淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)號(hào)：09690137姓名：尹佩指導(dǎo)老師：蔡江濤摘要：微積分是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，可以當(dāng)作工具去解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題.本文通過闡述微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位和作用的基礎(chǔ)上，研究微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用關(guān)鍵詞：微分積分中學(xué)數(shù)學(xué)新課改0.引言微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(以下簡(jiǎn)稱課標(biāo))對(duì)微積分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了改革.課標(biāo)和過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱相比，一大特點(diǎn)是將一元函數(shù)微積分的部分

2、內(nèi)容拿到高中教材中，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，它分為微分和積分.微積分的創(chuàng)立，極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展.它是我國(guó)現(xiàn)在普遍使用的高中數(shù)學(xué)教材中增加的部分，蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想，如極限思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想微積分中的哲學(xué)思想、辯證的思想等，它們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用和價(jià)值.微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)學(xué)習(xí)微積分的知識(shí)可以進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力.(2)學(xué)習(xí)微積分能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有利于學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本內(nèi)容，有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合

3、運(yùn)用，有利于學(xué)生學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握基本內(nèi)容，有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用.(3)將微積分的理論應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)，不僅可以使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn),而且可以進(jìn)而指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作.利用微積分來解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些問題能取得意想不到的效果1 .微分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用課標(biāo)中對(duì)微積分的教學(xué)內(nèi)容明確提出：”導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用.要求學(xué)生通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)通過理解導(dǎo)數(shù)概念，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)”.微分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用主要由導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)

4、.1.1 微分法在求函數(shù)極值和最值問題中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)教材的二次函數(shù)，三角函數(shù)和不等式等內(nèi)容都涉及到求函數(shù)極值與最值問題.在求比較復(fù)雜的函數(shù)的極值和最值問題中一般采用微分的知識(shí)來解決，根據(jù)對(duì)自變量求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)從而判斷函數(shù).導(dǎo)數(shù)的定義：當(dāng)自變量的增量Ax=x-x0,Ax0時(shí)函數(shù)增量Ay=f(x)-f(x0)與自變量之比的極限存在且有限，就說函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)(或變化率)。例1:求函數(shù)"”工瓜，的工打°團(tuán)極值，最值解：因?yàn)?工”比工+1,令山工+1=0,得也又因?yàn)橛杀碇锌芍d為函數(shù)用)的極小值點(diǎn),當(dāng)。二時(shí)，/0,所以在區(qū)間上最大值為目，最小值為e

5、.由例題可得利用微分求比較復(fù)雜的函數(shù)的最值及極值方面會(huì)顯得更簡(jiǎn)單.其中利用導(dǎo)數(shù)求極值可分為三步：1 :求導(dǎo)數(shù)了；1.1 方程/二口的根;3:檢驗(yàn)/在方程/三°的根的左右兩邊的符號(hào)，確定極值.1.2 微分法在不等式證明中的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明是一個(gè)重點(diǎn)同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于簡(jiǎn)單的不等式我們可以通過作差和作商等方法來解決，但對(duì)于比較難的不等式證明我們一般采用微分中的求導(dǎo)來處理問題。微分在中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明中的應(yīng)用，主要是利用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式.將不等式中的項(xiàng)進(jìn)行一系列計(jì)算變形，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.例2:當(dāng)尤時(shí)，證明不等式皿工。成立.證明：設(shè)/二粗兀一工

6、，則/二-1.。利.1。)=皿工一工在工e(0z)內(nèi)單調(diào)遞減，而丁(0)=0,.故當(dāng)XEQH時(shí)，沏支。成立.一般地，證明/四”(曲為，可以構(gòu)造函數(shù)巴力,如果工”0,則"在S上是減函數(shù)，同時(shí)若93"0,由減函數(shù)的定義可知它匕時(shí)，有戶。,即證明了丁反.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí).用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷.1.3 微分學(xué)在研究函數(shù)圖像中的應(yīng)用函數(shù)圖像在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中起到了重要的作用.函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特性

