定理構(gòu)造二面角這個也是最?？嫉?！定理構(gòu)造二面角這個也是最常考的！c.c.需要平移與兩面都相交的直線在應(yīng)用需要平移與兩面都相交的直線在應(yīng)用 b b中的辦法構(gòu)造平移時多以中點平移或中位線平移出現(xiàn)，這類也是最難構(gòu)造的二中的辦法構(gòu)造平移時多以中點平移或中位線平移出現(xiàn)，這類也是最難構(gòu)造的二面角）面角）2.2.應(yīng)用余弦定理進行求解應(yīng)用余弦定理進行求解考點考點 7 7：球：球：這個的考法方式較多（選擇題或填空題必出）這個的考法方式較多（選擇題或填空題必出）解決辦法：掌握大圓與小圓的性質(zhì)，應(yīng)用球

6、心到平面距離和球半徑進行解題！解決辦法：掌握大圓與小圓的性質(zhì)，應(yīng)用球心到平面距離和球半徑進行解題！高考練習試題高考練習試題1.【2010浙江理數(shù)】設(shè) ，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（ ）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】可對選項進行逐個檢查.本題主要考察了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊含了對定理公理綜合運用能力的考察，屬中檔題.2.【2010全國卷 2 理數(shù)】與正方體的三條棱、所在直線的距離相等的點（ ）A.有且只有 1 個 B.有且只有 2 個C.有且只有 3 個 D.有無數(shù)個【答案】D【解析】直線上取一點，分別作垂直

7、于于則分別作，垂足分別為 M，N，Q，連 PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PNPM；PQAB，由于正方體中各個表面、對等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無窮多點滿足條件，故選 D.3.【2010全國卷 2 理數(shù)】已知正四棱錐中，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（ ）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問題.設(shè)底面邊長為 a，則高所以體積，設(shè)，則，當 y 取最值時，解得 a=0或 a=4 時，體積最大，此時，故選 C.4.【2010陜西文數(shù)】若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

8、則該幾何體的體積是（ ）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】本題考查立體圖形三視圖及體積公式如圖，該立體圖形為直三棱柱,所以其體積為.5.【2010遼寧文數(shù)】已知是球表面上的點，則球的表面積等于（ ）A.4 B.3 C.2 D.【答案】A【解析】由已知，球的直徑為，表面積為6.【2010全國卷 2 文數(shù)】與正方體 ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點（ ）A.有且只有 1 個 B.有且只有 2 個C.有且只有 3 個 D.有無數(shù)個【答案】D【解析】本題考查了空間想象能力.到三條兩垂直的直線距離相等的點在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上

9、，三個圓柱面有無數(shù)個交點.7.【2010全國卷 2 文數(shù)】已知三棱錐中，底面為邊長等于2 的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角.過 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，連結(jié) SE，過 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于F，連 BF，正三角形 ABC， E 為 BC 中點， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC，ABF 為直線 AB 與面 SBC 所成角，由正三角形邊長 3， ，AS=3， SE=，AF=， .8

10、.【2010全國卷 1 文數(shù)】正方體-中，與平面所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).方法一：因為 BB1/DD1,所以 B與平面 AC所成角和 DD1與平面 AC所成角相等,設(shè) DO平面 AC，由等體積法得,即.設(shè) DD1=a,則,.所以,記 DD1與平面 AC所成角為,則,所以.方法二：設(shè)上下底面的中心分別為；與平面 AC所成角就是 B與平面 AC所成角，.9.【2010全國卷 1 文數(shù)】直三棱柱中，若，則異

11、面直線與所成的角等于（ ）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】C 【解析】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法.延長 CA 到 D，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，.10.【2010全國卷 2 理數(shù)】如圖，直三棱柱中，為的中點，為上的一點，（）證明：為異面直線與的公垂線；（）設(shè)異面直線與的夾角為 45，求二面角的大小【解析】本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計算的能力. 解：解法一：（I）連接 A1B，記 A1B 與 AB1的交點為 F.因為面 AA1BB1為正方形，故A1BAB1

