高等數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)與微分

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案第二章第二章 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 與與 微微 分分 我們已經(jīng)研究了函數(shù)即變量之間相互依存關(guān)系, 現(xiàn)在我們進一步研究當(dāng)自變量變化時，函數(shù)變化的 快慢程度，即變化率問題.這就產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)和微分的 概念。高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 概概 念念 1.速度的概念速度的概念 某一質(zhì)點沿直線作變速運動,質(zhì)點所經(jīng)過的路程S和時間 t的函數(shù)關(guān)系為S=f(t), 現(xiàn)在我們研究質(zhì)點在某一時刻t0的瞬 時速度.取t0到t0+t這一段時間間隔,在這段時間內(nèi)，質(zhì)點 走的路程為 s=f(t0+ t)- f(t0) 這一段時間的平均速 度為ttfttfts)()(00 當(dāng)t0

2、時,對兩邊取極限,如果極限存在,我們稱為時刻 t0的 瞬時速度,在高等數(shù)學(xué)中把瞬時速度稱為路程對時間的導(dǎo)數(shù)。一、引例一、引例高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 2 切線問題切線問題 有很多實際問題與曲線的切線有關(guān), 例如有關(guān)運動的方 向問題, 有關(guān)光線的入射角和反射角問題等. 我們知道圓的 切線可定義為“與圓只有一個交點的直線”，對于更復(fù)雜的 曲線, 我們把曲線的切線定義為“與曲線只有一個交點的直 線”就不合適. 過p點的直線L是曲線C上的切線, 但不符合 上面的 定義. 下面我們給出切線的定義.cpLL高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案設(shè)曲線C 是函數(shù)y=f(x)的圖形, M0(x0,y0)是曲

3、線C上的一點 y0=f(x0)，在曲線C上任取一點M(x,y), 連接這兩點的直線稱為曲線的割線, 此割線的斜率為M0Mx0 xC0000)()(0 xxxfxfxxyykMM 令M點沿曲線C趨向M0點,這時xx0,如果極限存在,00)()(lim0 xxxfxfkxx我們把過點M0而以k為斜率的直線稱為曲線C在點M0的切線.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案3. 現(xiàn)在我們來研究收益對銷售量的變化率現(xiàn)在我們來研究收益對銷售量的變化率-邊際收益邊際收益 若某商品的總收入(收益)R是銷售量q的函數(shù), 即 R=R(q) (q0) ，求當(dāng)銷售量為q0個單位時總收益的變化率？若銷售量q由q0改變到q0+q

4、,則總收益R取得相應(yīng)的改變量)()(00qRqqRR 存在,則稱此極限值為銷售量是q0個單位時總收入的變化率. 類似地, 若某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)C(q), 則在產(chǎn) 量為q0時的邊際成本為于是總收入的平均變化率為qqRqqRqR)()(00若極限qqRqqRqRMRqq)()(limlim0000高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案qqCqqCqCMCqq)()(limlim0000二、二、 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 由此，我們可以歸納出導(dǎo)數(shù)的定義 定義定義1 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義, 點 x0+x也在該鄰域內(nèi)，當(dāng)自變量在 x0 處取得增量x時, 相應(yīng)地函數(shù)獲得增量y=f

5、(x0+x)-f(x0), 如果增量之比 y/ x, 當(dāng)x0時的限存在, 則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處 可導(dǎo), 或稱為f(x)在點x0存在導(dǎo)數(shù), 并稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù), 記為 即)( 0 xf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 如果上述極限不存在, 就說函數(shù)在點x0處不可導(dǎo), 或說沒 有導(dǎo) 數(shù)， 如果上述極限為無窮大, 雖然也是極限不存在，但有時說 函數(shù) f(x) 在點x0的導(dǎo)數(shù)為無窮大, 即有廣義導(dǎo)數(shù)。 相應(yīng)地, 如果將上述極限過程為x0+, 就是單側(cè)導(dǎo)數(shù), 點x0的右導(dǎo)數(shù)與左導(dǎo)數(shù),分別為000|)(,|),

