Liu系統(tǒng)的混沌特性及其Matlab仿真

1、Liu系統(tǒng)的混沌特性及其Matlab仿真目 錄摘要2英文摘要3導(dǎo)言4第一章 混沌的定義及其相關(guān)理論6 1.1 混沌學(xué)簡史7 1.2 混沌的定義8 1.3 混沌的基本特征8 1.4 混沌的主要研究方法9 1.4.1 功率譜9 1.4.2 李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)9 1.4.3 其它方法10 1.5 混沌意義及應(yīng)用10 1.5.1 混沌的意義10 1.5.2 混沌的應(yīng)用及前景10第二章 Liu系統(tǒng)動力學(xué)行為的分析11 2.1 基本動力學(xué)行為分析11 2.1.1 對稱性和不變性12 2.1.2 耗散性和吸引子的存在性12 2.1.3 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性13 2.2系統(tǒng)的參數(shù)影響14第三章 Li

2、u系統(tǒng)的Matlab仿真20 3.1 定義函數(shù)20 3.2 ODE函數(shù)命令作圖21 3.2.1 吸引子圖及其程序21 3.2.2 時序圖及其程序21 3.2.3 相圖及其程序22 3.2.4 參數(shù)改變時的相圖及其程序22第四章 Liu系統(tǒng)的功率譜分析23 4.1.經(jīng)典功率譜估計(jì)23 4.1.1 Barlett 法24 4.1.2 Welch 法24 4.1.3 Nuttall法25 4.2 Liu 系統(tǒng)混沌的功率譜仿真25結(jié)論27參考文獻(xiàn)28附錄29 附錄（1） Liu系統(tǒng)的吸引子圖，三維圖程序29 附錄（2） Liu系統(tǒng)混沌時序圖程序29 附錄（3） Liu系統(tǒng)混沌相圖程序30 附錄（4）

3、經(jīng)典功率譜分析方法比較32 附錄（5） Liu混沌系統(tǒng)功率譜MATLAB仿真程序35致謝36Liu系統(tǒng)的混沌特性及其Matlab仿真 摘要：混沌現(xiàn)象幾乎涉及到科學(xué)研究的每一個領(lǐng)域。物理力學(xué)的Lroenz模型、Rossler模型、Duffing系統(tǒng)，電子工程學(xué)的蔡氏雙渦旋電路模型（連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)范例），電力系統(tǒng)模型，生物學(xué)的Logistic映射，天體物理學(xué)的Henon映射（離散動力學(xué)系統(tǒng)范例）等等，這些范例表現(xiàn)出豐富的混沌行為。Liu混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同于以往的連續(xù)混沌系統(tǒng)，它是一類含有平方非線性項(xiàng)的三階連續(xù)自治混沌系統(tǒng)。本文采用相圖，功率譜，和Lyapunove理論等研究混沌的一些方法,并借助MA

4、TLAB軟件對之進(jìn)行仿真研究,觀察研究Liu混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)行為特性，良好的仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性和快速性。關(guān)鍵詞：Liu混沌系統(tǒng)；系統(tǒng)動力學(xué)；吸引子；MATLABThe chaos of Liu system characteristic and its simulation by Matlab Abstract: Chaotic phenomena related to scientific research in almost every area. Lroenz physical mechanics of the model, Rossler model, Duffing

5、system, electronic engineering Chuas double vortex circuit model (for example dynamic system), electric power system model, the Logistic map biology, astrophysics the Henon map (discrete dynamics Example system) and so on, these examples show the rich chaotic behavior. Liu chaotic system structure i

6、s different from the previous consecutive chaotic system, it is a kind of square with the third-order nonlinear of the chaotic system for autonomy. In this paper, phase diagram, the power spectrum, and Lyapunove Chaos Theory, and so on a number of methods and use of MATLAB simulation software for re

7、search, observation of Liu chaotic system dynamics of the basic characteristics of a good simulation results show the effective this algorithm And fast.Keywords: Liu chaotic systerm ; systerm dynamics; attractor; Matlab 導(dǎo) 言自 20 世紀(jì)60 年代，洛倫茲發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象以來，混沌理論研究一直受到普遍的關(guān)注。隨著混沌研究的不斷發(fā)展，人們開始把目光聚焦在控制混沌和利用混沌的研究上，

8、控制和利用混沌的研究都是基于一些典型的混沌系統(tǒng)來進(jìn)行的。1999年Chen等采用線性反饋控制方法控制Lorenz混沌系統(tǒng)而發(fā)現(xiàn)了一種與Lorenz混沌系統(tǒng)類似但不拓?fù)涞葍r(jià)的Chen混沌系統(tǒng)；2001年和2002年,呂金虎等人相繼發(fā)現(xiàn)L混沌系統(tǒng)和連接上述三個混沌系統(tǒng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)；2003年,Liu等發(fā)現(xiàn)了在三維連續(xù)自治混沌系統(tǒng)中能產(chǎn)生四螺旋混沌吸引子的混沌系統(tǒng),并用實(shí)際的硬件電路證實(shí)了該混沌系統(tǒng)的存在。2004年劉崇新等人發(fā)現(xiàn)了新的Liu混沌系統(tǒng)。Liu系統(tǒng)是一個三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，開展其動力學(xué)特性及應(yīng)用研究具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。通常對混沌系統(tǒng)一個完整的研究要使用到李雅普諾夫指數(shù)分析和李

9、雅普諾夫指數(shù)譜，龐卡萊映射圖，混沌吸引子圖，混沌相圖，混沌時序圖，混沌功率譜分析，混沌的電路實(shí)現(xiàn)等等。在對其動力學(xué)行為的分析中要考察研究其對稱性，穩(wěn)定性，不變性，平衡點(diǎn)和參數(shù)變化時的性質(zhì)等等。對于混沌系統(tǒng)的研究，我們要使用多種方法不同的角度來分析研究，同時在理論分析中結(jié)合仿真和電路設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)，其中就常常用到MATLAB軟件和EWB電子設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行輔助驗(yàn)證分析結(jié)果?；煦绲漠a(chǎn)生，控制，同步等研究領(lǐng)域是目前最重要最前沿的研究體系。因?yàn)槲覀冏钪匾氖菍?shí)踐也就是應(yīng)用，目的是要應(yīng)用轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力。自從美國海軍實(shí)驗(yàn)室的Pecora和Carrol 提出了一種混沌同步方法，以及隨后在電子電路中首次觀察到混沌同步現(xiàn)象