12、，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 為 BB1的中點，故DEBF，DEAB1.作 CGAB，G 為垂足，由 AC=BC 知，G 為 AB 中點.又由底面ABC面 AA1B1B.連接 DG，則 DGAB1，故 DEDG，由三垂線定理，得 DECD.所以 DE 為異面直線 AB1與 CD 的公垂線.（II）因為 DGAB1，故CDG 為異面直線 AB1與 CD 的夾角，CDG=45，設(shè) AB=2，則 AB1=，DG=，CG=，AC=.作 B1HA1C1，H 為垂足，因為底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC1，K 為垂足，連接

13、B1K，由三垂線定理，得 B1KAC1，因此B1KH 為二面角 A1-AC1-B1的平面角.11.【2010陜西文數(shù)】如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形PA平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn) 分別是 PB,PC 的中點.()證明：EF平面 PAD；()求三棱錐 EABC 的體積 V.解：()在PBC 中，E，F(xiàn) 分別是 PB，PC 的中點，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面 PAD,EF平面 PAD,EF平面 PAD.()連接 AE,AC,EC,過 E 作 EGPA 交 AB 于點 G,則 BG平面 ABCD,且 EG=PA.在PAB 中，AD=AB

14、,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.11.【2010江西理數(shù)】如圖BCD 與MCD 都是邊長為 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，.（1） 求點 A 到平面 MBC 的距離；（2） 求平面 ACM 與平面 BCD 所成二面角的正弦值.【解析】本題以圖形拼折為載體主要考查了考查立體圖形的空間感、點到直線的距離、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識，同時也考查了空間想象能力和推理能力.解：（1）取 CD 中點 O，連 OB，OM，則 OBCD，OMCD.又平面平面,則 MO平面，所以 MOAB，A、B、

15、O、M 共面.延長 AM、BO 相交于 E，則AEB 就是 AM 與平面 BCD 所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O 到平面 ABC 的距離相等，作 OHBC 于 H，連 MH，則 MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用體積相等得：.（2）CE 是平面與平面的交線.由（1）知，O 是 BE 的中點，則BCED 是菱形.作 BFEC 于 F，連 AF，則 AFEC，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，設(shè)為.因為BCE=120，所以BCF=60.，所以，所求二面角的正弦值是.【點評】傳統(tǒng)方法在處理時要注意到輔助線的處理，一般采用射影、垂線、平行線等特殊

16、位置的元素解決.12.【2010安徽文數(shù)】如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H 為 BC 的中點，()求證：FH平面 EDB;（）求證：AC平面 EDB; （）求四面體 BDEF 的體積. 【解析】本題考查空間線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷與證明，考查體積的計算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力.（1）設(shè)底面對角線交點為 G，則可以通過證明 EGFH，得平面；（2）利用線線、線面的平行與垂直關(guān)系，證明 FH平面 ABCD，得FHBC，F(xiàn)HAC，進而得 EGAC，平面；（3）證明

17、 BF平面CDEF，得 BF 為四面體 B-DEF 的高，進而求體積.【規(guī)律總結(jié)】本題是典型的空間幾何問題，圖形不是規(guī)則的空間幾何體，所求的結(jié)論是線面平行與垂直以及體積，考查平行關(guān)系的判斷與性質(zhì).解決這類問題，通常利用線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直，通過求高和底面積求四面體體積. 13.【2010北京理數(shù)】如圖，正方形 ABCD 和四邊形 ACEF 所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面 BDE；（）求證：CF平面 BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小. 證明：（I） 設(shè) AC 與 BD 交與點 G.因為 EF/AG，且 EF=

18、1，AG=AC=1.所以四邊形 AGEF 為平行四邊形.所以 AF/平面 EG，因為平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF/平面 BDE.（II）（II）因為正方形 ABCD 和四邊形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CEAC，所以 CE平面 ABCD.如圖，以 C 為原點，建立空間直角坐標系 C-.則C（0，0，0） ，A（，0） ，B（0，0）. 所以，.所以,，所以,.所以BDE.(III) 由（II）知，是平面 BDE 的一個法向量.設(shè)平面ABE 的法向量,則，.即所以且令則.所以.從而.因為二面角為銳角，所以二面角的大小為.14.【2010 江蘇卷文】如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1)求證