6、(,|0 xxxxxxdxxdfdxdyxyy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 顯然, 存在的充分必要條件是 都存在, 且 )( 0 xf)(0 xf 0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx 都可導(dǎo)(在I的端點上為單側(cè)可導(dǎo)),則稱f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)。此時，在I上每一個確定的x值，都有函數(shù)f(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值與它相應(yīng), 這樣構(gòu)成的新函數(shù)叫做原函數(shù)f(x)在區(qū)間 I上的導(dǎo)函數(shù)，有時稱為f在 I 上的導(dǎo)數(shù),記作)()(00 xfxf 如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I上的每一點高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案dxxdfdxdyxyy)(,),(, 即有可見函數(shù)在x0處的

7、導(dǎo)數(shù)值f(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x=x0的函數(shù)值0| )()(0 xxxfxf 有了導(dǎo)數(shù)的定義后,可以說變速運動的瞬時速度v 是路 程函數(shù) s=f(t)對于時間的導(dǎo)數(shù),即v=ds/dt, 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是 平均變化率的極限, 它反映當(dāng)自變量變化時,函數(shù)變化的 快慢程度，導(dǎo)數(shù)大，函數(shù)的變化 快；導(dǎo)數(shù)小，函數(shù)的 變化慢。xxfxxfxfx)()(lim)(0高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案例1 試按定義取函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。xy 解: 一般由定義求導(dǎo)數(shù)按下面三個步驟進行; (1)求出函數(shù)y的增量y; (2)寫出增量比y/ x; (3)使x0,求增量比的極限. )()( ) 1 (xxxxfxxfy解：

8、 )2( xxxxxy高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 在理解導(dǎo)數(shù)的概念和用導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)數(shù)時，我們通 過上述例子應(yīng)該明確下面幾點.)(limlimlim )3( 000 xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxx211lim 0 xxxf21)()( 1|21|)()41( 4141xxxxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案(1) 函數(shù)y=f(x)的改變量y=f(x+x)-f(x); 當(dāng)x固定時, y 是隨x的變化而變化的，即是x的函數(shù),當(dāng)x發(fā)生變化 時, y也是x的函數(shù)，故y是x, x兩者的函數(shù)。同樣, 它們的變化率一般說來也是兩者的 函數(shù)， 這說明函 (2) 若函數(shù)y=f(x)在x0點

9、處連續(xù)，則當(dāng)x0時,y0。 這樣求增量 比y/x的極限過程，也就是研究兩個 無窮小量y， x之比 y/x的過程， 數(shù)在不同點的變化率也不同.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)即表示y和x是同價無 窮小量 或者y比x高價的無窮小量.這表示導(dǎo)數(shù)必須依賴于極限. (3) 導(dǎo)數(shù)f(x)是x的函數(shù),它和x沒有關(guān)系. (4) 令x0+x=x,則x=x0-x,當(dāng)x0時,xx0,導(dǎo)數(shù)有如下 的表示法. )()(lim)()(lim)( 00000000 xxxfxfxxxfxfxfxxxxxxhhxfxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim 000000高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)

10、學(xué)電子教案例2 設(shè) 存在,求下列各極限)( 0 xf;)()(lim)2( ;)()3(lim) 1 (000000hxfhxfxxfxxfhxxxfxxfxy)()(解： 解題思路就是應(yīng)用公式)(3 33)()3(lim)()3(lim) 1 (0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx;)()(lim)4( ;)3()2(lim)3(000000hhxfhxfxxxfxxfhx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案)() 1()()(lim)()(lim) 2(0000000 xfhxfhxfhxfhxfhhxxxfxxfx)3()2(lim) 3(000)(2)()( )()()()(l

11、im)()(lim) 4 (00000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhhxfhxfhh)()3()()2(lim00000 xxfxxfxxfxxfx 33)()3()2(2)()2(lim 00000 xxfxxfxxfxxfx)(5)(3)(2 000 xfxfxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案例3 設(shè)f(x)在x=1處連續(xù),且21)(lim1xxfx求f (1) 1)() 1(lim)(lim) 1 ( 11xxfxxffxx解： 1)(lim) 1(lim 11xxfxxx )()(lim) 1 ( 020 000 xxfxxffx01111 (1)(1) lim