7、的時(shí)候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形.學(xué)微分學(xué)之前，用描點(diǎn)法作圖是十分必要的，不過它有缺陷：帶有一定的盲目性、點(diǎn)取得不夠多也許就會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的圖像等.而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像，就能克服描點(diǎn)法作圖的缺點(diǎn)，可有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷.一般來說，討論函數(shù)圖像的步驟是：(1)確定函數(shù)，二"工)的定義域；(2)觀察函數(shù)是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函數(shù)，二幻的單調(diào)區(qū)間，極值，列表；(4)觀察函數(shù)曠二八外是否有漸進(jìn)線，如果有，求出漸進(jìn)線；(5)求出函數(shù)?二,的凸凹區(qū)間和拐點(diǎn)，列表；(6)確定一些特殊點(diǎn)，如制與坐標(biāo)軸的

8、交點(diǎn)等.例3:描繪函數(shù)二十的圖像.解：定義域?yàn)榭陲L(fēng)-，值域?yàn)?°.是偶函數(shù)，圖形關(guān)于軸對(duì)稱./二"(-2力，令)=0,解得駐點(diǎn)工三0,12廣文2/7，令V=0,解得工一"T.X(8,-)一立(-岑0唔也(¥",+8)y+0一+0a*/下凸r拐點(diǎn)-J*J2/上凸梃大值1上凸拐點(diǎn)季力下凸當(dāng)S,函數(shù)值尸無限接近于0,即A是漸近線.綜上，畫函數(shù)草圖如下:中學(xué)常采用微分學(xué)知識(shí)作函數(shù)圖像,這里作為函數(shù)的一個(gè)極為重要的特征之一凹凸性，利用函數(shù)凹凸性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系作圖會(huì)更準(zhǔn)確更簡(jiǎn)單1.4采用微分中值定理證明方程根的存在性b上連續(xù);b )內(nèi)可導(dǎo),拉格朗日中值定理設(shè)

9、函數(shù)f(x)滿足如下條件:(1)f(x)在閉區(qū)間(2)f(x)在開區(qū)間(則在(a , b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得f '(己)f(a)-f(b)b-a運(yùn)用拉格朗日中值定理證明方程根的存在唯一性例4:設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo)，且0Vf(x)<1,又對(duì)于(0,1)內(nèi)的所有點(diǎn)x有f'(x)w-1,證明方程f(x)+x-1=0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.分析：證明方程根的存在性就有可能用到介值定理.在用介值定理證明問題時(shí)，選取合適的輔助函數(shù)可U到事半功倍的效果.而在證明唯一性的時(shí)候較常用的方法就是反證法，所以本題證明思路就是先證存在性，再證唯一性.證明先證存在性.令F(x)=f(x)+

10、x-1，則F(x)在0,1上可導(dǎo).因?yàn)?<f(x)<1.所以F(0)=f(0)-1<0,F(1)=f(1)>0.(V0<f(x)<1)由介值定理知F(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)+x-1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.再證唯一性(反證法).設(shè)方程f(x)+x-1=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根乂1,和乂2不妨設(shè)0<x1<x2V1有f(x1)=1-x1,f(x2)=1-x2,對(duì)f(x)在x1,x2：上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有己(x1，x2),使/f(x2)-f(x1)(1-x2)-(1-x1).f(E)=-1x2-X1x2-X1即

11、在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)己，有f'(己)=-1,這與題設(shè)f'(x)w-1矛盾，所以假設(shè)不成立，即方程f(x)+x-1=0在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.唯一性得證.拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要定理，是解決函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的重要工具.把這個(gè)定理與中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來，這樣不僅可以使我們加深對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而能使高中生更好的理解這部分的知識(shí)，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ).1.5微分法在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí).用單調(diào)性的定義來處理單調(diào)性問題有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，

12、而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷.例5:(2009年廣東卷文)函數(shù),")=5一可/的單調(diào)遞增區(qū)間是多少？分析：對(duì)函數(shù)3求導(dǎo)，求不等式尸>°和尸(2V。的解，則/>。的解為單調(diào)增區(qū)間.解："蟲.丁(方=+。印卜*y=(L2對(duì)令了0,得先,所以$9的單調(diào)增區(qū)間為0，十）.1.6微分法在曲線的切線問題上的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：如果函數(shù)了（幻的導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)/）在無二/處的導(dǎo)數(shù)即為該函數(shù)在點(diǎn)（%，/（/）切線的斜率，利用這個(gè)我們可以求出曲線的切線方程.例6:（2009福建卷理）若曲線存在,（刈二"/4員,垂直于下軸的切線，則實(shí)數(shù)儀取值范圍是