10、以來，人們先后提出一系列有效的混沌同步控制方法，例如，相互耦合同步,續(xù)變量反饋同步，自適應(yīng)控制同步等，這些方法各有自己的使用范圍，其中由于線性反饋控制同步簡單且容易在物理上實(shí)現(xiàn)而得到廣泛的應(yīng)用, 此方法主要是基于李雅譜諾夫穩(wěn)定性理論，構(gòu)造李雅譜諾夫函數(shù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出同步控制參數(shù)的取值范圍, 但是對于某些混沌系統(tǒng)，要構(gòu)造其李雅譜諾夫函數(shù)并不是一件很容易的事情, 因此，研究采用其他方法來確定線性反饋控制同步的控制參數(shù)取值范圍將具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。近年來，隨著人們對混沌現(xiàn)象的深入研究，對其動力學(xué)行為和基本特性的逐步了解，在圖像處理、保密通信、電力電網(wǎng)動態(tài)分析和保護(hù)、機(jī)械振動分析與故障

11、診斷、電子振蕩發(fā)生器設(shè)計(jì)、信號檢測與信息處理等領(lǐng)域中已得到了有效的應(yīng)用，隨著混沌理論的不斷發(fā)展和完善，混沌將會在更多的領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用在這些應(yīng)用中，我們需要有目的地控制混沌，也需要有目的地生成混沌或者加強(qiáng)已存在的混沌行為。近年來混沌系統(tǒng)已經(jīng)從整數(shù)階發(fā)展到分?jǐn)?shù)階了，其性質(zhì)和應(yīng)用將更廣闊，更豐富。分?jǐn)?shù)階微積分是研究分?jǐn)?shù)階次的微積分算子特性及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，它幾乎與整數(shù)階微積分理論具有同樣長的發(fā)展歷史，但由于分?jǐn)?shù)階微積分理論長期沒有實(shí)際應(yīng)用背景而發(fā)展緩慢),次指出了自然界及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中存在大量的分維數(shù)的事實(shí)，且在整數(shù)階微積分與分?jǐn)?shù)階微積分理論描述的動力學(xué)系統(tǒng)之間存在著自相似現(xiàn)象，此后，作

12、為分形幾何和分維數(shù)的動力學(xué)基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)階微積分才重新獲得了新的發(fā)展而成為當(dāng)前國際上的一個研究熱點(diǎn)，并在電磁振蕩、系統(tǒng)控制、材料力學(xué)等領(lǐng)域得到了有效的應(yīng)用)近年來，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)及其應(yīng)用已引起人們廣泛的興趣和深入的研究，整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分理論的特例，整數(shù)階混沌系統(tǒng)都是對實(shí)際混沌系統(tǒng)的理想化處理分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分理論的推廣，利用分?jǐn)?shù)階微積分算子能更準(zhǔn)確地描述實(shí)際混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性) 特別是在最近，在Lorenz混沌系統(tǒng)、Chen 混沌系統(tǒng)、Chuas 混沌系統(tǒng)、Liu混沌系統(tǒng)以及Rossler超混沌系統(tǒng)中，通過計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)為分?jǐn)?shù)時仍然出現(xiàn)混沌狀態(tài)，且更

13、能反映系統(tǒng)呈現(xiàn)的工程物理現(xiàn)象,促進(jìn)了人們利用分?jǐn)?shù)階微積分理論更深入地研究混沌這一自然界普遍存在的物理現(xiàn)象，也促進(jìn)了分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展。MATLAB是集數(shù)值運(yùn)算、符號運(yùn)算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件具有很高的編程效率,在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化、系統(tǒng)動力學(xué)、建模與仿真等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。MATLAB具有高效的數(shù)值計(jì)算和符號計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出來，同時還擁有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化，它的這些特點(diǎn)使得很快成為應(yīng)用學(xué)科計(jì)算機(jī)輔助分析、設(shè)計(jì)、仿真等領(lǐng)域不可缺少的基礎(chǔ)軟件?；煦缋碚撗芯康氖欠蔷€性問題,難

14、以用解析式表達(dá),只能采用數(shù)值解法,而MATLAB在這方面便可展示其強(qiáng)大的潛能。本文通過采用相圖,時序圖和功率譜,只借助MATLAB軟件對Liu系統(tǒng)通向混沌的途徑進(jìn)行仿真研究,觀察狀態(tài)變量在時域和頻域中的變化來了解系統(tǒng)的非線性特性,并通過調(diào)整其控制參數(shù)觀察Liu系統(tǒng)動力學(xué)行為的演變過程驗(yàn)證其特性。第一章 混沌定義及其相關(guān)理論1.1混沌學(xué)簡史 混沌一詞譯自英文chaos，chaos一詞來自希臘文 ，其原意是指先于一切事物而存在的廣袤虛無的空間，后來羅馬人把混沌解釋為原始的混亂和不成形的物質(zhì)，而宇宙的創(chuàng)造者就用這種物質(zhì)創(chuàng)造出了秩序井然的宇宙。自從牛頓三大定律及萬有引力定律問世以來，確定論的思想就在人

15、們心中根深蒂固，這種觀點(diǎn)是偉大的法國數(shù)學(xué)家和自然哲學(xué)家拉普拉斯強(qiáng)烈主張的。在牛頓力學(xué)中，這種信念是正確的，并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真實(shí)世界里，初始狀態(tài)的精確知識是得不到的，一個量不管測量得多么精確，我們總能要求測量得更精確些。盡管一般說來，我們沒有能力知道這種精確知識，但通常我們假定，如果兩個分別進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)的初始條件幾乎相同，則最后結(jié)果亦將幾乎相同。對于大多數(shù)具有光滑特性的常規(guī)系統(tǒng)，這種假設(shè)是正確的，但對于某些非線性系統(tǒng)，它是錯誤的，并且結(jié)果是確定性的混沌。 早在上世紀(jì)末，偉大的法國數(shù)學(xué)家龐加萊就已經(jīng)深刻地了解了這種可能性以及定量的結(jié)果。在他的科學(xué)與方法一書中寫道：“初始條件中