12、1 xx xxfxfx 1 ( ) lim21xf xx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 . 11001 xx解：導(dǎo)數(shù)不存在例4 設(shè)f(x)在(-,+)內(nèi)有定義，對任意x，恒有 f(x+1)=2f(x),當(dāng)0 x1時,f(x)=x(1-x2),試判斷在x=0處, f (x)是否存在.)2)(1(21) 1(1)1(21) 1(21)( 22xxxxxxfxf. 1)1 (lim0)0()(lim)0( 200 xxxxfxffxx1)2)(1(21lim0)0()(lim)0( 00 xxxxxfxffxx)0()0( ff高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案(1) 常數(shù)y=C的導(dǎo)數(shù)0)()(CC

13、xfxxfy常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，常數(shù)在任意一點的變化率為0.1. 求導(dǎo)數(shù)舉例求導(dǎo)數(shù)舉例:00)()(xxxfxxfxy0)(00limlim00Cxyxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 在下一講中我們可以知道這個導(dǎo)數(shù)公式對于任意實數(shù) 也是成立的，有(2) 冪函數(shù)y=xn(nN)的導(dǎo)數(shù))()(xfxxfy)()(1Rxxnnnnnxxxnnxnxxxx.! 2) 1()( 221121.! 2) 1(nnnxxxnnnxxy110)(limnnnxnxxynxxyy.1)1( ,21)(2xxxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案（3）指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù)) 1(xxxxxaaaay

14、) 1, 0(ln1lim0aaaxaxxP68例7，證明如下aettttxaaatatatxxxlnlog1) 1(log11lim) 1(loglim1lim0010 xaaxyxx)1(aaxaaxyyxxxxxln) 1(limlim00 xxxxeeeaaaa)(ln)(時當(dāng)0 , 0 ),1(log11 txtxtaataxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案下面證明xxaxxa1)(ln,ln1)(log)0 , 10.(logxxxyaxxxxxxxxxxyaaa)1(log1log)(logeaaaalog)1 (loglim)1 (log)1 (log101,ln ln1lo

15、g1)1 (log1xyaxexxxxxxxyaaxy1 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxy 上面我們討論了導(dǎo)數(shù)的定義,從定義上看導(dǎo)數(shù)是兩個無窮小之比的極限.如果導(dǎo)數(shù)存在,則y和x這兩個無窮小分別是等階, 同階的，低階的。從上面導(dǎo)數(shù)的舉例中,我們得到下列的求導(dǎo)公式（4） 正(余)弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y=sinx則2/2sin)2cos(/2sin)2cos(2xxxxxxxxxyxxxxxyxxcos2/2sinlim)2cos(lim00 xxxxsin)(cos,cos)(sin高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案(1)常數(shù)C的導(dǎo)數(shù). ( C )=

16、0.(2)冪函數(shù)f(x)=xn (xn )=nxn-1(3)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (ax )= ax lna 特別是f(x)=ex (ex)= ex(4)對數(shù)函數(shù)f(x)=logax (logax)=1/(xlna). 特別是f(x)=lnx (lnx)=1/x(5)三角函數(shù)f(x)=sinx (sinx)=cosx f(x)=cosx (cosx)= - sinx.在今后的計算中我們不用定義求導(dǎo)數(shù)而直接使用上面的公式.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案例5 下面的求導(dǎo)驗算正確否？如有錯誤，則改正之。01 .(sincos)cossin;33xx解：1 0 第二項是常數(shù)， 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 20

17、 ln2的導(dǎo)數(shù)是0,且1/x不是簡單的倒數(shù)問題. 有些抽象函數(shù)如果在某點可導(dǎo),只能用定義計算該函數(shù) 在該點 的導(dǎo)數(shù). 例如 011112 .(lnln 2);122xxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案0)()()().()()(3333aaaafxaxxf例6 設(shè)f(x)=(x3-a3)(x),其中(x) 在x=a處連續(xù), 求f(a). 解: 因不知道f(x)在x=a處可導(dǎo),只能用定義求 )()(lim)(axafxfafaxaxxaxax0)()(lim 33)()(lim 22xaaxxax)(3 2aa高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 證明: 因f (x)為偶函數(shù),f(x)=f(-x)