13、多少？解析：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法.,、31由題意可知工，又因?yàn)榇嬖诖怪庇谑S的切線，所以2口爐+0=>£；=-（兀>0）=>口e（-oaT口）r2T這些題目都考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容忽視.2.積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用定積分是新課標(biāo)中新加的內(nèi)容，課標(biāo)對(duì)定積分的定位如下：“（1）通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實(shí)例，從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價(jià)值.可見，高中課程學(xué)

14、習(xí)定積分，重在粗淺地領(lǐng)略其主要思想和基本方法，從一些實(shí)例中初步認(rèn)識(shí)定積分的工具作用.2.1 積分法在證明中學(xué)幾何公式的應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用的一些定理、公理都不加以證明，只用其結(jié)論.這些在高等數(shù)學(xué)中，利用微積分等知識(shí)就可以進(jìn)行推理，例如：祖恒定理的證明.我們可以用這些方法解決用其他數(shù)學(xué)方法難于處理的許多問題.祖恒定理的證明：高中立體幾何中的祖恒定理只是作為公理進(jìn)行應(yīng)用，事實(shí)上，它無法用中學(xué)知識(shí)證明，而在高等數(shù)學(xué)中，用積分的理論可很容易地給出它的理論證明例7:證明：在夾兩個(gè)立體的兩平面的任一平面上，任取一點(diǎn)為原點(diǎn)O,過O且垂直于這個(gè)平面的直線取為x軸，并把射向另一個(gè)平面的方向記為x軸的正向

15、，把兩平行平面的距離記為h,設(shè)夾在這兩個(gè)平面之間的平行于這兩個(gè)平面的平面，截坐標(biāo)軸于x,且截兩立體所得的截面面積分別為p(x)和q(x),顯然p(x)與q(x)都是0,h上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)它們的體積分別用V1,V2表示，則：dxhV2 = 4 q(x) dx-P(x)=q(x)x0,hh ,、0 p(x) dx =h0 q(x) dxViV2即這兩個(gè)幾體的體積相等.另外，錐、臺(tái)、球等的面積、體積公式都可以由積分得到.總之，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系，其中微積分都扮演著重要的角色，它不但能解決初等數(shù)學(xué)中的諸多問題，而且成為高等數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ).用微積分的知識(shí)解決初等數(shù)學(xué)難以解決的問題.微積

16、分的理論是研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)不可或缺的部分，它對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用.2.2 用積分法證組合中的恒等式用導(dǎo)數(shù)或積分在解決初等數(shù)學(xué)難以證明(或無法證明)的命題(或定理),特別是一些多變量恒等式和超越不等式時(shí)有較大優(yōu)勢(shì).需要強(qiáng)調(diào)的是，在初等數(shù)學(xué)中，設(shè)“元”的方法是一種基本方法，而在利用導(dǎo)數(shù)與積分解決初等數(shù)學(xué)問題時(shí)，構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法也是一種最常見的方法.其中用積分來證明恒等式能夠讓問題變得更直觀更簡(jiǎn)單.積知識(shí)證明恒等式的實(shí)質(zhì)是將等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，進(jìn)而求導(dǎo)證明包等關(guān)系，依據(jù)：/"w=g'w=>yw=g+c例8:證明$出3付出立匕+附:%盤=匕必”G0證

17、明：設(shè),工+。口m3,g三cos32=-3cos3xsinxcos2x-3sin3acosxcos2a=-3cos2sin4g（3=-6cos22xgin2K故.：，；J/又走=0時(shí)，/（0）=虱。）=1.從而C=0，因此人工）二目（工）.原題得證.綜上所述，熟練掌握積分的性質(zhì)、定理及公式，巧妙的利用積分，對(duì)于解決一股的組合中恒等式的問題，開辟了一條新的途徑，不僅給常規(guī)解題方法注入了新鮮的血液，使其更有活力，也更有利于學(xué)生思維的發(fā)展，所以更要重視積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.2.3 積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些簡(jiǎn)單運(yùn)算1 .定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：b性質(zhì)11dxbaa性質(zhì)2