16、的微小差別會在最后現(xiàn)象中產(chǎn)生非常大差別的情況也可能發(fā)生，前者的微小誤差將在后者中產(chǎn)生巨大的誤差。預(yù)言變?yōu)椴豢赡?，而我們就有了偶然現(xiàn)象”。盡管龐加萊有驚人的洞察力，但直到本世紀(jì)年代初期，確定性混沌實(shí)際上仍然沒有被仔細(xì)考察過。 交互式計(jì)算機(jī)的誕生終于為細(xì)致研究混沌提供了有力的工具。1963年，氣象學(xué)家洛侖茲根據(jù)牛頓定律建立了溫度壓強(qiáng)、壓強(qiáng)和風(fēng)速之間的非線性方程，他將該方程組在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，因嫌那些參數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)太多，輸入時很繁瑣，便舍去了幾位，盡管舍去部分看來微不足道，可是結(jié)果卻大大出乎意料：該氣象模型竟與沒有舍去幾位小數(shù)所得的氣象模型大相徑庭，變得完全不同。因此，洛侖茲斷言：“長時

17、期”天氣預(yù)報(bào)是不可能的。在澳大利亞的一只蝴蝶偶然扇動翅膀所帶來的微小氣流，幾星期后可能變成席卷北美佛羅里達(dá)洲的一場龍卷風(fēng)。這就是天氣系統(tǒng)的“蝴蝶效應(yīng)”。80年代后，混沌理論的研究一下子成為了熱點(diǎn)，不僅是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，而且生物學(xué)家、化學(xué)家、醫(yī)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家都不約而同地尋找不同形式的無規(guī)則性之間的聯(lián)系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因?yàn)樗峁┝税褟?fù)雜的行為理解為有目的和有結(jié)構(gòu)的某種行為的方法，而不是理解為外來的和偶然的行為?；煦缡且环N關(guān)于過程的科學(xué)，而不是關(guān)于狀態(tài)的科學(xué)；是關(guān)于演化的科學(xué)，而不是關(guān)于存在的科學(xué)，它使人們看到了運(yùn)動演化中的生機(jī)和動力。1.2 混沌的定義混沌是學(xué)術(shù)界對非線性系統(tǒng)研究

18、領(lǐng)域非常活躍的前沿課題,混沌現(xiàn)象幾乎涉及到科學(xué)研究的每一個領(lǐng)域。他是指確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種類似隨機(jī)過程的行為。一個非線性動力學(xué)系統(tǒng),在系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到一定匹配時便會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。 混沌是J.Hadamard在19 世紀(jì)末研究Hamilton系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)的。研究熱潮始于1963年Lorenz的三階自治系統(tǒng)（Lorenz模型）。在Lroenz系統(tǒng)族中，常見的有以下三中典型模型： Lorenz系統(tǒng)： (a=10, b=8/3, c=28)Chens系統(tǒng)：(a=35, b=3, c=28)L系統(tǒng)：(a=36, b=3, c=20)混沌現(xiàn)象屬于確定性系統(tǒng)且對初值極其敏感，具有稠密軌道的拓?fù)涮卣?，并呈現(xiàn)多種“

19、混亂無序卻又頗有規(guī)則”的圖像。因此混沌是一個關(guān)于過程的科學(xué)而不是一種關(guān)于狀態(tài)的科學(xué)，是關(guān)于演化的科學(xué)而不是關(guān)于存在的科學(xué)，決定論規(guī)律的非線性是混沌運(yùn)動存在的必要條件。對于混沌的概念, 這個是很難確切地定義出來的,一般地,一個系統(tǒng)會受到小的擾動，非線性會放大這些擾動，系統(tǒng)一方面對于初始條件敏感依賴，另一方面又在有限范圍內(nèi)運(yùn)動，就使那些初始狀態(tài)和速度充分接近的軌道會以指數(shù)速度分離開來。由于軌道自己不能相交，所以這些軌道只能在有限的空間內(nèi)纏繞往復(fù)而形成非常復(fù)雜的形狀,這就是混沌。1.3 混沌的基本特征混沌的基本特征有如下幾點(diǎn)：(1) 具有類隨機(jī)信號的特性。(2) 對初始值非常敏感。(3) 其相關(guān)函數(shù)

20、類似于隨機(jī)信號的相關(guān)函數(shù)，具有類似沖擊函數(shù)的特性。(4) 混沌信號的頻譜與隨機(jī)信號的頻譜類似，表現(xiàn)為連續(xù)頻譜。(5) 混沌信號在相空間的吸引子表現(xiàn)為幾何結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜具有分?jǐn)?shù)維的奇怪吸引子。(6)混沌吸引自具有正的李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)。混沌運(yùn)動的最基本的特點(diǎn)是運(yùn)動對初始條件極為敏感。兩個很靠近的初始值所產(chǎn)生的軌跡，隨時間的推移按指數(shù)方式分離。李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)是定量描述這一現(xiàn)象的量，在李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)譜中，最小的Lyapunov指數(shù)，決定軌道收縮的的快慢；最大的Lyapnov指數(shù)則決定軌道發(fā)散即覆蓋整個吸引子的快慢。所有的指數(shù)之和可以認(rèn)為是大體上表

21、征軌道總的平均發(fā)散快慢。而單個的則是定量的表征相空間兩相鄰軌線的分離問題，也就是“蝴蝶效應(yīng)”的強(qiáng)弱的量。由以上的介紹，我們可以判斷混沌，判斷噪音。下面介紹幾種關(guān)于混沌時間序列判別的基本方法：（1）功率譜分析法 （2）主分量分析 （3）Poincare龐卡萊截面法（4）Lyapumov指數(shù) （5）C-C方法 （6）局部可變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法（7）指數(shù)衰減法 （8）頻閃法 （9）代替數(shù)據(jù)法1.4 混沌的主要研究方法。對于混沌現(xiàn)象的客觀反映就需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)描述以及更直觀的物理現(xiàn)象。1.4.1 功率譜在實(shí)驗(yàn)分析方面，對混沌系統(tǒng)施行功率譜分析已是研究混沌的最有效、最直觀的工具。周期運(yùn)動在功率譜中對應(yīng)尖鋒，混沌