18、, 由導(dǎo)數(shù)定義,有xfxffx）（）（）（00lim00例7 如果f(x)為偶函數(shù)且 存在, 證明 =0)0( f)0( fxfxfx）（）（00lim 0 xfxfx）（）（00lim 0）（0 f 00002）（）（ff高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 用導(dǎo)數(shù)定義求可導(dǎo)函數(shù)的差值與其自變量為無窮小之比 的極限解：如果此函數(shù)極限存在,則它的倒數(shù)為則原極限等于1.2lim000）（）（xxfxxfxx例8 已知f(x0)= -1,求xxfxxfxfxxfxxxfxxfxx2lim2lim00000000）（）（）（）（）（）（xxfxxfxxfxxfxx）（）（）（）（）（000000lim2

19、2lim2. 1 2000）（）（）（xfxfxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案三三. 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 的的 幾幾 何何 意意 義義 設(shè)M0(x0,y0) 是曲線 y=f(x)上的一點，在M0的鄰域內(nèi)取一 點M(x0+x,y0+y),固定M0，當(dāng)x0時，割線MM0繞M0轉(zhuǎn)動到極限位M0T， 稱M0T為曲線在點M0的切線xM0M0Tyxx0 x0+ xyytgxyMM0的斜率高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在該點的切線的斜率. 由點斜式方程可知 曲線 y=f(x) 在M0(x0,y0)的切線方程 是)(000 xfxyxxyy)(000 xxxfyytgtgxyxfxx000

20、limlim)(高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案我們知道,法線和切線相互垂直,它們斜率的乘積為-1,）（），則法線的斜率為（切線的斜率為001xfxf平面曲線的法線方程為)()(1000 xxxfyy如果函數(shù)在x0點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，這時切線垂直于x軸，法線平行于x軸，切線方程為 x = x0，法線方程為 y = y0.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案例9 求曲線 y=x2 在點 (3,9) 處的切線方程和法線方程6) 3(,2)()( 2fkxxxf解：096) 3( 69 yxxy切線方程是0576)3(619 yxxy法線方程是高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案四、四、 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性

21、的關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，即存在極限0, 0,)()(lim0 xxfxyxfxyx 這說明函數(shù)y=f(x)在點x連續(xù)，即可導(dǎo)必連續(xù)，但函數(shù) 連續(xù)不一定可導(dǎo)。我們可舉出反例來.0)(limlim)(00 xxxfyxxxfyxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案例10 函數(shù) y=|x|在(-,+ )內(nèi)處處連續(xù),但它在x=0處卻不可導(dǎo).1limlim ,00 00 xxxxxyxxxxxyxx解： 導(dǎo)數(shù)為曲線的斜率，在圖中可見當(dāng)x=0時它的左右極限不相等。所以函數(shù)在該點不可導(dǎo)，就是在該點沒有切線。yy=|x|1limlim00 xxxyxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)

22、學(xué)電子教案例11 函數(shù) 在(-,+ )內(nèi)處處連續(xù)，但它在 x=0處卻不可導(dǎo)3xy 解：在x=0處3233100 xxxxy 表示在x=0處的極限為無窮大， 即該點的切線垂直于x軸。32001limlimxxyxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)一定有極限， 所以f(x) 在x0處可導(dǎo)就一定有極限.)( ,)(lim)(lim),(lim)1 (0有極限稱為函數(shù)存在和xfnfxfxfnxxx可導(dǎo)連續(xù)有極限不一定不一定. )( )()(lim)2(000處連續(xù)在稱為函數(shù)xxxfxfxfxx. )( ,)()(lim)3(0000處可導(dǎo)在稱為函數(shù)存在xxxfxxxfxfxx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 例12 討論 函數(shù)xxxxxxxx242211102012 f(x) =在點x=0，x=1及x=2處的連續(xù)性和可導(dǎo)性解: (1)在x=0點處)(1)1(lim)(lim00左極限xxfxx(2)在x=1點處)(22lim)(lim11左極限xxfxx)(02lim)(lim00右極限xxfxx不存在)(lim)(lim)(lim000 xfxf