高數空間解析幾何學 平面與空間直線的方程

1、1水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：第四節(jié)第四節(jié) 曲面和空間曲線曲面和空間曲線一一 曲面及其方程曲面

2、及其方程2一般研究空間曲面主要考慮一般研究空間曲面主要考慮兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀（討論旋轉曲面）（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程3例例 1 1 求與原點求與原點O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點的全體所組成的曲面方程點的全體所組成的曲面方程. 解解設設),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點點，,21|0 MMMO根據題意有根據題意有 ,21432222222 zyxzyx

3、.911634132222 zyx所求方程為所求方程為4例例 2 2 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程. 設設),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據題意有根據題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解5zxyo例例3 3 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據題意有根據題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當當平平面面cz 上上下下移

4、移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c6例例 4 4 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程. 解解設設),(zyxM是是球球面面上上任任一一點點，RMM |0根據題意有根據題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 1. 球面球面7播放播放定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿

5、定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL2、柱面、柱面8柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面9從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12

6、222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y10定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸播放播放3、旋轉曲面、旋轉曲面11xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz （2）點點M到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd12將將 代入代入2211,yxyzz 0),(1

7、1 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞z軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf13例例5 5 直直線線L繞繞另另一一條條與與L相相交交的的直直線線旋旋轉轉一一周周，所所得得旋旋轉轉曲曲面面叫叫圓圓錐錐面面兩兩直直線線的的交交點點叫叫圓圓錐錐面面的的頂頂點點，兩兩直直線線的的夾夾角角 20叫叫圓圓錐錐面面的的半半頂頂角角試試建建立立頂頂點點在在坐坐標標原原點點，旋旋轉

8、轉軸軸為為z軸軸，半半頂頂角角為為 的的圓圓錐錐面面方方程程xozy解解 yoz面上直線方程為面上直線方程為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 14例例6 6 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程生成的旋轉曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉轉繞繞z軸軸旋旋轉轉122222 czyax122222 czayx旋轉雙曲面旋轉雙曲面15（ 2） 橢橢 圓圓 012222xczay繞繞y軸軸 和和z軸軸 ；繞繞y軸軸旋旋轉轉繞

9、繞z軸軸旋旋轉轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面16 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題思考題17思考題解答思考題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓心在圓心在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸

10、的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程18 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，不在曲線上的點不方程，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：二、空間曲線及其方程二、空間曲線及其方程 1、空間曲線的一般方程、空間曲線的一般方程19例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx

11、表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.20例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.21 )()()(tzztyytxx 當給定當給定1tt 時，就得到曲線上的一個點時，就得到曲線上的一個點),(111zyx，隨著參數的變化可得到曲線上的全，隨著參數的變化可得到曲線上的全部點部點.空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程2、空間曲線的參數方程、空間曲線的參數方程22 動點從動點從A點出點出發(fā)，經過發(fā)，經過t時間，運動到時間

12、，運動到M點點 例例 3 3 如如果果空空間間一一點點M在在圓圓柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉轉，同同時時又又以以線線速速度度v沿沿平平行行于于z軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數數），那那么么點點M構構成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數數方方程程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數方程螺旋線的參數方程取時間取時間t為參數，為參數，解解xyzo23螺旋線的參數方程還可以寫為螺旋線的參數方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 2

13、4 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關于曲線關于 的的投影柱面投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影25如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面26類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yo

14、z面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy27例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx28所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z29例例5 5 求求拋拋物物面面xzy 22與與平平面面 02

15、zyx 的的截截線線在在三三個個坐坐標標面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,30（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx31例例6： 求橢圓拋物面求橢圓拋物面zxy 222與拋物柱面與拋物柱面zx 22的交線關于的交線關于xoy面的投影柱面和面的投影柱面和在在xoy面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程.,22222 zxzxy解：交線方解：交線方 程為程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的

16、投影為面上的投影為xoy.0122 zyx32部分空間立體或曲面在坐標面上的投影部分空間立體或曲面在坐標面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面33例例7.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設一個立體設一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去34面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx35空間曲線的一般

17、方程、參數方程空間曲線的一般方程、參數方程四、小結空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT36一、一、 填空題：填空題：1 1、 與與Z軸和點軸和點)1,3,1( A等距離的點的軌跡方程是等距離的點的軌跡方程是_；2 2、 以點以點)1,2,2( O為球心，且通過坐標原點的球面為球心，且通過坐標原點的球面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是點點_，半徑，半徑 R _ _；4 4、 設曲面方程設曲面方程22ax+ +

18、22by+ +22cz=1=1，當，當ba 時，曲面可由時，曲面可由xoz面上以曲線面上以曲線_繞繞_軸旋軸旋轉面成，或由轉面成，或由yoz面上以曲線面上以曲線_ 繞繞_軸旋轉面成軸旋轉面成 ; ;練練 習習 題題375 5、 若若柱柱面面的的母母線線平平行行于于某某條條坐坐標標軸軸，則則柱柱面面方方程程的的特特點點是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 曲曲面面1422 zyx是是由由_ _ _ _ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _ _ _ _ _軸軸放放置置一一周周所所形形成成的的；7 7、 曲曲面面222)(yxaz 是是由由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

19、_ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _軸軸旋旋轉轉一一周周所所形形成成的的；8 8、 方方程程2 x在在平平面面解解析析幾幾何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在空空間間解解析析幾幾何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 方方 程程422 yx在在 平平 面面 解解 析析 幾幾 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 在在 空空 間間 解解 析析 幾幾 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .38

20、二二、 畫畫出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .39練習題答案練習題答案一、一、1 1、0112622 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不含與該坐標軸同名的變量；、不含與該坐標軸同名的變量； 6 6、xoy面上的雙曲線面上的雙曲線yyx, 1422 ； 7 7、面面yoz上的直線上的直線 zayz, ；

21、8 8、平、平y(tǒng)行于行于軸的一條直線軸的一條直線, ,與與面面yoz面平行的平面；面平行的平面； 9 9、圓心在原點、圓心在原點, ,半徑為半徑為 2 2 的圓的圓, ,軸為軸為軸軸z, ,半徑為半徑為 2 2 的圓柱面的圓柱面. .40二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸41二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲

22、面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸42二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸43二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸44二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面

23、上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸45二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸46二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸47二、旋轉曲面二、旋轉曲

24、面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸48二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸49二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋

25、轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸50二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸51二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的曲面的軸軸52定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動

26、的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL53定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL54定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為

27、柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL55定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL56定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL57定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動