18、性質(zhì)3bfi(x)af2(x)dxbbf1(x)dxf2(x)dx(定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)4bf(x)dxacf (x)dxabf (x)dx (其中 a ccb)(定積分的可加性質(zhì))bkf(x)dxkf(x)dx(其中k是不為0的常數(shù))(定積分的線性性aC性質(zhì)45(D 0(2x 4)dx;3i(2x1、，F(xiàn)dx ； x性質(zhì)1y=12 .微積分基本定理一般的，如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x),那baa么f(x)dxF(b)F(a).可以把f(x)dx2f(x)dx0F(b)F(a)記作aa0bb_bF(x)|a,即af(x)dxF(x)|aF(b)F(a).a3 .

19、定積分的求法(1)微積分基本定理(2)幾何意義法：例如11、,1x2dxa(3)利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求：若f(x)是卜a,a上的奇函數(shù)，則f(x)dx0;aaa若f(x)是-a,a上的偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx.a0例9:計(jì)算下列定積分5解：(1)0(2x4)dx121o(2) 因?yàn)?lnx),所以一dxlnx|1ln2ln1ln2.x1x3(3)因?yàn)?x2)2x,(1)-2，所以(2xxx12313122x|i1(91)(-1).x331、，33 1 .：)dx 2xdx-dx22x 11 x積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中越來越重要，縱觀近幾年新課改地區(qū)高考都牽涉到積分的內(nèi)容。主要在定積分的求法，

20、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用尤其是利用定積分求面積上作又早.2.4積分在求平面區(qū)域的面積的應(yīng)用1.1 .1連續(xù)曲線尸二/（力，尺軸二直線x二口，工二3所圍成的曲邊梯形的面積，'”.11X=-=一解：如圖，則此區(qū)域的面積例10:（2008海南、寧夏卷理）由直線2,x=/,曲線工及那軸所圍圖形的面積是多少？2.42 如果平面區(qū)域是區(qū)間1凡村上的兩條連續(xù)曲線卜二1）與A=或力（相交）及直線刀二B所圍成的，它的面積為二一WW例11：計(jì)算由兩條拋物線y2x和yx2所圍成的圖形的面積？分析：兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到解:x 0及x 1,所以兩曲線的交點(diǎn)為(0,

21、 0)、(1, 1),面積OI._1.11122sx1S=Gdxxdx,所以S=(7x-x)dxx一=70003303在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1 .作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分.有了微積分這樣的工具，學(xué)生們能更好的理解幾何中的一些公式，能更容易的解答出求函數(shù)極值，證明不等式，證明恒等式等方面的問題.參考文獻(xiàn)：1杜忠芬，淺談微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J,銅仁學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,(S1).2楊旭婷，.微分中值定理的教學(xué)實(shí)踐與探索J,甘肅高師學(xué)報(bào)，2011,(05).3包建廷，微積分在不等式中的應(yīng)用J,承德民族師專學(xué)報(bào)，2003,(02).

22、4聶晶品，微積分方法在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用J,高等函授學(xué)報(bào)，2009,(05).5鄒淑楨，論微積分在中等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J,懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,(05).6華東師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析M(第二版)北京，高等教育出版社，2005.7丁向前，微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透J,數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008,(08).8夏立標(biāo)，微分中值定理推廣與應(yīng)用的討論J,高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,(06).9陳蔚，舒江，淺談微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J,科教文匯(中旬刊)，2007,(03).10吳瓊揚(yáng)，淺談微積分方法在組合恒等式證明中的應(yīng)用J,新課程(教育學(xué)術(shù)),2011,(04).11應(yīng)用微積分M(第一版)，大連理工大學(xué)出版社，2010.12微積分概念發(fā)展史,美卡爾B.波耶(CarlB.Boyer)M,復(fù)旦大學(xué)出版社，2