22、的特征是譜中出現(xiàn)噪聲背景和寬鋒。它是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法。 在很多實(shí)際問題中（尤其是對非線性電路的研究）常常只給出觀測到的離散的時間序列X1, X2, X3,.Xn,那么如何從這些時間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動點(diǎn)、一維極限環(huán)、二維環(huán)面、奇怪吸引子）的不同狀態(tài)的信息呢？ 我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)上已經(jīng)嚴(yán)格證明的結(jié)論，即擬合。我們將個采樣值加上周期條件Xn+i=Xi，則自關(guān)聯(lián)函數(shù)（即離散卷積）為 然后對Cj完成離散傅氏變換，計(jì)算傅氏系數(shù)。 k說明第k個頻率分量對Xi的貢獻(xiàn)，這就是功率譜的定義。當(dāng)采用快速傅氏變換算法后，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到系數(shù)然后計(jì)算，由許多組Xi得一批P

23、k，求平均后即趨近前面定義的功率譜Pk?？紤]到實(shí)際計(jì)算中，數(shù)據(jù)只能取有限個，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算的角度看，一個周期十分長的解和一個混沌解是難于區(qū)分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。 1.4.2 李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù) 確定混沌區(qū)后，需要進(jìn)一步對吸引子進(jìn)行刻畫。功率譜分析仍然有用，但更重要的是計(jì)算李亞普諾夫指數(shù)。 對初始條件的敏感依賴性是確定性系統(tǒng)混沌的關(guān)鍵特性。這意味著在相空間中相互靠近的兩條軌線，隨著時間的推移，它們將指數(shù)性的運(yùn)動開。李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法一般有如下四種：(1).定義法 (2).Wolf 方法（基準(zhǔn)軌道法） (3).切空間法(4)

24、.小數(shù)據(jù)量法 （M. T. Rosenstein，J. J. Collins & G. J. De Luca 1993，H. Kantz 1994）此方法對數(shù)據(jù)要求較低，計(jì)算精度有明顯的改善，而且比較穩(wěn)健。該李雅普諾夫指數(shù)的大小刻劃了吸引子的動力學(xué)，反映了系統(tǒng)產(chǎn)生或消除不確定因素的速率。初始不確定性經(jīng)過多少時間將覆蓋整個吸引子由最大的指數(shù)決定，而對吸引子攝動的漸近消失則由最小的指數(shù)控制。1.4.3 其它方法 描述混沌程度的方法有很多種，而且各有利弊。其中較主要的還有如確定奇怪吸引子的各種維數(shù)、確定混沌系統(tǒng)的所謂柯爾莫哥洛夫熵、對周期驅(qū)動系統(tǒng)較易實(shí)現(xiàn)的分頻采樣法以及前面介紹的取龐加萊截面的方法等

25、等。理論分析中則大量使用泛函分析，借用相變理論中的重正化群方法。比如費(fèi)根鮑姆推出的普適常數(shù)及標(biāo)度因子就是解一個反映自相似結(jié)構(gòu)的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系統(tǒng)的梅爾尼科夫(Melnikov)函數(shù)也是確定混沌的一個重要方法。1.5 混沌意義及應(yīng)用 1.5.1 混沌的意義混沌現(xiàn)象幾乎涉及到科學(xué)研究的每一個領(lǐng)域。物理力學(xué)的Lroenz模型、Rossler模型、Duffing系統(tǒng)，電子工程學(xué)的蔡氏雙渦旋電路模型（連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)范例），電力系統(tǒng)模型，生物學(xué)的Logistic映射，天體物理學(xué)的Henon映射（離散動力學(xué)系統(tǒng)范例）。這些范例表現(xiàn)出豐富的混沌行為。 1.5.2 混沌的應(yīng)用及前景根據(jù)混

26、沌系統(tǒng)提取的非線性時間序列對系統(tǒng)的未來進(jìn)行預(yù)測。如在電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測中的應(yīng)用，電機(jī)轉(zhuǎn)子剩余壽命的預(yù)報(bào)，計(jì)算機(jī)軟件失效的預(yù)測，在天氣、水文預(yù)報(bào)中的應(yīng)用以及證券市場股價(jià)波動的混沌分析。近年來，隨著人類對混沌吸引子現(xiàn)象的不斷深入探索，對其動力學(xué)行為和基本特征的逐步了解，混沌在工程領(lǐng)域得到了很大的發(fā)展，混沌控制和混沌同步研究的也有突破性進(jìn)展，因此大大推進(jìn)了混沌的應(yīng)用研究。（1） 改善和提高激光器的功效（性能和效率）。利用混沌控制技術(shù)研制品質(zhì)優(yōu)異、單色性好、高功率的激光裝置。（2） 混沌信號在通信中的應(yīng)用，包括混沌保密通信、混沌載波數(shù)字通信、混沌序列調(diào)頻擴(kuò)頻和直接序列擴(kuò)頻通信、混沌參分多址通信等領(lǐng)域

27、。（3）在其它科技領(lǐng)域中的可能應(yīng)用，利用時空混沌作為信息源研制超高容量的動態(tài)信息存儲器；未來能源受控?zé)岷司圩冎械牡入x子體的混沌、揣流的控制約束；混沌控制與混沌同步與生命科學(xué)如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、腦科學(xué)、心臟等領(lǐng)域的研究；人們在眾多領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)混沌是有用的或者有著巨大的應(yīng)用前景。當(dāng)混沌有害時，抑制混沌動力學(xué)行為（混沌控制）；當(dāng)混沌有用時，刻意產(chǎn)生或加強(qiáng)混沌動力學(xué)行為（混沌反控制）；混沌的研究主要包括理論研究、混沌模型的建立和混沌信號在工程學(xué)上的應(yīng)用三方面的內(nèi)容：混沌發(fā)生器（算法、硬件）；分?jǐn)?shù)階混沌的研究；混沌信號的處理、控制和應(yīng)用。第二章 Liu系統(tǒng)動力學(xué)行為的分析混沌系統(tǒng)有著復(fù)雜的動力學(xué)行為，目前人們已知的

28、混沌吸引子并不多，Liu混沌系統(tǒng)是一類含有平方非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng),其系統(tǒng)的動力學(xué)方程為:其中a,b,k,c,h為系統(tǒng)參數(shù),當(dāng)a=10,b=40,k=1,c=2.5,h=4時,系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的混沌吸引子和功率譜如下圖所示。由于Liu系統(tǒng)是一個新的混沌系統(tǒng),開展其動力學(xué)特性及應(yīng)用研究具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。利用Jacobia方法計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)得：固定k=1,h=4不變，因此,從系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù),可知該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。 Liu系統(tǒng)混沌吸引子圖Liu系統(tǒng)混沌功率譜圖2.1 基本動力學(xué)行為分析Liu系統(tǒng)與Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)具有許多相似的基本性質(zhì)。2.1.1 對稱性

29、和不變性由于系統(tǒng)(1)模型在變換( x , y , z ) (- x,- y ,z)下的不變性，即系統(tǒng)的圖象關(guān)于z軸具有對稱性，且這種對所有的系統(tǒng)參數(shù)保持不變。2.1.2 耗散性和吸引子的存在性由于 當(dāng)a+c0時,則系統(tǒng)(1)是耗散的,且以指數(shù)形式收斂即體積元在時刻t時收縮為體積元,這意味著,當(dāng)t時包含系統(tǒng)軌線的每個體積元以指數(shù)率-a-c收縮到零。因此,所有系統(tǒng)軌線最終會被限制在一個體積為零的集合上,且它漸進(jìn)運(yùn)動固定在一個吸引子上，說明了吸引子是存在的。2.1.3 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性令系統(tǒng)(1)式的右邊等于零,即得三個平衡點(diǎn)為：由其平衡點(diǎn)可知,a,c不變且都為正數(shù),當(dāng)b0時,系統(tǒng)有三個平衡點(diǎn);b0

30、,則,從而0, 0，則=(0,0,0)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的且為三維空間中的一個鞍點(diǎn)。若b0,則,從而0, 0, 0,則(8)式的所有系數(shù)均為正,因此,對任意0,則都有0。因此,要使平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,則(8)式必須有兩個正實(shí)部的復(fù)共軛特征根。若b=0,則(8)式有三個特征根: =0, , =-c.當(dāng)b從正趨近于零時,則的高階項(xiàng)變的很小,忽略不計(jì),則趨近于-2b,因此,在極限狀態(tài)的情況下,穩(wěn)定性將失去。在b從零逐漸增加的過程中,僅當(dāng)時,系統(tǒng)不穩(wěn)定性才會發(fā)生。此時，(8)式的兩個特征根則為 ,其中w為實(shí)數(shù)。從而可得: +=-(a+c),因此, =-a-c,把它代入(8)式,有-ac(a+c)+2abc=0,

31、即=(a+c)/2,若b,則和均為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。若b=時,兩個復(fù)共軛特征根為。由于 因此 所以,根據(jù)霍普夫（Hopf）分岔的定理,則當(dāng)b=時,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)和處將出現(xiàn)霍普夫(Hopf)分岔,表示霍普夫（Hopf）分岔點(diǎn)。2.2系統(tǒng)的參數(shù)影響 Liu系統(tǒng)的動力學(xué)行為是由控制參數(shù)決定的。為觀察系統(tǒng)的動力學(xué)特性,可采用相圖、功率譜、有選擇地研究控制參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時研究Liu系統(tǒng)的演化過程。從上面分析可知,隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化,從而該系統(tǒng)也將處于不同的狀態(tài)。下面利用仿真,分析各個系統(tǒng)參數(shù)變化時,系統(tǒng)的變化情況。（1） 當(dāng)a、c不變,b改變時，依據(jù)下面的b取不同值的相圖可

32、知：當(dāng)b 時,系統(tǒng)為混沌狀態(tài)如（b=7和b=20的xz圖）所示。b取不同值時的相圖(分別依次取b=5,b=7,b=20)很顯然,系統(tǒng)在b= 時,發(fā)生了霍普夫（Hopf）分岔。同時由圖（b=7的xz圖和b=20的xz圖）比較還可以看出,隨著b的增大,系統(tǒng)的混沌性增強(qiáng)。（2） 當(dāng)a,b不變,c改變時，依據(jù)下面的c取不同值的相圖可知： 當(dāng)0c8時,系統(tǒng)為混沌狀態(tài)；當(dāng)8c10.3時,系統(tǒng)為周期狀態(tài)；當(dāng)10.3c10.7時,系統(tǒng)為擬周期狀態(tài)；當(dāng)10.7c30時,系統(tǒng)為周期狀態(tài)。C取不同的值時的相圖（分別依次取c=6,c=9,c=10.5,c=20）（3）當(dāng)b、c不變,a改變時, 依據(jù)下面的c取不同值的相

33、圖可知:當(dāng)0a4時,系統(tǒng)為周期狀態(tài)；當(dāng)4a14時,系統(tǒng)為混沌狀態(tài)；當(dāng)14a18時,系統(tǒng)為周期狀態(tài)；當(dāng)18a42.5時,系統(tǒng)為混沌狀態(tài)；當(dāng)42.5a50時,系統(tǒng)為周期狀態(tài)。a取不同的值時的相圖(分別依次取a=2,a=8,a=17,a=20,a=45) 綜上所述，參數(shù)變化對系統(tǒng)影響的分析可以得到以下的結(jié)論：(1)Liu混沌系統(tǒng)在b=0,出現(xiàn)叉式分岔。(2)Liu混沌系統(tǒng)在b=(a+c)/2,出現(xiàn)霍普夫分岔。(3)Liu混沌系統(tǒng)當(dāng)a,c不變,b改變時,隨著b的增大,系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài),且系統(tǒng)的混沌性增強(qiáng)。(4)Liu混沌系統(tǒng)當(dāng)b,c不變,a改變時,隨著a的增大,周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)交替出現(xiàn)。(

34、5)Liu混沌系統(tǒng)當(dāng)a,b不變,c改變時,隨著c的增大,系統(tǒng)則出現(xiàn)混沌、周期和擬周期三種狀態(tài)。第三章 Liu系統(tǒng)的Matlab仿真分析Liu系統(tǒng)的動力學(xué)行為是由控制參數(shù)a、b、c決定的。為觀察系統(tǒng)的動力學(xué)特性,可采用相圖、功率譜、關(guān)聯(lián)維數(shù)等方法有選擇地研究控制參數(shù)，當(dāng)參數(shù)變化時研究Liu系統(tǒng)的演化過程。相空間就是由研究的物理量本身作為坐標(biāo)分量所構(gòu)成的廣義空間,系統(tǒng)的任意狀態(tài)相當(dāng)于相空間中的一個點(diǎn),系統(tǒng)狀態(tài)隨時間變化的過程對應(yīng)于點(diǎn)在相空間中的變化,所有點(diǎn)的集合便構(gòu)成了相圖。非線性系統(tǒng)隨時間的演變將趨向于維數(shù)比原來相空間低的極限集合即吸引子。通常的簡單吸引子有不動點(diǎn)、極限環(huán)和環(huán)面,隨系統(tǒng)參數(shù)的改變

35、簡單吸引子可發(fā)展為奇怪吸引子。像這種當(dāng)控制參數(shù)變化到某個臨界值時使系統(tǒng)的動力學(xué)行為更易控制。 Matlab是一種既可交互使用又能解釋執(zhí)行的計(jì)算機(jī)語言。在研究非線性方程的解中使用方便直觀，功能強(qiáng)大。通過Matlab仿真可以幫助我們很好的分析，研究和理解混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為特性。下面使用仿真分析Liu系統(tǒng)的動力學(xué)行為特性：用Matlab實(shí)現(xiàn)Liu混沌系統(tǒng)的吸引子（狀態(tài)圖），結(jié)果見第一章系統(tǒng)混沌吸引子圖。3.1定義函數(shù) 為了方便表達(dá)將x,y,z表示為x(1),x(2),x(3)也即是列向量x中的3個分量，編譯函數(shù)程序文件lu19pride_.m,具體程序如下：%設(shè)x=x(1),y=x(2),z=x(

36、3);function xdot=liu19pride(t,x);a=10;b=40;k=1;c=2.5;h=4;xdot=a*(x(2)-x(1);b*x(1)-k*x(1)*x(3);-c*x(3)+h*x(1)2;其中，a,b,k,c,h是Liu混沌系統(tǒng)的參數(shù)，參數(shù)值可以在Matlab裝載m程序文件夾中直接修改和設(shè)置，保存便能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的改變，方便編程仿真分析，此段程序主要是對系統(tǒng)函數(shù)方程的描述，定義Liu混沌系統(tǒng)的方程組，方程中x,y,z是對時間t的導(dǎo)數(shù)，因此是用Matlab求解常微分方程的解圖像曲線，便要使用到ODE命令，在此采用Rung-Kutta(4,5) 公式的ode45調(diào)用函數(shù)

37、。3.2 ODE函數(shù)命令作圖 3.2.1 吸引子圖及其程序在命令窗口編譯下面程序?qū)崿F(xiàn)Liu混沌系統(tǒng)的吸引子圖，用plot3函數(shù)創(chuàng)建系統(tǒng)三維圖型，其具體的圖形見第一章系統(tǒng)吸引子圖，它的具體編譯程序見附錄（1）。3.2.2 時序圖及其程序時序圖是各方程在時間域的時間序列圖，其具體的編譯程序見附錄（2）：程序中使用 axis函數(shù)設(shè)置圖形的坐標(biāo)范圍，便于得到體現(xiàn)系統(tǒng)特征的仿真圖形，從而更好地方便分析和研究系統(tǒng)的特性。而subplot函數(shù)則是選擇繪圖位置，用于在圖形窗口上繪制多個子圖。如下面的Liu混沌系統(tǒng)的時序圖，這樣既便于排版，更重要的是很方便比較分析。Liu混沌系統(tǒng)的時序圖由系統(tǒng)的時域波形圖（Pi

38、cture(1)- Picture(4）可得，系統(tǒng)混沌振蕩的時域波形具有非周期性，解的流對初值極為敏感，這也是混沌的一大特性，為混沌的判別和研究提供了一個很好的方法和途徑，在此也說明了時序圖分析混沌性態(tài)的可行性。3.2.3 相圖及其程序Liu混沌系統(tǒng)在各平面上的相圖，具體命令程序見附錄（3）： Liu 系統(tǒng)混沌在各個平面的相圖相圖是系統(tǒng)的狀態(tài)圖在各個平面上的投影，通過相圖可以很清晰的觀察到系統(tǒng)的混沌吸引子的情形，還可以用來判斷一個新的系統(tǒng)是否是混沌系統(tǒng)。Liu 混沌系統(tǒng)的相圖具體情形如圖Picture(5)Picture(10)所示,其中每組小圖用橫向變換坐標(biāo)放置在同一個圖上，以便更清楚的比較

39、觀察、分析和研究系統(tǒng)的吸引子性質(zhì)。3.2.4 參數(shù)改變時的相圖及其程序第二章關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)的影響中，改變參數(shù)值作的相圖具體程序和上面中的程序（見附錄（3）是一樣的，只是在設(shè)置圖形屬性不同，主要是在初值x0的取值和圖形范圍函數(shù)axis的使用時范圍數(shù)值設(shè)置不一樣，但是總體上的目的是要使圖形便于觀察和分析，表現(xiàn)其特征，性質(zhì)。其相關(guān)分析具體見第二章，在此就不詳細(xì)敘述。第四章 Liu 系統(tǒng)混沌的功率譜分析周期運(yùn)動在功率譜中對應(yīng)尖鋒，混沌的特征是譜中出現(xiàn)噪聲背景和寬鋒。它是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法。4.1.經(jīng)典功率譜估計(jì) 經(jīng)典功率譜估計(jì)分析主要包括Tukey提出的相關(guān)函數(shù)估計(jì)，Schuster提出的

40、周期圖估計(jì)，間接法（BT法）、Bartlett法譜估計(jì)、Welch法譜估計(jì)、Buttal法譜估計(jì)，以及Burg提出的最大熵譜估計(jì)。常用的譜估計(jì)方法可分為非參數(shù)估計(jì)、參數(shù)估計(jì)和子空間估計(jì)三大類。非參數(shù)估計(jì)直接從時域信號估計(jì)PSD，最基本的非參數(shù)估計(jì)是周期圖法，該方法還可以使用于高音噪比情況下長時信號的譜估計(jì)。直接法是Schuster于1989年提出來的，又稱為周期圖法。直接法之所以得到廣泛的應(yīng)用，是由于它與序列的頻譜有對應(yīng)關(guān)系，可以采用FFT算法來快速計(jì)算。但是在直接法功率譜估計(jì)中，對于無限長的平穩(wěn)信號進(jìn)行截?cái)?，這等于對無限長的序列加以矩形窗口，使之變成有限長的數(shù)據(jù)，這也意味著對自相關(guān)函數(shù)的加窗

41、，使得功率譜與窗函數(shù)卷積。這種頻域卷積會產(chǎn)生頻譜泄漏，容易使得弱信號的主瓣被強(qiáng)信號的旁瓣所淹沒，造成頻譜的模糊和失真，使得周期圖功率譜的分辨率較低。接法：直接法又稱周期圖法，它是把隨機(jī)序列x(n)的N個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算x(n)的離散傅立葉變換，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列x(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。 間接法：間接法先由序列x(n)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)R(n)，然后對R(n)進(jìn)行傅立葉變換，便得到x(n)的功率譜估計(jì)。改進(jìn)的直接法：對于直接法的功率譜估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)長度N太大時，譜曲線起伏加劇，若N太小，譜的分辨率又不好，因此需要改進(jìn)。 因此必須對周期圖法的功

42、率譜估計(jì)方法進(jìn)行改進(jìn)，當(dāng)然只是對數(shù)據(jù)方差的改進(jìn)。當(dāng)前主要有兩種改進(jìn)方法：一種是周期圖的平滑，即采用間接法估計(jì)功率譜；另一種是平均法，它將長度為N的數(shù)據(jù)X(N)分成L段，分別求出每段的功率譜，然后加以平均。下面將直接法的改進(jìn)方法Barlett法、Welch法和Nuttall法各自的方法特點(diǎn)和使用的函數(shù)見附錄（5）常用功率譜分析方法表所示。它們之間的用法和區(qū)別詳見附錄（4）經(jīng)典功率譜分析方法比較4.1.1 Barlett 法Bartlett平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長序列x(n)分段求周期圖再平均。Bartlett 平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長序列想X（n）, 分成互不重疊L段數(shù)據(jù)，每段有

43、M個樣本，則有LM=N,即：其中 為長度是M的矩形窗。然后求取每一段的M個樣本的功率譜估計(jì)，即：最后求出所有M段數(shù)據(jù)功率譜的平均值，即：并將上式作為整個序列X(n)的功率譜估計(jì)。 隨著L的增大，平均周期圖的方差趨于0，因此它是功率譜的漸近一致估計(jì)。雖然分段平均周期法功率譜估計(jì)可以減少估計(jì)誤差和波動，但是由于這種方法將長信號分段成短信號，從而使得功率譜的分辨率下降。在MATLAB中可以利用函數(shù)psd來實(shí)現(xiàn)Bartlett平均周期圖方法的功率譜估計(jì)。4.1.2 Welch 法Welch 法，又稱為加權(quán)交疊平均法，它是對Bartlett法的改進(jìn)，主要體現(xiàn)在兩個方面，一是在序列X（n）分段時，容許每段

44、數(shù)據(jù)有部分交疊；二是每段數(shù)據(jù)可以選擇其他窗口函數(shù)，不一定要求是矩形窗口。Welch法對Bartlett法進(jìn)行了兩方面的修正，一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n)，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)是無論什么樣的窗函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。二是在分段時，可使各段之間有重疊，這樣會使方差減小。 在每段數(shù)據(jù)的功率譜時，Welch算法Bartlett算法相同。但是由于其使用了窗口函數(shù)，由窗口函數(shù)基本知識可知，采用合適的非矩形窗可以減小信號的“頻譜泄漏”，同時也可以增加譜峰寬度，從而提高頻譜的分辨率，但是它在窗口的選擇時候有一定的要求：（1）窗口寬度遠(yuǎn)小于樣本序列的長度，以排除不可靠的自相關(guān)值； （2）當(dāng)平穩(wěn)信

45、號為實(shí)過程時，為保證平滑周期圖和真實(shí)功率譜同樣也是實(shí)偶函數(shù)，平滑窗口函數(shù)必須是實(shí)偶對稱函數(shù)； （3）平滑窗口函數(shù)應(yīng)當(dāng)在M=0處有峰值，并隨M的絕對值的增加而單調(diào)下降，使可靠的自相關(guān)值有較大的權(quán)值； （4）功率譜是頻率的非負(fù)函數(shù)，由于周期是非負(fù)的，因而要求窗口函數(shù)的傅里葉變換是非負(fù)的。在MATLAB中使用函數(shù)psd與pwelch都可以實(shí)現(xiàn)Welch法的功率譜，其方法是一樣的只是在參數(shù)設(shè)置有所不同。在MATLAB中還可以利用函數(shù)csd實(shí)現(xiàn)Welch法的互功率譜，其中csd函數(shù)的參數(shù)與 psd的用法是一樣的。4.1.3 Nuttall法由于Welch法容許分段時交疊，這樣就增加了數(shù)據(jù)分段的段數(shù)，當(dāng)然

46、也就增加了做FFT的次數(shù)。如果用的數(shù)據(jù)窗是非矩形窗，這有增加了求分段功率譜的乘法次數(shù)，因此Welch法的計(jì)算量很大。為了減少Welch法計(jì)算量，Nuttall等人提出了一種5步結(jié)合算法，它主要是結(jié)合直接法與間接法，有結(jié)合了周期譜的平滑與平均。這樣保持了平滑和平均減小方差的優(yōu)點(diǎn)，而且計(jì)算量也小。4.2 Liu 系統(tǒng)混沌的功率譜仿真周期運(yùn)動在功率譜中對應(yīng)尖鋒，混沌的特征是譜中出現(xiàn)噪聲背景和寬鋒。它是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法。在MATLAB中建立psd_Bartlett ._m函數(shù)文件如下function xn=psd_Bartlett(t,x);a=10;b=40;k=1;c=2.5;h=

47、4;xn=a*(x(2)-x(1);b*x(1)-k*x(1)*x(3);-c*x(3)+h*x(1)2;其中功率譜的命令窗口程序見附錄（5） Liu混沌系統(tǒng)功率譜MATLAB仿真程序，先用ODE函數(shù)語句得到系統(tǒng)的時間序列圖，再用PSD函數(shù)語句得到系統(tǒng)的功率譜。 由系統(tǒng)的功率譜圖形可以看出，系統(tǒng)的功率譜線中出現(xiàn)了類噪聲現(xiàn)象，即是符合了混沌的功率譜特性在譜中出現(xiàn)了出現(xiàn)噪聲背景和寬鋒，所以可以看出系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)，也更好的輔助說明了系統(tǒng)混沌特性的正確性，結(jié)合系統(tǒng)的狀態(tài)圖，吸引子圖，時間序列圖和相圖說明系統(tǒng)是混沌現(xiàn)象。從而說明了使用功率譜研究混沌，判別系統(tǒng)是否是混沌系統(tǒng)提供了一個很好的方法，使的研究混

48、沌的方法更加豐富，而且為實(shí)現(xiàn)對混沌的控制，分析提供了很好的依據(jù)，也為以后關(guān)于混沌的應(yīng)用，混沌系統(tǒng)的能量，功率特性提供了很好的研究手段。 結(jié) 論Liu系統(tǒng)為混沌態(tài),它的吸引子形狀也是蝴蝶形,與Lorenz吸引子相似,但與其不拓?fù)涞葍r(jià),而且由系統(tǒng)（1）中第3個微分方程有一個二次項(xiàng)可以產(chǎn)生一個折疊軌道,從而吸引子出現(xiàn)渦旋狀。由于Liu系統(tǒng)是一個新的混沌系統(tǒng),在利用混沌電路進(jìn)行保密通信方面有著廣泛的應(yīng)用前景,因此開展其動力學(xué)特性及應(yīng)用研究具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。 本論文認(rèn)真分析總結(jié)了混沌的基本理論知識，重點(diǎn)總結(jié)了混沌的特點(diǎn)，研究方法和發(fā)展前景，主要研究了Liu混沌動力學(xué)的基本動力學(xué)行為特性,確定

49、了Liu混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及各在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，重點(diǎn)分析了系統(tǒng)參數(shù)對整個混沌系統(tǒng)的影響,據(jù)此得出系統(tǒng)參數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的Liu混沌系統(tǒng)狀態(tài)。最后根據(jù)Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析觀察其Liu系統(tǒng)混沌相圖，吸引子和功率譜圖形，使理論結(jié)果得到仿真驗(yàn)證。利用M atlab 軟件，通過編寫程序，進(jìn)行了仿真，得到了Liu混沌系統(tǒng)的相圖。表明了利用M atlab 編程方法實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的仿真是可行的，對進(jìn)一步研究混沌理論有較好的參考價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合相應(yīng)的控制理論，運(yùn)用適當(dāng)?shù)目刂扑惴?，就能夠?qū)崿F(xiàn)對混沌系統(tǒng)的控制與利用，對控制和利用混沌系統(tǒng)的研究有十分重要的意義。通過該論文的編著，我了

50、解了很多非線性科學(xué)知識，理解了以前所未見過的問題，豐富了自己的視野，增強(qiáng)了自己對科學(xué)研究的興趣和能力。同時更好地掌握了MATLAB軟件，通過Liu系統(tǒng)的仿真，更深入的了解了混沌這個現(xiàn)象，而且學(xué)習(xí)了老師特別是高老師做科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度和勤奮求實(shí)的科學(xué)精神，真正的讓我自己受益匪淺。參考文獻(xiàn)：1 王發(fā)強(qiáng).劉崇新 .Liu混沌系統(tǒng)的混沌分析及電路實(shí)驗(yàn)的研究. 物理學(xué)報(bào).2006年2 陳關(guān)榮.呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步.北京.科學(xué)出版社.2003 年3 王宏. 精通MATLAB 6.5極其在信號處理中的應(yīng)用.北京.清華大學(xué)大學(xué)出版社.2004年4 高心統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的時延模糊

51、控制物理學(xué)報(bào).2007年5 沈紹偉Liu系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)、控制及同步浙江.浙江師范大學(xué).2006年6 高心劉興文.復(fù)域Duffing系統(tǒng)的模糊模型及混沌控制. 成都.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2006年7 呂金虎.混沌時間系列分析及其應(yīng)用.武漢.武漢大學(xué)出版社.2002年8 張志涌.精通MATLAB 6.5版. 北京.北京航空航天出版社.2003年9 王改云.馬姝靚.典型混沌系統(tǒng)的MATLAB仿真.物理學(xué)報(bào).2003年10 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心. MATLAB 7.0 輔助信號處理技術(shù)與應(yīng)用.北京. 電子工業(yè)出版社.2005年11 梁虹.梁潔.陳躍斌等編著. 信號與系統(tǒng)分析及MATLAB

52、 實(shí)現(xiàn).北京.電子工業(yè)出版社.附 錄附錄（1）Liu系統(tǒng)的吸引子圖，三維圖程序t_final=100;x0=-10;0;10;t,x=ode45(liu19pride,0,t_final,x0);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(-20,20,-40,40,0,100);title(Liu chaotic attractor)xlabel(z);ylabel(y);zlabel(z)；附錄（2） Liu系統(tǒng)混沌時序圖程序：t_final=100;x0=-10;0;10;t,x=ode45(liu19pride,0,t_final,x0);Subplot(2,2,1

53、);plot(t,x);axis(0,100,-50,120);text(80,-40,Picture(1)title(T-X)xlabel(t/s);ylabel(X);subplot(2,2,2);plot(t,x(:,1);axis(0,100,-20,+20);text(80,-18,Picture(2)title(T-X)xlabel(t/s);ylabel(x);subplot(2,2,3);plot(t,x(:,2);axis(0,100,-40,40);text(80,-35,Picture(3)title(T-Y)xlabel(t/s);ylabel(y);subplot(2,2,4)plot(t,x(:,3);axis(0,100,-10,120);text(80,0,Picture(4)title(T-Z)xlabel(t/s);ylabel(Z); 附錄（3）Liu系統(tǒng)混沌相圖程序：t_final=100;x0=-10;0;10;